Урок 6. Системи лінійних нерівностей

ВИДЕО УРОК

Говорять, що декілька нерівностей з однією змінною утворюють систему нерівностей, якщо ставиться завдання знайти усі загальні рішення заданих нерівностей.

Рішенням системи нерівностей з однією змінною називаються значення змінної, при яких кожне з нерівностей звертається в правильне числове нерівність.

Щоб вирішити систему нерівностей з однією змінною, необхідно вирішити кожне нерівність, а потім знайти їх спільне рішення.

ПРИКЛАД:

Запис

означає, що нерівності

2х – 1 ˃ 3,

3х – 2 < 11

утворюють систему.

Іноді використовують запис у вигляді подвійної нерівності.

ПРИКЛАД:

Систему нерівностей

можна записати у вигляді подвійної нерівності.

1 < 2х + 1 < 5.

ПРИКЛАД:

Розв’яжіть систему нерівностей:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перша нерівність системи перетвориться в рівносильну йому нерівність

х ˃ –³/₂,

а друге – в нерівність

х < ⁵/₄.

Таким чином, завдання зводиться до рішення системи:

За допомогою координатної прямої

Знаходимо, що безліч рішень системи є інтервал

(–³/₂; ⁵/₄)

(перетин заштрихованих на малюнку проміжків).

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть систему нерівностей:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо:

Звідси

Рішенням системи є значення  х, що задовольняють кожній з нерівностей

х ˃ 3,5  и  х < 6.

Зображує на координатній прямій безліч чисел, що задовольняють нерівності

х ˃ 3,5,

і безліч чисел, що задовольняють нерівності

х < 6,

знайдемо, що обидві нерівності вірні при

3,5 < х < 6.

Безліч рішень системи є проміжок

(3,5; 6).

Відповідь можна записати у вигляді проміжку

(3,5; 6)

чи у вигляді подвійної нерівності

3,5 < х < 6,

задаючого цей проміжок.

ВІДПОВІДЬ:  (3,5; 6)

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть систему нерівностей:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо:

Звідси

Зображуватимемо на координатній прямій безлічі рішень кожного з нерівностей.

Обидві нерівності вірні при

х ˃ 9.

Відповідь можна записати у вигляді нерівності

х ˃ 9

чи у вигляді числового проміжку

(9; +∞),

що задається цією нерівністю.

ВІДПОВІДЬ:  (9; +∞)

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть систему нерівностей:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо:

Звідси

Використовуючи координатну пряму, знайдемо загальні рішення нерівностей

х < 2  і  х < 5,

тобто перетин безлічі їх рішень.

Перетин цих великих кількостей складається з чисел, що задовольняють умові

х < 2,

тобто є числовим проміжком

(–∞; 2).

ВІДПОВІДЬ:  (–∞; 2)

ПРИКЛАД:

Розв'яжіть систему нерівностей:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо:

Звідси

Використовуючи координатну пряму,

Знайдемо, що безліч чисел, що задовольняють нерівності

х < –2,

і безліч чисел, що задовольняють нерівності

х ˃ 3,

Не мають загальних елементів, т. е. їх перетин порожній. Ця система не має рішень.

ЗАДАЧА:

Турист вийшов з турбази у напрямку до станції, розташованої на відстані  20 км. Якщо турист збільшить швидкість на  1 км/год, то за  4 год  він пройде відстань більше  20 км. Якщо він зменшить швидкість на  1 км/год, то навіть за  5 год  не встигне дійти до станції. Яка швидкість туриста ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай швидкість туриста дорівнює  х км/год. Якщо турист йтиме зі швидкістю 

(х + 1) км/час,

те за  4 год  він пройде 

4(х + 1) км.

По умові завдання

4(х + 1) ˃ 20.

Якщо турист йтиме зі швидкістю

(х – 1) км/час,

те за  5 год  він пройде

5(х – 1) км.

По умові завдання

5(х – 1) < 20.

Вимагається знайти ті значення  х, при яких вірно як нерівність

4(х + 1) ˃ 20,

так і нерівність

5(х – 1) < 20,

т. е. знайти загальні рішення цих нерівностей. У таких випадках говорять, що потрібно вирішити систему нерівностей, і використовують запис

Замінивши кожну нерівність системи рівносильною йому нерівністю, отримаємо систему

Значить, значення  х  повинне задовольняти умові

4 < х < 5.

ВІДПОВІДЬ: 

Швидкість туриста більше  4 км/год, але менше  5 км/час.

ПРИКЛАД:

Вирішити подвійну нерівність:

–1 < 3 + 2х < 3.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Подвійна нерівність є іншим записом системи нерівностей:

Вирішивши її, знайдемо, що обидві нерівності вірні при

–2 < х < 0.

В даному прикладі запис зручно вести так:

–1 < 3 + 2х < 3,

–4 < 2х < 0,

–2 < х < 0.

ВІДПОВІДЬ:

–2 < х < 0

Завдання до уроку 6

• Завдання 1 
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Числові нерівності
• Урок 2. Властивості числових нерівностей
• Урок 3. Додавання і добуток числових нерівностей
• Урок 4. Числові проміжки
• Урок 5. Лінійні нерівності
• Урок 7. Нелінійні нерівності
• Урок 8. Системи нелінійних нерівностей
• Урок 9. Дробово-раціональні нерівності
• Урок 10. Рішення нерівностей за допомогою графіків
• Урок 11. Нерівність з модулем
• Урок 12. Ірраціональні нерівності
• Урок 13. Нерівності з двома змінними
• Урок 14. Системи нерівностей з двома змінними
• Урок 15. Наближені обчислення
• Урок 16. Абсолютна і відносна погрішність