Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

воскресенье, 29 сентября 2019 г.

Урок 7. Нелинейные неравенства

ВИДЕО УРОК
Квадратные неравенства.

Здесь речь идёт о неравенствах вида

ах2 + bх + с ˃ 0

или

ах2 + bх + с < 0,   

где  а ≠ 0.

Если дискриминант

D = b2 – 4ac

квадратного трёхчлена

ах2 + bх + с

отрицателен, а старший коэффициент  а  положителен, то при всех значениях  х  выполняется неравенство

ах2 + bх + с ˃ 0.

Рассмотрим теперь случай, когда

D ≥ 0.

Для решения неравенства

ах2 + bх + с ˃ 0

(или  ах2 + bх + с < 0)

нужно разложить квадратный трёхчлен

на множители по формуле

ах2 + bх + с = а(х – х1)( х – х2).

Затем разделить обе части неравенства

а(х – х1)( х – х2) ˃ 0

(или  а(х – х1)( х – х2) < 0)

на число  а, сохранив знак неравенства, если  а ˃ 0, и изменив знак неравенства на противоположный, если  а < 0, то есть перейти к неравенству

(х – х1)(х – х2) ˃ 0

(или  (х – х1)(х – х2) < 0).

Теперь остаётся воспользоваться тем, что произведение двух чисел положительно (отрицательно), если множители имеют одинаковые (разные) знаки.

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

2х2 + 5х + 2 ˃ 0.

РЕШЕНИЕ:

Найдём корни трёхчлена

2х2 + 5х + 2

из уравнения

2х2 + 5х + 2 = 0.

Пользуясь следующей формулой
получаем:
х1 = –2,

х2 = –1/2.

Затем пользуемся следующим правилом:

Если дискриминант квадратного трёхчлена

ax2 + bx + c 

положительный, то данный трёхчлен можно разложить на линейные множители.

ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2),

Значит,

2х2 + 5х + 2 = 2(х + 2)(х + 1/2),

и мы приходим к неравенству

2(х + 2)(х + 1/2) ˃ 0.

И далее

(х + 2)(х + 1/2) ˃ 0.

Выражения

х + 2,  х + 1/2

должны иметь одинаковые знаки, то есть:
или
Из первой системы находим:

х ˃ –1/2,

а из второй

х < –2.

ОТВЕТ:

х ˃ –1/2,  х < –2

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

7х + 10 ≥ 3х2.

РЕШЕНИЕ:

Преобразуем неравенство к следующему виду:

7х + 10 – 3х2 ≥ 0

и, умножив обе части последнего неравенства на  –1, получим

3х2 – 7х – 10 ≤ 0.

Корни квадратного трёхчлена

3х2 – 7х – 10

таковы:

х1 = –1,

х2 = 10/3.

Разложив квадратный трёхчлен на множители, получим:

3(х + 1)(х – 10/3) ≤ 0.

и далее

(х + 1)(х – 10/3) ≤ 0.

От последнего неравенства переходим к совокупности систем неравенств.
Первая система не имеет решений, а из второй находим:

–1 ≤ х ≤ 10/3.

ОТВЕТ:  –1 ≤ х ≤ 10/3

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

х2 – 6х + 9 ˃ 0.

РЕШЕНИЕ:

Квадратный трёхчлен

х2 – 6х + 9

имеет два одинаковых корня

х1 = х2 = 3.

Значит

х2 – 6х + 9 = (х – 3)2

и неравенство принимает следующий вид:

(х – 3)2 ˃ 0.

Это неравенство выполняется при всех  х, кроме  х = 3.

ОТВЕТ: 

(–∞; 3) ∪ (3; +∞)

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

х2 ≥ 25.

РЕШЕНИЕ:

Последовательно преобразуем неравенство.

х2 – 25 ≥ 0,

(х – 5)(х + 5) ≥ 0,

откуда
или
Из первой системы получаем

х ≥ 5,

из второй

х ≤ –5.

ОТВЕТ:  х ≥ 5,  х ≤ –5

ПРИМЕР:

Решите неравенство:      

(x – 1)(x – 3) ≤ 27 – 2x.

РЕШЕНИЕ:

x2 – 3x – х + 3 ≤ 27 – 2x,

x2 – 2x – 24  ≤ 0,

х1 = 6,   х2 = – 4.

ОТВЕТ:  [–4; 6]

ПРИМЕР:

Решите неравенство:  

4х2+ 4х + 1 > 0.

РЕШЕНИЕ:

(2x + 1)2 > 0.

ОТВЕТ: 

решением неравенства будут все действительные числа, кроме   

х = –0,5.                   

(–∞; –0,5) ∪ (–0,5; +∞);

ПРИМЕР:

Сколько целых чисел находится в  множестве решений неравенства ?

(х + 1)2(х + 6)(х – 2) < 0.

РЕШЕНИЕ:

х ≠ –1, так как при этом значении левая часть неравенства равна нулю, а это не соответствует условию примера.

Первый множитель неравенства всегда будет положительным, поэтому, чтобы левая часть неравенства была меньше нуля необходимо, чтобы произведение двух других множителей было меньше нуля:

(х + 6)(х – 2) < 0.

откуда
или
Из первой системы получаем

–6 < х < 2,

из второй

х < –6,

х ˃ 2.

Решением неравенства будет:

–6 < х < 2.

В данный промежуток входят целые числа:

–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1.

Так как  –1  не входит в область допустимых значений, то количество целых чисел, являющихся решением данного неравенства, будет равно  6.

ОТВЕТ:  6

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

х4 – 5х2 + 4 ˃ 0.

РЕШЕНИЕ:

Обозначив  x2 = t, получаем неравенство

t2 – 5t + 4 ˃ 0,

которое равносильно неравенству

(t – 1)(t – 4) ˃ 0.

Откуда находим

t < 1, t ˃ 4.

Поэтому множество решений исходного неравенства – объединение множеств решений неравенств

x2 < 1, x2 ˃ 4,

которые равносильны неравенствам

|x| < 1, |x| ˃ 2

соответственно.

ОТВЕТ:

x < –2,  –1 < х < 1,  x ˃ 2

Решение квадратных неравенств методом интервалов.

Приравнять квадратный трёхчлен к нулю и найти его корни.
Разложить квадратный трёхчлен на множители по формуле:

ах2 + bх + с = а(х – х1)( х – х2).

Отметить корни на координатной прямой и нарисовать интервалы. 

Если трёхчлен не имеет корней, то интервалов на прямой нет.

Отметить знак выражения на каждом интервале координатной прямой.

Выбрать нужный интервал, в соответствии со знаком неравенства (если знак неравенства  ˃  или  ≥, 
то выбираем интервал со знаком  +, 
если знак неравенства  <  или  ≤, 
то выбираем интервалы со знаком  –).

Записать ответ.

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

х2 + 4х + 3 < 0.

РЕШЕНИЕ:

х2 + 4х + 3 = 0,
D = 42 – 4 × 3 × 1
= 16 – 12 = 4 = 22,
х1 = –3,  х2 = –2.
х2 + 4х + 3 = (х + 3)(х + 2),
(х + 3)(х + 2) < 0.
–3 < х < –2.

ОТВЕТ:  –3 < х < –2.

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

(х – 1)2 < 4.

РЕШЕНИЕ:

Это неравенство равносильно следующему

|х – 1| < 2.

Так как модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками, изображающими эти числа, то решение данного неравенства сводится к нахождению точек  х  числовой прямой, которые удалены от точки  1  на расстояние, не превосходящее  2. Такими точками являются точки интервала  (–1,  3).

ОТВЕТ:  –1 < х < 3

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

(х – 1)2 ˃ 9.

РЕШЕНИЕ:

Неравенству

|х – 1| ˃ 3,

которое равносильно исходному, удовлетворяют все точки числовой прямой, расстояние от которых до точки  1  больше  3. 

Это точки, лежащие вне отрезка длиной  6  с центром в точке  1, то есть точки, лежащие вне отрезка  [–2; 4]. Таким образом, множество решений исходного неравенства – объединение следующих промежутков:

(–∞, –2)  и  (4, +∞)

ОТВЕТ:   х < –2,  х ˃ 4

 ПРИМЕР:

 Решить неравенство:

 (1 – 3х)7(3 – 2х)2(1 + 3х)3(2 – х)5 х3 (х + 2)4(х + 3)3 ˃ 0.

 РЕШЕНИЕ:

 1) Вначале необходимо найти нули левой части данного неравенства (т. е. те значения  х, которые обращают многочлен в  0). Это

 х1 = 1/3;  х2 = 3/2;  х3 = –1/3;
х4 = 2;  х5 = 0; х6 = –2;  х7 = –3.

 Все эти значения переменной  х  необходимо будет исключить из решения неравенства, которое в дальнейшем получится (так как при этих значениях  х  левая часть исходного неравенства равна нулю, а не больше нуля).

 2) В левую часть исходного неравенства входят множители

 (3 – 2х)2  и  (х + 2)4.

 Эти выражения всегда положительны (так как те значения, при которых они равны нулю, уже исключили в пункте  1). Следовательно, если разделить исходное неравенство на положительное выражение

 (3 – 2х)2(х + 2)4,

 То получим равносильное ему неравенство

 (1 – 3х)7(1 + 3х)3(2 – х)5 х3 (х + 3)3 ˃ 0.

 Перепишем его в виде

 (1 – 3х)6(1 – 3х)(1 + 3х)2(1 + 3х)×
(2 – х)4(2 – х) х2x (х + 3)2(х + 3) ˃ 0.

 Пользуясь приёмом, разобранным в пункте  2, переходим к следующему неравенству, равносильному исходному:

 (1 – 3х)(1 + 3х)(2 – х)  x (х + 3) ˃ 0.

 Таким образом, если исходное неравенство содержит произведение сомножителей в степенях, то все сомножители в чётных степенях можно исключить (причём это можно делать только после выполнения пункта  1). Сомножители, показатель степени которых – нечётное число, заменить на соответствующие им сомножители в первой степени.

 3) Преобразуем последнее неравенство так, чтобы везде в скобках на первом месте стоял член, содержащий переменную х:

 (–3х + 1)(3х + 1)(–х + 2)(х + 3)  x ˃ 0.

 В полученном неравенстве из каждого сомножителя вынесем за знак скобок множители так, чтобы на первом месте в скобках оказался только  х. Из первой скобки вынесем множитель  (–3), из второй  3, из третьей  (–1):

 –3 (х – 1/3) 3 (х + 1/3) (–1) (х – 2)(х + 3) x ˃ 0,
9 (х – 1/3)(х + 1/3)(х – 2)(х + 3) x ˃ 0.

 Разделим обе части неравенства на положительное число  9, получим

 (х – 1/3)(х + 1/3)(х – 2)(х + 3) x ˃ 0.

 Для однообразия представим последний сомножитель  х  в виде  (х – 0):

 (х – 1/3)(х + 1/3)(х – 2)(х + 3)(х – 0) ˃ 0.

 4) Отметим на координатной прямой значения  х, при которых левая часть неравенства обращается в нуль. Это значения

 1/3;  –1/3;  2;  –3;  0.

 Проведём через отмеченные точки волнообразную линию начиная справа сверху, как показано на рисунке.
Вся координатная прямая разбилась на  6  промежутков. Самый правый из них  (2; ∞)  всегда будет положительный, отметим его знаком  <<+>>. Далее знаки в промежутках чередуются. Эту иллюстрацию нужно понимать так: на тех промежутках, где кривая проходит выше координатной прямой (знак  <<+>>), выполняется неравенство

 (х – 1/3)(х + 1/3)(х – 2)(х + 3)(х – 0) ˃ 0;

 На тех же промежутках, где кривая проходит ниже прямой (знак <<–>>), имеем

 (х – 1/3)(х + 1/3)(х – 2)(х + 3)(х – 0) < 0.

 Таким образом, окончательное решение исходного неравенства есть объединение промежутков

 (–3; –1/3) ∪ (0; 1/3) ∪ (2; ∞).

 ОТВЕТ:

 (–3; –1/3) ∪ (0; 1/3) ∪ (2; ∞).

Задания к уроку 7
ДРУГИЕ УРОКИ
    на

    Комментариев нет:

    Отправить комментарий