Урок 1. Числовые неравенства

воскресенье, 8 сентября 2019 г.

Урок 1. Числовые неравенства

ВИДЕО УРОК

Сравнение натуральных чисел.

Из двух разных натуральных чисел всегда одно число является больше, а второе меньшим.

Сравнить два разных числа – это значит, что надо установить, какое из них больше, а какое – меньше.

Из двух натуральных чисел меньшим будет то, которое в натуральном ряду находится левее, а большим – то, которое в натуральном ряду находится правее.

ПРИМЕР:

Число 5 меньше числа 7, а число 171 больше числа 19.

Число 0 меньше любого натурального числа.

ПРИМЕР:

0 < 12.

ПРИМЕР:

9 больше 4, соответственно, 4 меньше 9. Коротко записывают

9 > 4 или 4 < 9.

Знаки > и < значат соответственно ≪ больше ≫ и ≪ меньше ≫. Такие знаки называются знаками неравенства. Запись, в котором два числа соединены знаком неравенства, называется числовым неравенством. Числовое неравенство показывает результат сравнения – которое из чисел больше, а которое – меньше. Запись, которая содержит знак ≠, не является числовым неравенством.

Неравенством называется соединение двух числовых или буквенных выражений одним из следующих знаков:

а) > (больше);

б) < (меньше);

в) ≤ (меньше или равно);

г) ≥ (больше или равно).

Выражение, которое стоит слева или справа от знака неравенства, называется соответственно левой или правой частью неравенства. Если обе части неравенства – числа, ее называют числовым неравенством. Таки неравенства бывают правильные и неправильные.

Сравнивать можно одновременно и три числа.

ПРИМЕР:

Число 17 больше 15, но меньше 20. Это записывают так:

15 < 17 < 20.

Такую запись называют двойным неравенством. Часто слово двойное опускают, двойное неравенство называют просто неравенством.

Натуральные числа можно сравнивать, не обращаясь к натуральному ряду.

Сравнивать многоцифровые числа, которые имеют разное количество цифр, легко.

Из двух натуральных чисел, которые имеют разное количество цифр, большим будет то, у которого количество цифр больше.

ПРИМЕР:

В числе

597 013 617 – находится девять цифр, а в числе

99 982 475 – восемь, поэтому первое число больше чем второе.

Если два многоцифровых числа имеют одинаковое количество цифр, то следует пользоваться следующим правилом.

Из двух натуральных чисел с одинаковым количеством цифр большим будет то число, у которого больше первая цифра (при чтении слева направо) из двух сравниваемых цифр.

ПРИМЕР:

42 567 > 37 298,

так как число 42 567 содержит 4 десятка тысяч, а число 37 298 содержит 3 десятка тысяч.

372 569 < 373 478,

так как в этих числах поровну сотен тысяч (по 3) и десятков тысяч (по 7), но в числе 373 478 больше тысяч (3), чем в числе 372 569 (2).

ПРИМЕР:

7256 > 7249,

582 647 > 582 879.

На координатной прямой точка с меньшей координатой находится левее от точки с большей координатой.

ПРИМЕР:

Точка А(7) лежит левее от точки В(9), так как 7 < 9.

На координатном луче из двух натуральных чисел меньше то число, которое находится левее от большего.

ПРИМЕР:

В записи числа вместо нескольких цифр поставили звёздочки. Сравните эти числа.

69* и **43.

РЕШЕНИЕ:

Так как первое число состоит из трёх цифр, а второе – из четырёх, то

69* < **43.

ПРИМЕР:

В записи числа вместо нескольких цифр поставили звёздочки. Сравните эти числа.

72*** и 70***.

РЕШЕНИЕ:

Цифр в этих числах поровну. Первая цифра каждого из них равна 7. Вторые цифры этих чисел равны соответственно 2 и 0. Так как 2 ˃ 0, то

72*** ˃ 70***.

ПРИМЕР:

Какую из данных цифр

(8; 7; 6; 9)

можно поставить вместо звёздочки в следующее неравенство

1472 ˃ 14*4,

чтобы получилось правильное неравенство ?

РЕШЕНИЕ:

Пользуясь следующим правилом,

Мы видим, что для того чтобы число справа было меньше числа слева, надо чтобы вместо звёздочки стояла цифра меньше 7. Из предложенных цифр – это цифра 6.

ОТВЕТ: 6

ПРИМЕР:

Сравните

8 км 24 м и 8146 м.

РЕШЕНИЕ:

Так как

8 км 24 м = 8024 м, то

8 км 24 м < 8146 м.

ПРИМЕР:

Укажите правильное неравенство.

6 ц < 598 кг,

7 ц 32 кг ˃ 723 кг,

2 км 85 м ˃ 2122 м,

1 км 42 м ˃ 1200 м.

РЕШЕНИЕ:

Учитывая, что 6 ц = 600 кг, очевидно, что первое неравенство неправильное.

Учитывая, что 7 ц 32 кг = 732 кг, очевидно, что второе неравенство правильное.

Так как 2 км 85 м = 2085 м, то очевидно, что третье неравенство неправильное.

Так как 1 км 42 м = 1042 м, то очевидно, что третье неравенство неправильное.

Сравнение рациональных чисел.

Неравенство с переменными при одних значениях переменных может быть правильным, а при других – неправильной.

Для произвольных чисел а и b выполняется одно и только одно из соотношений:

a = b, a < b, a > b.

ПРИМЕР:

Сравним обыкновенные дроби

⁵/₈ и ⁴/₇.

Для этого приведём их к общему знаменателю:

⁵/₈ = ³⁵/₅₆; ⁴/₇ = ³²/₅₆.

Так как 35 ˃ 32, то ⁵/₈ ˃ ⁴/₇.

ПРИМЕР:

Сравним десятичные дроби

3,6748 и 3,675.

Цифры в разрядах единиц, десятых и сотых совпадают, а в разряде тысячных в первой дроби записана цифра 4, а во второй – цифра 5. Так как 4 < 5, то

3,6748 < 3,675.

ПРИМЕР:

Сравним обыкновенную дробь ⁹/₂₀ и десятичную дробь 0,45. Обратив дробь ⁹/₂₀ в десятичную, получим, что

⁹/₂₀ = 0,45.

ПРИМЕР:

Сравним отрицательные числа –15 и –23. Модуль первого числа меньше модуля второго. Значит, первое число больше второго, т. е.

–15 ˃ –23.

При сравнении чисел находят их разность и выясняют, является ли эта разность положительным числом, отрицательным числом или нулём. Этот способ сравнения чисел основан на следующем определении.

Число а больше числа b, если разность (а – b) – положительное число;

Число а меньше числа b, если разностьь (а – b) – отрицательное число.

Если разность а – b равна нулю, то число а и b равны.

На координатной прямой большее число изображается точкой, лежащей правее, а меньшее – точкой, лежащей левее. Действительно, пусть а и b – некоторые числа. Если

с < а, а < b і с < b,

то на координатной прямой это выглядит так:

Обозначим разность а – b буквой с. Так как а – b = с, то

а = b + с.

Если с – положительное число, то точка с координатой b + с лежит правее точки с координатой b, а если с – отрицательное число то левее.
Значит, если a > b, то точка с координатой а лежит правее точки с координатой b, а если a < b – левее.

Неравенство называется тождественным, если оно верно при всех значениях входящих в него букв. Верное неравенство. содержащее только числа, также называется тождественным.
Как и уравнения, неравенства могут содержать неизвестные величины (они обычно обозначаются последними буквами латинского алфавита). Решить неравенство значит – определить, в каких границах должны заключаться значения неизвестных величин, чтобы неравенство было верным. Два неравенства, содержащие одни и те же неизвестные, называются равносильными, если они верны при одних и тех же значениях неизвестных.

ПРИМЕР:

Какое из неравенств будет неправильным ?

3210 ˃ –40425,

¹/₂ < ¹/₃,

–√͞͞͞͞͞3 ˃ –√͞͞͞͞͞5,

0,5^-2 ˃ 1.

РЕШЕНИЕ:

Первое неравенство правильное, так как положительное число всегда больше отрицательного.

Для того, чтобы определить правильное или неправильное второе неравенство, надо дроби привести к общему знаменателю.

¹/₂ = ³/₆, ¹/₃ = ²/₆,

³/₆ ˃ ²/₆, поэтому

¹/₂ ˃ ¹/₃.

Значит второе неравенство – неправильное.

Третье неравенство правильное, так как при сравнении отрицательных чисел, больше то, у которого модуль числа меньше.

Четвёртое неравенство тоже правильное, так как:

0,5^-2 = (¹/₂)^-2 = 2² = 4,

а 4 больше 1.

ПРИМЕР:

Сравните 24 мин и ²/₅ час.

РЕШЕНИЕ:

Определим, сколько минут составляет ²/₅ часа.

²/₅ час = ²/₅ ∙ 60 мин = 24 мин.

ОТВЕТ:

24 мин = ²/₅ час

Задания к уроку 1

ДРУГИЕ УРОКИ

Уроки математики и физики для школьников и родителей

воскресенье, 8 сентября 2019 г.