Урок 6. Системы линейных неравенств

ВИДЕО УРОК

Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют систему неравенств, если ставится задача найти все общие решения заданных неравенств.

Решением системы неравенств с одной переменной называются значения переменной, при которых каждое из неравенств обращается в верное числовое неравенство.

Чтобы решить систему неравенств с одной переменной, необходимо решить каждое неравенство, а затем найти их общее решение.

Неравенства, образующие систему, объединяют фигурной скобкой.

ПРИМЕР:

Запись

означает, что неравенства

2х – 1 ˃ 3,

3х – 2 < 11

образуют систему.

Иногда используют запись в виде двойного неравенства.

ПРИМЕР:

Систему неравенств

можно записать в виде двойного неравенства.

1 < 2х + 1 < 5.

ПРИМЕР:

Решить систему неравенств:

РЕШЕНИЕ:

Первое неравенство системы преобразуется в равносильное ему неравенство

х ˃ –³/₂,

а второе – в неравенство

х < ⁵/₄.

Таким образом, задача сводится к решению системы:

С помощью координатной прямой

Находим, что множество решений системы есть интервал

(–³/₂; ⁵/₄)

(пересечение заштрихованных на рисунке промежутков).

ПРИМЕР:

Решить систему неравенств:

Имеем:

Отсюда

Решением системы являются значения  х, удовлетворяющие каждому из неравенств

х ˃ 3,5  и  х < 6.

Изобразив на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенству

х ˃ 3,5,

и множество чисел, удовлетворяющих неравенству

х < 6,

найдём, что оба неравенства верны при

3,5 < х < 6.

Множество решений системы есть промежуток

(3,5; 6).

Ответ можно записать в виде промежутка

(3,5; 6)

или в виде двойного неравенства

3,5 < х < 6,

задающего этот промежуток.

ПРИМЕР:

Решить систему неравенств:

Имеем:

Отсюда

Изобразим на координатной прямой множества решений каждого из неравенств.

Оба неравенства верны при

х ˃ 9.

Ответ можно записать в виде неравенства

х ˃ 9

или в виде числового промежутка

(9; +∞),

задаваемого этим неравенством.

ПРИМЕР:

Решить систему неравенств:

Имеем:

Отсюда

Используя координатную прямую, найдём общие решения неравенств

х < 2  и  х < 5,

т. е. пересечение множеств их решений.

Пересечение этих множеств состоит из чисел, удовлетворяющих условию

х < 2,

т. е. представляет собой числовой промежуток

(–∞; 2).

ПРИМЕР:

Решить систему неравенств:

Имеем:

Отсюда

Используя координатную прямую,

найдём, что множество чисел, удовлетворяющих неравенству

х < –2,

и множество чисел, удовлетворяющих неравенству

х ˃ 3,

Не имеют общих элементов, т. е. их пересечение пусто. Данная система не имеет решений.

ЗАДАЧА:

Турист вышел с турбазы по направлению к станции, расположенной на расстоянии  20 км. Если турист увеличит скорость на  1 км/час, то за  4 час  он пройдёт расстояние больше  20 км. Если он уменьшит скорость на  1 км/час, то даже за  5 час  не успеет дойти до станции. Какова скорость туриста ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть скорость туриста равна  х км/час. Если турист будет идти со скоростью 

(х + 1) км/час,

то за  4 час  он пройдёт 

4(х + 1) км.

По условию задачи

4(х + 1) ˃ 20.

Если турист будет идти со скоростью

(х – 1) км/час,

то за  5 час он пройдёт

5(х – 1) км.

По условию задачи

5(х – 1) < 20.

Требуется найти те значения  х, при которых верно как неравенство

4(х + 1) ˃ 20,

так и неравенство

5(х – 1) < 20,

т. е. найти общие решения этих неравенств. В таких случаях говорят, что надо решить систему неравенств, и используют запись

Заменив каждое неравенство системы равносильным ему неравенством, получим систему

Значит, значение  х  должно удовлетворять условию

4 < х < 5.

ОТВЕТ: 

Скорость туриста больше  4 км/час, но меньше  5 км/час.

ПРИМЕР:

Решить двойное неравенство:

–1 < 3 + 2х < 3.

Двойное неравенство представляет собой иную запись системы неравенств:

Решив её, найдём, что оба неравенства верны при

–2 < х < 0.

В этом примере запись удобно вести так:

–1 < 3 + 2х < 3,

–4 < 2х < 0,

–2 < х < 0.

Задания к уроку 6

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

• Урок 1. Числовые неравенства
• Урок 2. Свойства числовых неравенств
• Урок 3. Сложение и умножение числовых неравенств
• Урок 4. Числовые промежутки
• Урок 5. Линейные неравенства
• Урок 7. Нелинейные неравенства
• Урок 8. Системы нелинейных неравенств
• Урок 9. Дробно-рациональные неравенства
• Урок 10. Решение неравенств с помощью графиков
• Урок 11. Неравенства с модулем
• Урок 12. Иррациональные неравенства
• Урок 13. Неравенства с двумя переменными
• Урок 14. Системы неравенств с двумя переменными
• Урок 15. Приближённые вычисления
• Урок 16. Абсолютная и относительная погрешность