Урок 9. Дробно-рациональные неравенства

понедельник, 8 марта 2021 г.

Урок 9. Дробно-рациональные неравенства

ВИДЕО УРОК

Неравенства вида

где Р_n(x); Q_m(x) – многочлены соответственно степеней n и m, т. е.

Р_n(x) = a_nxⁿ + a_n-₁x^n-¹ + … + a₁x + a₀;

Q_m(x) = b_mx^m + b_m-₁x^m-¹ + … + b₁x + b₀;

обычно решаются методом интервалов. Он удобен для решения неравенств следующего вида:

и так далее.
Решение рациональных неравенств вида

(вместо знака ˃ может быть и любой другой знак неравенства), где Р_n(x); Q_m(x) – многочлены, основано на следующем рассуждении.
Рассмотрим выражение:

где a < b < c < d.

Если x ˃ d, то каждый из множителей

x – a, x – b, x – c, x – d

положителен и, следовательно, на промежутке (d; +∞) имеем

h(x) ˃ 0.

Если c < x < d, то x – d < 0, а остальные множители по-прежнему положительны. Значит, на интервале (c; d) имеем h(x) < 0.

Аналогично, на интервале (b; c) будет h(x) ˃ 0 и так далее.

Изменение знаков h(x) удобно иллюстрировать с помощью волнообразной кривой (её называют <<кривой знаков>>), которую чертят справа налево, начиная сверху.

Эту иллюстрацию нужно понимать так:

На тех промежутках, где эта кривая проходит выше координатной прямой, выполняется неравенство h(x) ˃ 0, на тех же промежутках, где кривая проходит ниже прямой, имеем h(x) < 0.

Для проведённого выше рассуждения было несущественно количество линейных множителей в числителе и знаменателе, а также взаимное расположение корней числителя и знаменателя дроби на координатной прямой. Поэтому оно применимо для любой функции y = f(x) вида

где числа

a₁, a₂, …, a_n, b₁, b₂, …, b_k

попарно различны. Изменение знаков функции y = f(x) можно также иллюстрировать с помощью кривой знаков, которую чертят справа налево, начиная сверху, и проводят через все отмеченные на координатной прямой точки

a₁, a₂, …, a_n, b₁, b₂, …, b_k.

На этом основан метод промежутков, который с успехом применяется для решения рациональных неравенств.

Отметим, что неравенство

равносильно неравенству

Р_n(x) ×Q_m(x) ˃ 0 (Р_n(x)×Q_m(x) < 0).

Так как частное

и произведение АВ – числа одного и того же знака, то неравенство

где А и В – какие-нибудь многочлены, равносильно до неравенства

А × В ˃ 0.

Поэтому строгое дробное неравенство всегда можно заменить равносильным ему целым алгебраическим неравенством.

Например, вместо того, чтобы решить неравенство

можно решить неравенство

(x²– 3x – 5)(3x²+ 2x – 1) ˃ 0,

так как эти неравенства равносильны (эквивалентны).

Для того чтобы решить неравенство

Р_n(x)×Q_m(x) ˃ 0,

необходимо разложить многочлены

Р_n(x) и Q_m(x)

на множители:

где c₁, c₂, …, c_n; k₁, k₂, … , k_n – некоторые постоянные,

а x₁, x₂, … , x_n – корни уравнения

Р_n(x) = 0.

Множеством решений нестрогого неравенства

Р_n(x)×Q_m(x) ≥ 0 (Р_n(x)×Q_m(x) ≤ 0)

является объединением двух множеств: множества решений строгого неравенства

Р_n(x) ×Q_m(x) ˃ 0 (Р_n(x)×Q_m(x) < 0)

и множества решений уравнения

Р_n(x) ×Q_m(x) = 0.

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

РЕШЕНИЕ:

Дробь положительна, если числитель и знаменатель её имеют одинаковые знаки, то есть либо оба положительны, либо оба отрицательны. Значит, мы получаем совокупность двух систем неравенств:

Из первой системы находим:

х ˃ –¹/₂, х ˃ ²/₃, то есть

х ˃ ²/₃.

Из второй системы находим:

х < –¹/₂, х < ²/₃, то есть

х < –¹/₂.

В итоге получили следующие решения заданного неравенства:

х < –¹/₂, х ˃ ²/₃.

ОТВЕТ:

х < –¹/₂, х ˃ ²/₃

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

РЕШЕНИЕ:

Имеем последовательно:

Умножая обе части неравенства на –1, изменив при этом знак неравенства, получим:

Дробь меньше или равна нулю в двух случаях:

– если числитель меньше или равен нулю, а знаменатель больше нуля;

– если числитель больше или равен нулю, а знаменатель меньше нуля;

Значит, мы получаем совокупность двух систем неравенств:

Из первой системы находим:

х ≤ 6, х ˃ ⁷/₂, то есть

⁷/₂ < х ≤ 6.

Из второй системы находим:

х ≥ 6, х < ⁷/₂,

то есть система не имеет решений.

Значит, множество решений заданного неравенства есть промежуток:

(⁷/₂; 6].

ОТВЕТ: (⁷/₂; 6]

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

РЕШЕНИЕ:

Данное неравенство равносильно

(х + 3)(х – 2)(х – 5) < 0.

Корни многочлена

(х + 3)(х – 2)(х – 5)

равны:

–3, 2, 5.

Составляем таблицу.

Как видим, данный многочлен принимает отрицательные значения при

–∞ < х < –3 и

2 < х < 5.

ОТВЕТ:

–∞ < х < –3, 2 < х < 5

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

РЕШЕНИЕ:

Разложим числитель и знаменатель дроби, стоящие в левой части неравенства, на множители:

Дискриминанты уравнений

x² + 3x + 9 = 0 и

x² – 2x + 4 = 0

отрицательны

(D₁ = –27 < 0 и D₂ = –12 < 0);

следовательно, они решений не имеют.

Отсутствие решений означает, что квадратные трёхчлены на множители не раскладываются и на всём промежутке изменения х имеют постоянный знак, совпадающий со знаком старшего члена (в нашем случае <<+>>).

Умножим и разделим исходное неравенство на положительные выражения

x² + 3x + 9 = 0 и

x² – 2x + 4 = 0.

соответственно. Получим равносильное неравенство
которое эквивалентно неравенству
и уравнению
Решение уравнения х₁ = 3. Найдём множество решений неравенства. Для этого заменим его на равносильное неравенство

(х – 3)(х + 2) < 0.

Отметим на координатной прямой точки, в которых левая часть неравенства обращается в нуль. Получим три промежутка. В крайнем правом промежутке всегда стоит знак <<+>>, далее знаки чередуются

Объединяя промежуток (–2; 3) и точку х = 3, получим

–2 < х ≤ 3.

ОТВЕТ: (–2; 3]

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

РЕШЕНИЕ:

Линейная функция х – а меняет знак при переходе через точку а, причём правее точки а эта функция положительна, а левее точки а – отрицательна.

Отметив на числовой оси точки

–3, –1, 2, 4,

которые являются нулями (корнями) многочленов, стоящих в числителе и знаменателе дроби, разобьём числовую ось на пять промежутков:

На самом правом промежутке (х ˃ 4) дробь положительна, так как все множители в числителе и знаменателе этой дроби положительны при х ˃ 4.

При переходе через каждую из отмеченных точек один и только один из этих множителей меняет знак, и поэтому знак дроби каждый раз меняется. Учитывая это, расставим знаки дроби (смотрите рисунок). Итак, множество решений – объединение следующих интервалов:

(–∞; –3), (–1; 2), (4; +∞).

ОТВЕТ:

х < –3, –1 < х < 2, х ˃ 4

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

РЕШЕНИЕ:

Преобразуем неравенство к стандартному виду:

Приведём дроби к общему знаменателю:

Раскроем скобки и приведём подобные члены:

Разложим квадратный трёхчлен в числителе дроби на множители:

Отметив на числовой оси точки

–8, –4, 1, 6.
определим знаки рациональной функции, стоящей в левой части неравенства
Обратите внимание на то, что числа –8 и 1 являются решениями неравенства, а числа –4 и 6 не принадлежат множеству решений.

ОТВЕТ:

–8 ≤ х < –4, 1 ≤ х < 6

ПРИМЕР:

Решить систему неравенств:

РЕШЕНИЕ:

Решаем методом интервалов первое неравенство.
Точки 3 и –1 <<выколоты>>, так как знаменатель содержит множители

(х – 3) и (х + 1),

которые не могут равняться 0.

Первое неравенство имеет решение

х < –1 и х ˃ 3.

Решаем методом интервалов второе неравенство, его решение

–4 ≤ х < 4.

Найдём пересечение этих множеств.
ОТВЕТ:

–4 ≤ х < –1,

3 < х ≤ 4.

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

РЕШЕНИЕ:

Квадратный трёхчлен

2х² – 5х – 3

имеет корни

х = –¹/₂ и х = 3.

Поэтому

2х² – 5х – 3 = 2(х + ¹/₂)( х – 3).

Квадратный трёхчлен

3х² – 4х + 2

принимает положительные значения при всех х ∈ R, так как его дискриминант

D = 16 – 24 < 0,

а старший коэффициент положителен.

Обозначим левую часть неравенства через Р(х). Функция Р(х) не определена при

х = ⁷/₃ и х = 2

и меняет знак при переходе через точки

–¹/₂, 1, ⁷/₃ и 3.
Числа –¹/₂, 1, и 3 (корни уравнения Р(х) = 0) являются решениями данного неравенства. Строгое неравенство Р(х) ˃ 0 при х ≠ 2 равносильно неравенству

(х + ¹/₂)( х – 1)(х – ⁷/₃)( х – 3) ˃ 0.

Применяя метод интервалов, находим все решения исходного неравенства с учётом того, что числа

–¹/₂, 1, и 3

принадлежат множеству решений неравенства, а число 2 не принадлежит этому множеству.

ОТВЕТ:

х ≤ –¹/₂, 1 ≤ х < 2,

2 < х < ⁷/₃, х ≥ 3

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

РЕШЕНИЕ:

Перенесём 1 в левую часть неравенства с противоположным знаком.
Приведём к общему знаменателю и раскроем скобки в числителе.

Приведём подобные члены в числителе и разложим знаменатель на множители, пользуясь формулой разности квадратов двух чисел.
Умножим обе части неравенства на –1, не забыв поменять знак неравенства на противоположный.