Уроки математики и физики (RU + UA)

суббота, 28 сентября 2019 г.

Урок 6. Системы линейных неравенств

ВИДЕО УРОК
Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют систему неравенств, если ставится задача найти все общие решения заданных неравенств.

Решением системы неравенств с одной переменной называются значения переменной, при которых каждое из неравенств обращается в верное числовое неравенство.

Чтобы решить систему неравенств с одной переменной, необходимо решить каждое неравенство, а затем найти их общее решение.

Неравенства, образующие систему, объединяют фигурной скобкой.

ПРИМЕР:

Запись
означает, что неравенства

2х – 1 ˃ 3,

3х – 2 < 11

образуют систему.

Иногда используют запись в виде двойного неравенства.

ПРИМЕР:

Систему неравенств
можно записать в виде двойного неравенства.

1 < 2х + 1 < 5.

ПРИМЕР:

Решить систему неравенств:
РЕШЕНИЕ:

Первое неравенство системы преобразуется в равносильное ему неравенство

х ˃ –3/2,

а второе – в неравенство

х < 5/4.

Таким образом, задача сводится к решению системы:
С помощью координатной прямой
Находим, что множество решений системы есть интервал

(3/2; 5/4)

(пересечение заштрихованных на рисунке промежутков).

ПРИМЕР:

Решить систему неравенств:
Имеем:
Отсюда
Решением системы являются значения  х, удовлетворяющие каждому из неравенств

х ˃ 3,5  и  х < 6.

Изобразив на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенству

х ˃ 3,5,

и множество чисел, удовлетворяющих неравенству

х < 6,

найдём, что оба неравенства верны при

3,5 < х < 6.
Множество решений системы есть промежуток

(3,5; 6).

Ответ можно записать в виде промежутка

(3,5; 6)

или в виде двойного неравенства

3,5 < х < 6,

задающего этот промежуток.

ПРИМЕР:

Решить систему неравенств:
Имеем:
Отсюда
Изобразим на координатной прямой множества решений каждого из неравенств.
Оба неравенства верны при

х ˃ 9.

Ответ можно записать в виде неравенства

х ˃ 9

или в виде числового промежутка

(9; +∞),

задаваемого этим неравенством.

ПРИМЕР:

Решить систему неравенств:
Имеем:
Отсюда
Используя координатную прямую, найдём общие решения неравенств

х < 2  и  х < 5,

т. е. пересечение множеств их решений.
Пересечение этих множеств состоит из чисел, удовлетворяющих условию

х < 2,

т. е. представляет собой числовой промежуток

(–; 2).

ПРИМЕР:

Решить систему неравенств:
Имеем:
Отсюда
Используя координатную прямую,
найдём, что множество чисел, удовлетворяющих неравенству

х < –2,

и множество чисел, удовлетворяющих неравенству

х ˃ 3,

Не имеют общих элементов, т. е. их пересечение пусто. Данная система не имеет решений.

ЗАДАЧА:

Турист вышел с турбазы по направлению к станции, расположенной на расстоянии  20 км. Если турист увеличит скорость на  1 км/час, то за  час  он пройдёт расстояние больше  20 км. Если он уменьшит скорость на  1 км/час, то даже за  5 час  не успеет дойти до станции. Какова скорость туриста ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть скорость туриста равна  х км/час. Если турист будет идти со скоростью 

(х + 1) км/час,

то за  4 час  он пройдёт 

4(х + 1) км.

По условию задачи

4(х + 1) ˃ 20.

Если турист будет идти со скоростью

(х – 1) км/час,

то за  5 час он пройдёт

5(х – 1) км.

По условию задачи

5(х – 1) < 20.

Требуется найти те значения  х, при которых верно как неравенство

4(х + 1) ˃ 20,

так и неравенство

5(х – 1) < 20,

т. е. найти общие решения этих неравенств. В таких случаях говорят, что надо решить систему неравенств, и используют запись
Заменив каждое неравенство системы равносильным ему неравенством, получим систему
Значит, значение  х  должно удовлетворять условию

4 < х < 5.

ОТВЕТ: 

Скорость туриста больше  4 км/час, но меньше  5 км/час.

ПРИМЕР:

Решить двойное неравенство:

–1 < 3 + 2х < 3.

Комментариев нет:

Отправить комментарий