Урок 7. Нелинейные неравенства

воскресенье, 29 сентября 2019 г.

Урок 7. Нелинейные неравенства

ВИДЕО УРОК

Квадратные неравенства.

Здесь речь идёт о неравенствах вида

ах² + bх + с ˃ 0

или

ах² + bх + с < 0,

где а ≠ 0.

Если дискриминант

D = b² – 4ac

квадратного трёхчлена

ах² + bх + с

отрицателен, а старший коэффициент а положителен, то при всех значениях х выполняется неравенство

ах² + bх + с ˃ 0.

Рассмотрим теперь случай, когда

D ≥ 0.

Для решения неравенства

ах² + bх + с ˃ 0

(или ах² + bх + с < 0)

нужно разложить квадратный трёхчлен

на множители по формуле

ах² + bх + с = а(х – х₁)( х – х₂).

Затем разделить обе части неравенства

а(х – х₁)( х – х₂) ˃ 0

(или а(х – х₁)( х – х₂) < 0)

на число а, сохранив знак неравенства, если а ˃ 0, и изменив знак неравенства на противоположный, если а < 0, то есть перейти к неравенству

(х – х₁)(х – х₂) ˃ 0

(или (х – х₁)(х – х₂) < 0).

Теперь остаётся воспользоваться тем, что произведение двух чисел положительно (отрицательно), если множители имеют одинаковые (разные) знаки.

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

2х² + 5х + 2 ˃ 0.

РЕШЕНИЕ:

Найдём корни трёхчлена

2х² + 5х + 2

из уравнения

2х² + 5х + 2 = 0.

Пользуясь следующей формулой
получаем:

х₁ = –2,

х₂ = –¹/₂.

Затем пользуемся следующим правилом:

Если дискриминант квадратного трёхчлена

ax² + bx + c

положительный, то данный трёхчлен можно разложить на линейные множители.

ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂),

Значит,

2х² + 5х + 2 = 2(х + 2)(х + ¹/₂),

и мы приходим к неравенству

2(х + 2)(х + ¹/₂) ˃ 0.

И далее

(х + 2)(х + ¹/₂) ˃ 0.

Выражения

х + 2, х + ¹/₂

должны иметь одинаковые знаки, то есть:

или
Из первой системы находим:

х ˃ –¹/₂,

а из второй

х < –2.

ОТВЕТ:

х ˃ –¹/₂, х < –2

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

7х + 10 ≥ 3х².

РЕШЕНИЕ:

Преобразуем неравенство к следующему виду:

7х + 10 – 3х² ≥ 0

и, умножив обе части последнего неравенства на –1, получим

3х² – 7х – 10 ≤ 0.

Корни квадратного трёхчлена

3х² – 7х – 10

таковы:

х₁ = –1,

х₂ = ¹⁰/₃.

Разложив квадратный трёхчлен на множители, получим:

3(х + 1)(х – ¹⁰/₃) ≤ 0.

и далее

(х + 1)(х – ¹⁰/₃) ≤ 0.

От последнего неравенства переходим к совокупности систем неравенств.

Первая система не имеет решений, а из второй находим:

–1 ≤ х ≤ ¹⁰/₃.

ОТВЕТ: –1 ≤ х ≤ ¹⁰/₃

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

х² – 6х + 9 ˃ 0.

РЕШЕНИЕ:

Квадратный трёхчлен

х² – 6х + 9

имеет два одинаковых корня

х₁ = х₂ = 3.

Значит

х² – 6х + 9 = (х – 3)²

и неравенство принимает следующий вид:

(х – 3)² ˃ 0.

Это неравенство выполняется при всех х, кроме х = 3.

ОТВЕТ:

(–∞; 3) ∪ (3; +∞)

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

х² ≥ 25.

РЕШЕНИЕ:

Последовательно преобразуем неравенство.

х² – 25 ≥ 0,

(х – 5)(х + 5) ≥ 0,

откуда
или
Из первой системы получаем

х ≥ 5,

из второй

х ≤ –5.

ОТВЕТ: х ≥ 5, х ≤ –5

ПРИМЕР:

Решите неравенство:

(x – 1)(x – 3) ≤ 27 – 2x.

РЕШЕНИЕ:

x² – 3x – х + 3 ≤ 27 – 2x,

x² – 2x – 24 ≤ 0,

х₁= 6, х₂= – 4.

ОТВЕТ: [–4; 6]

ПРИМЕР:

Решите неравенство:

4х²+ 4х + 1 > 0.

РЕШЕНИЕ:

(2x + 1)²> 0.

ОТВЕТ:

решением неравенства будут все действительные числа, кроме

х = –0,5.

(–∞; –0,5) ∪ (–0,5; +∞);

ПРИМЕР:

Сколько целых чисел находится в множестве решений неравенства ?

(х + 1)²(х + 6)(х – 2) < 0.

РЕШЕНИЕ:

х ≠ –1, так как при этом значении левая часть неравенства равна нулю, а это не соответствует условию примера.

Первый множитель неравенства всегда будет положительным, поэтому, чтобы левая часть неравенства была меньше нуля необходимо, чтобы произведение двух других множителей было меньше нуля:

(х + 6)(х – 2) < 0.

откуда
или
Из первой системы получаем

–6 < х < 2,

из второй

х < –6,

х ˃ 2.

Решением неравенства будет:

–6 < х < 2.

В данный промежуток входят целые числа:

–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1.

Так как –1 не входит в область допустимых значений, то количество целых чисел, являющихся решением данного неравенства, будет равно 6.

ОТВЕТ: 6

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

х⁴ – 5х² + 4 ˃ 0.

РЕШЕНИЕ:

Обозначив x² = t, получаем неравенство

t² – 5t + 4 ˃ 0,

которое равносильно неравенству

(t – 1)(t – 4) ˃ 0.

Откуда находим

t < 1, t ˃ 4.

Поэтому множество решений исходного неравенства – объединение множеств решений неравенств

x² < 1, x² ˃ 4,

которые равносильны неравенствам

|x| < 1, |x| ˃ 2

соответственно.

ОТВЕТ:

x < –2, –1 < х < 1, x ˃ 2

Решение квадратных неравенств методом интервалов.

Приравнять квадратный трёхчлен к нулю и найти его корни.

Разложить квадратный трёхчлен на множители по формуле:

ах² + bх + с = а(х – х₁)( х – х₂).

Отметить корни на координатной прямой и нарисовать интервалы.

Если трёхчлен не имеет корней, то интервалов на прямой нет.

Отметить знак выражения на каждом интервале координатной прямой.

Выбрать нужный интервал, в соответствии со знаком неравенства (если знак неравенства ˃ или ≥,

то выбираем интервал со знаком +,

если знак неравенства < или ≤,

то выбираем интервалы со знаком –).

Записать ответ.

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

х² + 4х + 3 < 0.

РЕШЕНИЕ:

х² + 4х + 3 = 0,

D = 4² – 4 × 3 × 1

= 16 – 12 = 4 = 2²,

х₁ = –3, х₂ = –2.

х² + 4х + 3 = (х + 3)(х + 2),

(х + 3)(х + 2) < 0.

–3 < х < –2.

ОТВЕТ: –3 < х < –2.

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

(х – 1)² < 4.

РЕШЕНИЕ:

Это неравенство равносильно следующему

|х – 1| < 2.

Так как модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками, изображающими эти числа, то решение данного неравенства сводится к нахождению точек х числовой прямой, которые удалены от точки 1 на расстояние, не превосходящее 2. Такими точками являются точки интервала (–1, 3).

ОТВЕТ: –1 < х < 3

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

(х – 1)² ˃ 9.

РЕШЕНИЕ:

Неравенству

|х – 1| ˃ 3,

которое равносильно исходному, удовлетворяют все точки числовой прямой, расстояние от которых до точки 1 больше 3.

Это точки, лежащие вне отрезка длиной 6 с центром в точке 1, то есть точки, лежащие вне отрезка [–2; 4]. Таким образом, множество решений исходного неравенства – объединение следующих промежутков:

(–∞, –2) и (4, +∞)

ОТВЕТ: х < –2, х ˃ 4

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

(1 – 3х)⁷(3 – 2х)²(1 + 3х)³(2 – х)⁵х³(х + 2)⁴(х + 3)³ ˃ 0.

РЕШЕНИЕ:

1) Вначале необходимо найти нули левой части данного неравенства (т. е. те значения х, которые обращают многочлен в 0). Это

х₁ = ¹/₃; х₂ = ³/₂; х₃ = –¹/₃;

х₄ = 2; х₅ = 0; х₆ = –2; х₇ = –3.

Все эти значения переменной х необходимо будет исключить из решения неравенства, которое в дальнейшем получится (так как при этих значениях х левая часть исходного неравенства равна нулю, а не больше нуля).

2) В левую часть исходного неравенства входят множители

(3 – 2х)² и (х + 2)⁴.

Эти выражения всегда положительны (так как те значения, при которых они равны нулю, уже исключили в пункте 1). Следовательно, если разделить исходное неравенство на положительное выражение

(3 – 2х)²(х + 2)⁴,

То получим равносильное ему неравенство

(1 – 3х)⁷(1 + 3х)³(2 – х)⁵х³(х + 3)³ ˃ 0.

Перепишем его в виде

(1 – 3х)⁶(1 – 3х)(1 + 3х)²(1 + 3х)×

(2 – х)⁴(2 – х)х²x (х + 3)²(х + 3) ˃ 0.

Пользуясь приёмом, разобранным в пункте 2, переходим к следующему неравенству, равносильному исходному:

(1 – 3х)(1 + 3х)(2 – х) x (х + 3) ˃ 0.

Таким образом, если исходное неравенство содержит произведение сомножителей в степенях, то все сомножители в чётных степенях можно исключить (причём это можно делать только после выполнения пункта 1). Сомножители, показатель степени которых – нечётное число, заменить на соответствующие им сомножители в первой степени.

3) Преобразуем последнее неравенство так, чтобы везде в скобках на первом месте стоял член, содержащий переменную х:

(–3х + 1)(3х + 1)(–х + 2)(х + 3) x ˃ 0.

В полученном неравенстве из каждого сомножителя вынесем за знак скобок множители так, чтобы на первом месте в скобках оказался только х. Из первой скобки вынесем множитель (–3), из второй 3, из третьей (–1):

–3 (х – ¹/₃) 3 (х + ¹/₃) (–1) (х – 2)(х + 3) x ˃ 0,

9 (х – ¹/₃)(х + ¹/₃)(х – 2)(х + 3) x ˃ 0.

Разделим обе части неравенства на положительное число 9, получим

(х – ¹/₃)(х + ¹/₃)(х – 2)(х + 3) x ˃ 0.

Для однообразия представим последний сомножитель х в виде (х – 0):

(х – ¹/₃)(х + ¹/₃)(х – 2)(х + 3)(х – 0) ˃ 0.

4) Отметим на координатной прямой значения х, при которых левая часть неравенства обращается в нуль. Это значения

¹/₃; –¹/₃; 2; –3; 0.

Проведём через отмеченные точки волнообразную линию начиная справа сверху, как показано на рисунке.

Вся координатная прямая разбилась на 6 промежутков. Самый правый из них (2; ∞) всегда будет положительный, отметим его знаком <<+>>. Далее знаки в промежутках чередуются. Эту иллюстрацию нужно понимать так: на тех промежутках, где кривая проходит выше координатной прямой (знак <<+>>), выполняется неравенство

(х – ¹/₃)(х + ¹/₃)(х – 2)(х + 3)(х – 0) ˃ 0;

На тех же промежутках, где кривая проходит ниже прямой (знак <<–>>), имеем

(х – ¹/₃)(х + ¹/₃)(х – 2)(х + 3)(х – 0) < 0.

Таким образом, окончательное решение исходного неравенства есть объединение промежутков

(–3; –¹/₃) ∪ (0; ¹/₃) ∪ (2; ∞).

ОТВЕТ:

(–3; –¹/₃) ∪ (0; ¹/₃) ∪ (2; ∞).

Задания к уроку 7

Задание 1

Задание 2

Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

Уроки математики и физики для школьников и родителей

воскресенье, 29 сентября 2019 г.