Урок 8. Системы нелинейных неравенств

ВИДЕО УРОК

Несколько неравенств с одной переменной могут образовать систему.

Решением системы неравенств с одной переменной называются значения переменной, при которых каждое из неравенств обращается в верное числовое неравенство.

Следовательно, чтобы решить систему неравенств с одной переменной, необходимо решить каждое неравенство, а затем найти их общее решение.

ПРИМЕР:

Решить систему неравенств:

РЕШЕНИЕ:

Решим первое неравенство

х² ≤ 9,

х² – 9 ≤ 0,

(х – 3)(х + 3) ≤ 0.

Его решение

–3 ≤ х ≤ 3.

Решаем второе неравенство

х ˃ 0.

Его решение очевидно. Изобразим на числовой прямой множество чисел, удовлетворяющих первому и второму неравенствам,

Откуда следует, что оба неравенства верны при

0 < х ≤ 3.

ОТВЕТ:

х ∈ (0; 3]

ПРИМЕР:

Решить двойное неравенство:

–1 < х² + х < 0.

РЕШЕНИЕ:

Решить двойное неравенство – это значит решить соответствующую ему систему неравенств.

В данном случае система неравенств выглядит так:

1) Решим первое неравенство

–х² – х – 1 < 0.

Многочлен, стоящий в левой части неравенства, нельзя разложить на множители, так как уравнение

–х² – х – 1 = 0

не имеет корней

(D = –3 < 0).

Это значит, что квадратный трёхчлен

(–х² – х – 1)

при всех значениях  х  имеет постоянный знак, а именно 
отрицательный (по знаку первого коэффициента). Таким образом, решение этого квадратного неравенства есть

х ∈ (–∞; +∞).

2) Решим второе неравенство

х² + х < 0,

х(х + 1)< 0.

х ∈ (–1; 0).

  3) Найдём пересечение полученных множеств

ОТВЕТ:  (–1; 0)

ПРИМЕР:

Решить систему неравенств:

РЕШЕНИЕ:

Данная система равносильна следующей:

Множество  Е₁  решений первого неравенства этой системы состоит из точек числовой прямой, лежащих вне отрезка
[–2, 0],

то есть  Е₁ – объединение промежутков

(–∞, –2)  и  (0, +∞).

Множество  Е₂  решений второго неравенства – интервал длины  8  с центром в точке  1, то есть

Е₂ = (–3, 5).

Множество  Е  решений исходной системы – общая часть (пересечение) множеств  Е₁  и  Е₂.

Следовательно, множество  Е – объединение интервалов

(–3, –2)  и  (0, 5)

ОТВЕТ: 

–3 < х < –2, 0 < х < 5

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

(2х – 1)(|х + 1| – |х – 3|) < 0.

РЕШЕНИЕ:

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:

Множество  Е₁  решений первой системы – пересечение промежутков

х ˃ ¹/₂  и  х < 1, то есть  

Е₁ = (¹/₂, 1).

Множество  Е₂  решений второй системы – пересечение промежутков

х < ¹/₂  и  х ˃ 1,

не имеющих общих точек. Поэтому вторая система решений не имеет.

ОТВЕТ:  ¹/₂ < х < 1

ПРИМЕР:

Решить систему неравенств:

РЕШЕНИЕ:

Данная система равносильна системе

Решением первого неравенства этой системы являются все числа множества

(–∞; ¹/₇),

а второго – все числа множества

[–¹/₂; 1].

Пересечением этих множеств является множество

[–¹/₂; ¹/₇).

Следовательно, решение исходной системы есть все числа из промежутка

[–¹/₂; ¹/₇).

ОТВЕТ:  [–¹/₂; ¹/₇)

ПРИМЕР:

Решить систему неравенств:

РЕШЕНИЕ:
Данная система равносильна системе

Решением второго неравенства этой системы являются все числа множества

[–¹/₂; ³/₂].

Неравенство

равносильно неравенству

решением которого является множество

[–1; 0) ∪ (0; 1].

Таким образом, решением исходной системы неравенств является пересечение найденных множеств,

то есть множество

[–¹/₂; 0) ∪ (0; 1].

ОТВЕТ:  [–¹/₂; 0) ∪ (0; 1]

ПРИМЕР:

Решить систему неравенств:

РЕШЕНИЕ:

Решим каждое неравенство системы, используя метод интервалов.

Первое неравенство.

х² – х – 20 < 0.

Найдём корни квадратного трёхчлена, стоящего в левой части неравенства:

х₁ = 5,  х₂ = –4.

Нанесём их на числовую ось.

Расставим знаки. Для этого возьмём число, больше большего корня и подставим вместо  х  в левую часть неравенства.

Возьмём, например число  10.

10² – 10 – 20 ˃ 0,

Следовательно, в самом правом промежутке ставим  <<+>>. Так как все корни нечётной кратности, знаки меняются при переходе через корни.

Нас интересуют те значения неизвестного, при которых левая часть неравенства меньше  0.

Второе неравенство.

х² – 2х – 8 < 0

Найдём корни квадратного трёхчлена, стоящего в левой части неравенства:

х₁ = 4,  х₂ = –2.

Нанесём их на числовую ось.

Расставим знаки. Для этого возьмём число, больше большего корня и подставим вместо  х  в левую часть неравенства.

Возьмём, например число  10.

10² – 20 – 8 ˃ 0,

Следовательно, в самом правом промежутке ставим  <<+>>. Так как все корни нечётной кратности, знаки меняются при переходе через корни.

Нас интересуют те значения неизвестного, при которых левая часть неравенства меньше  0.

Третье неравенство.

2х² + х – 45 < 0.

Найдём корни квадратного трёхчлена, стоящего в левой части неравенства:

х₁ = 4,5,  х₂ = –5.

Нанесём их на числовую ось.

Расставим знаки. Для этого возьмём число, больше большего корня и подставим вместо  х  в левую часть неравенства.

Возьмём, например число  10.

10² – 20 – 8 ˃ 0,

Следовательно, в самом правом промежутке ставим  <<+>>. Так как все корни нечётной кратности, знаки меняются при переходе через корни.

Нас интересуют те значения неизвестного, при которых левая часть неравенства меньше  0.

Теперь совместим на одной числовой оси решение трёх неравенств:

Мы видим, что три <<стрелки>>, изображающие решение всех трёх неравенств, проходят над отрезком  (–2; 4) – это и есть решение нашей системы неравенств.

ОТВЕТ:  (–2; 4)

Задания к уроку 8

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

• Урок 1. Числовые неравенства
• Урок 2. Свойства числовых неравенств
• Урок 3. Сложение и умножение числовых неравенств
• Урок 4. Числовые промежутки
• Урок 5. Линейные неравенства
• Урок 6. Системы линейных неравенств
• Урок 7. Нелинейные неравенства
• Урок 9. Дробно-рациональные неравенства
• Урок 10. Решение неравенств с помощью графиков
• Урок 11. Неравенства с модулем
• Урок 12. Иррациональные неравенства
• Урок 13. Неравенства с двумя переменными
• Урок 14. Системы неравенств с двумя переменными
• Урок 15. Приближённые вычисления
• Урок 16. Абсолютная и относительная погрешность