Уроки математики и физики (RU + UA)

воскресенье, 29 сентября 2019 г.

Урок 7. Нелінійні нерівності

ВИДЕО УРОК
Квадратні нерівності.

Тут йдеться про нерівності виду

ах2 + + с ˃ 0

чи

ах2 + + с < 0,   

де  а 0.

Якщо дискримінант

D = b2 – 4ac

квадратного тричлена

ах2 + + с

негативний, а старший коефіцієнт  а  позитивний, то при усіх значеннях  х  виконується нерівність

ах2 + + с ˃ 0.

Розглянемо тепер випадок, коли

D ≥ 0.

Для вирішення нерівності

ах2 + + с ˃ 0

(чи  ах2 + + с < 0)

треба розкласти квадратний тричлен

на множники по формулі

ах2 + + с = а(хх1)( хх2).

Потім розділити обидві частини нерівності

а(хх1)( хх2) ˃ 0

(чи  а(хх1)( хх2) < 0)

на число  а, зберігши знак нерівності, якщо  а ˃ 0, і змінивши знак нерівності на протилежний, якщо  а < 0, тобто перейти до нерівності

(хх1)(хх2) ˃ 0

(чи  (хх1)(хх2) < 0).

Тепер залишається скористатися тим, що твір двох чисел позитивний (негативно), якщо множники мають однакові (різні) знаки.

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть нерівність:

2х2 + 5х + 2 ˃ 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знайдемо корені тричлена

2х2 + 5х + 2

з рівняння

2х2 + 5х + 2 = 0.

Користуючись наступною формулою
отримуємо:
х1 = –2,

х2 = –1/2.

Потім користуємося наступним правилом:

Якщо дискримінант квадратного тричлена

ax2 + bx + c 

позитивний, то цей тричлен можна розкласти на лінійні множники.

ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2),

Значить,

2х2 + 5х + 2 = 2(х + 2)(х + 1/2),

і ми приходимо до нерівності

2(х + 2)(х + 1/2) ˃ 0.

І далі

(х + 2)(х + 1/2) ˃ 0.

Вирази

х + 2,  х + 1/2

повинні мати однакові знаки, тобто:
або
З першої системи знаходимо:

х ˃1/2,

а з другої

х < –2.

ВІДПОВІДЬ:

х ˃1/2х < –2

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть нерівність:

7х + 10 ≥ 3х2.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перетворимо нерівність до наступного виду:

7х + 10 – 3х2 ≥ 0

і, помноживши обидві частини останньої нерівності на  –1, отримаємо

3х2 – 7х – 10 ≤ 0.

Корені квадратного тричлена

3х2 – 7х – 10

такі:

х1 = –1,

х2 = 10/3.

Розклавши квадратний тричлен на множники, отримаємо:

3(х + 1)(х10/3) ≤ 0.

і далі

(х + 1)(х10/3) ≤ 0.

Від останньої нерівності переходимо до сукупності систем нерівностей.
Перша система не має рішень, а з другої знаходимо:

–1 ≤ х 10/3.

ВІДПОВІДЬ: 

–1 ≤ х 10/3

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть нерівність:

х2 – 6х + 9 ˃ 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Квадратний тричлен

х2 – 6х + 9

має два однакові корені

х1 = х2 = 3.

Значить

х2 – 6х + 9 = (х – 3)2

і нерівність набирає наступного вигляду:

(х – 3)2 ˃ 0.

Ця нерівність виконується при усіх  х, окрім  х = 3.

ВІДПОВІДЬ: 

(–∞; 3) (3; +∞)

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть нерівність:

х2 ≥ 25.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Послідовно перетворимо нерівність.

х2 – 25 ≥ 0,

(х – 5)(х + 5) ≥ 0.

Звідки
чи
З першої системи отримуємо

х 5,

з другої

х –5.

ВІДПОВІДЬ: 

х 5х –5

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть нерівність:              

(x – 1)(x – 3) 27 – 2x.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

x2 – 3x х + 3 27 – 2x,

x2 – 2x – 24  ≤ 0,

х1 = 6,   х2 = – 4.

ВІДПОВІДЬ:  [–4; 6]

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть нерівність:  

4х2+4х + 1 > 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

(2x + 1)2 > 0.

ВІДПОВІДЬ: 

Розв’язком нерівності є всі дійсні числа, крім 

х = 0,5.                   

(–∞; –0,5) (–0,5; +∞)

ПРИКЛАД:

Скільки цілих чисел знаходиться у  безлічі рішень нерівності ?

(х + 1)2(х + 6)(х – 2) < 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

х –1, оскільки при цьому значенні ліва частина нерівності дорівнює нулю, а це не відповідає умові прикладу.

Перший множник нерівності завжди буде позитивним, тому, щоб ліва частина нерівності була менше нуля потрібний, щоб добуток двох інших множників був менше нуля:

(х + 6)(х – 2) < 0.

звідки
чи
З першої системи отримуємо

–6 < х < 2,

з другої

х < –6,

х ˃ 2.

Рішенням нерівності буде:

–6 < х < 2.

У цей проміжок входять цілі числа:

–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1.

Оскільки  –1  не входить в область допустимих значень, та кількість цілих чисел, що є рішенням цієї нерівності, буде рівне  6.

ВІДПОВІДЬ:  6

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть нерівність:

х4 – 5х2 + 4 ˃ 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Позначивши  x2 = t, отримуємо нерівність

t2 – 5t + 4 ˃ 0,

яке рівносильне нерівності

(t – 1)(t – 4) ˃ 0.

Звідки знаходимо

t < 1, t ˃ 4.

Тому безліч рішень початкової нерівності – об'єднання безлічі рішень нерівностей

x2 < 1, x2 ˃ 4,

які рівносильні нерівностям

|x| < 1, |x| ˃ 2

відповідно.

ВІДПОВІДЬ:

x < –2,  –1 < х < 1,  x ˃ 2

Рішення квадратних нерівностей методом інтервалів.

Прирівняти квадратний тричлен до нуля і знайти його корені.
Розкласти квадратний тричлен на множники по формулі:

ах2 + + с = а(хх1)( хх2).

Відмітити корені на координатній прямій і намалювати інтервали. 

Якщо тричлен не має коренів, то інтервалів на прямій немає.

Відмітити знак вираження на кожному інтервалі координатної прямої.

Вибрати потрібний інтервал, відповідно до знаку нерівності (якщо знак нерівності  ˃  або  , те вибираємо інтервал зі знаком  +, якщо знак нерівності  <  чи  , те вибираємо інтервали зі знаком  ).

Записати відповідь.

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть нерівність:

х2 + 4х + 3 < 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

х2 + 4х + 3 = 0,
D = 42 – 4 × 3 × 1
= 16 – 12 = 4 = 22,
х1 = –3,  х2 = –2.
х2 + 4х + 3 = (х + 3)(х + 2),
(х + 3)(х + 2) < 0.
–3 < х < –2.

ВІДПОВІДЬ:  –3 < х < –2.

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть нерівність:

(х – 1)2 < 4.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Ця нерівність рівносильна наступної

|х – 1| < 2.

Оскільки модуль різниці двох чисел дорівнює відстані між точками, що зображують ці числа, те рішення цієї нерівності зводиться до знаходження точок  х  числової прямої, які віддалені від точки  1  на відстань, що не перевершує  2. Такими точками є точки інтервалу  (–1,  3).

ВІДПОВІДЬ:  –1 < х < 3

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть нерівність:

(х – 1)2 ˃ 9.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нерівності

|х – 1| ˃ 3,

яке рівносильне початковому, задовольняють усі точки числової прямої, відстань від яких до точки  1  більше  3.

Це точки, що лежать поза відрізком завдовжки  6  з центром в точці  1, тобто точки, що лежать поза відрізком  [–2; 4]. Таким чином, безліч рішень початкової нерівності – об'єднання наступних проміжків:

(–∞, –2)  и  (4, +∞)

ВІДПОВІДЬ:   х < –2,  х ˃ 4

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть нерівність:

(1 – 3х)7(3 – 2х)2(1 + 3х)3(2 – х)5 х3 (х + 2)4(х + 3)3 ˃ 0.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

1) Спочатку необхідно знайти нулі лівої частини цієї нерівності (т. е. ті значення  х, які обертають многочлен в  0). Це

х1 = 1/3х2 = 3/2х3 =1/3;
х4 = 2х5 = 0; х6 = –2х7 = –3.

Усі ці значення змінної  х  необхідно буде виключити з рішення нерівності, яка надалі вийде (оскільки при цих значеннях  х  ліва частина початкової нерівності дорівнює нулю, а не більше нуля).

2) У ліву частину початкової нерівності входять множники

(3 – 2х)2  и  (х + 2)4.

Ці вирази завжди позитивні (оскільки ті значення, при яких вони дорівнюють нулю, вже виключили в пункті  1). Отже, якщо розділити початкову нерівність на позитивне вираження

(3 – 2х)2(х + 2)4,

Те отримаємо рівносильна йому нерівність

(1 – 3х)7(1 + 3х)3(2 – х)5 х3 (х + 3)3 ˃ 0.

Перепишемо його у виді

(1 – 3х)6(1 – 3х)(1 + 3х)2(1 + 3х
(2 – х)4(2 – х) х2x (х + 3)2(х + 3) ˃ 0.

Користуючись прийомом, розібраним в пункті  2, переходимо до наступної нерівності, рівносильної початкової:

(1 – 3х)(1 + 3х)(2 – х)  x (х + 3) ˃ 0.

Таким чином, якщо початкова нерівність містить твір співмножників в мірах, то усі співмножники в парних мірах можна виключити (причому це можна робити тільки після виконання пункту  1). Співмножники, показник міри яких – непарне число, замінити на співмножники, що відповідають їм, в першому ступені.

3) Перетворимо останню нерівність так, щоб скрізь в дужках на першому місці стояв член, що містить змінну х:

(–3х + 1)(3х + 1)(–х + 2)(х + 3)  x ˃ 0.

У отриманій нерівності з кожного співмножника винесемо за знак дужок множники так, щоб на першому місці в дужках виявився тільки  х. З першої дужки винесемо множник  (–3), з другої  3, з третьої  (–1):

–3(х1/3) 3(х + 1/3) (–1) (х – 2)(х + 3) x ˃ 0,
9(х1/3)(х + 1/3)(х – 2)(х + 3) x ˃ 0.

Розділимо обидві частини нерівності на позитивне число  9, отримаємо

(х1/3)(х + 1/3)(х – 2)(х + 3) x ˃ 0.

Для одноманітності представимо останній співмножник  х  у виді  (х0):

(х1/3)(х + 1/3)(х – 2)(х + 3)(х0) ˃ 0.

4) Відмітимо на координатній прямій значення  х, при яких ліва частина нерівності перетворюється на нуль. Це значення

1/3;  –1/32–30.

Проведемо через відмічені точки хвилеподібну лінію починаючи справа згори, як показано на малюнку.
Уся координатна пряма розбилася на  6  проміжків. Найправіший з них   (2;)   завжди буде позитивний, відмітимо його знаком  <<+>>. Далі знаки в проміжках чергуються. Цю ілюстрацію треба розуміти так: на тих проміжках, де крива проходить вище за координатну пряму (знак  <<+>>), виконується нерівність

(х1/3)(х + 1/3)(х – 2)(х + 3)(х0) ˃ 0;

На тих же проміжках, де крива проходить нижче прямої  (знак <<–>>), маємо

(х1/3)(х + 1/3)(х – 2)(х + 3)(х0) < 0.

Таким чином, остаточне рішення початкової нерівності є об'єднання проміжків

(–3; –1/3) (0; 1/3) (2; ).

ВІДПОВІДЬ:

(–3; –1/3) (0; 1/3) (2; ).

Комментариев нет:

Отправить комментарий