Уроки математики и физики (RU + UA)

понедельник, 8 марта 2021 г.

Урок 9. Дробно-рациональные неравенства

 ВИДЕО УРОК

Неравенства вида

где  Рn(x); Qm(x) – многочлены соответственно степеней  n  и  m, т. е.

Рn(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0;

Qm(x) = bmxm + bm-1xm-1 + … + b1x + b0;

обычно решаются методом интервалов. Он удобен для решения неравенств следующего вида:
и так далее.
Решение рациональных неравенств вида
(вместо знака  ˃  может быть и любой другой знак неравенства), где  Рn(x); Qm(x) – многочлены, основано на следующем рассуждении.
Рассмотрим выражение:
где  a < b < c < d.

Если  x ˃ d, то каждый из множителей

xa, xb, xc, xd

положителен и, следовательно, на промежутке  (d; +∞)  имеем 

h(x) ˃ 0.

Если  c < x < d, то  xd < 0, а остальные множители по-прежнему положительны. Значит, на интервале  (c; d)  имеем  h(x) < 0.

Аналогично, на интервале  (b; c)  будет  h(x) ˃ 0  и так далее.
Изменение знаков 
h(x)  удобно иллюстрировать с помощью волнообразной кривой (её называют <<кривой знаков>>), которую чертят справа налево, начиная сверху.
Эту иллюстрацию нужно понимать так:

На тех промежутках, где эта кривая проходит выше координатной прямой, выполняется неравенство  h(x) ˃ 0, на тех же промежутках, где кривая проходит ниже прямой, имеем  h(x) < 0.

Для проведённого выше рассуждения было несущественно количество линейных множителей в числителе и знаменателе, а также взаимное расположение корней числителя и знаменателя дроби на координатной прямой. Поэтому оно применимо для любой функции  y = f(xвида
где числа

a1, a2, …, an, b1, b2, …, bk

попарно различны. Изменение знаков функции  y = f(x)  можно также иллюстрировать с помощью кривой знаков, которую чертят справа налево, начиная сверху, и проводят через все отмеченные на координатной прямой точки

a1, a2, …, an, b1, b2, …, bk.

На этом основан метод промежутков, который с успехом применяется для решения рациональных неравенств.

Отметим, что неравенство
равносильно неравенству

Рn(x) ×Qm(x) ˃ 0 (Рn(x)×Qm(x) < 0).

Так как частное
и произведение  АВ –  числа одного и того же знака, то неравенство
где  А  и  В – какие-нибудь многочлены, равносильно до неравенства

А × В ˃ 0.

Поэтому строгое дробное неравенство всегда можно заменить равносильным ему целым алгебраическим неравенством.

Например, вместо того, чтобы решить неравенство
можно решить неравенство

(x2 – 3x – 5)(3x2 + 2x – 1) ˃ 0,

так как эти неравенства равносильны (эквивалентны).

Для того чтобы решить неравенство

Рn(x)×Qm(x) ˃ 0,

необходимо разложить многочлены

Рn(xи  Qm(x)

на множители:

где  c1, c2, …, cnk1, k2, … , kn – некоторые постоянные,

а  x1, x2, … , xn – корни уравнения

Рn(x)  = 0.

Множеством решений нестрогого неравенства

Рn(x)×Qm(x) ≥ 0  (Рn(x)×Qm(x) ≤ 0)

является объединением двух множеств: множества решений строгого неравенства

Рn(x) ×Qm(x) ˃ 0 (Рn(x)×Qm(x) < 0)

и множества решений уравнения

Рn(x) ×Qm(x) = 0.

ПРИМЕР:

Решить неравенство:
РЕШЕНИЕ:

Дробь положительна, если числитель и знаменатель её имеют одинаковые знаки, то есть либо оба положительны, либо оба отрицательны. Значит, мы получаем совокупность двух систем неравенств:
Из первой системы находим:

х ˃ –1/2х ˃ 2/3, то есть

х ˃ 2/3.

Из второй системы находим:

х < –1/2х < 2/3, то есть

х < –1/2.

В итоге получили следующие решения заданного неравенства:

х < –1/2х ˃ 2/3.

ОТВЕТ:

х < –1/2х ˃ 2/3

ПРИМЕР:

Решить неравенство:
РЕШЕНИЕ:

Имеем последовательно:
Умножая обе части неравенства на  –1, изменив при этом знак неравенства, получим:
Дробь меньше или равна нулю в двух случаях:

– если числитель меньше или равен нулю, а знаменатель больше нуля;

– если числитель больше или равен нулю, а знаменатель меньше нуля;

Значит, мы получаем совокупность двух систем неравенств:
Из первой системы находим:

х ≤ 6,  х ˃ 7/2, то есть

7/2 < х ≤ 6.

Из второй системы находим:

х ≥ 6,  х < 7/2,

то есть система не имеет решений.

Значит, множество решений заданного неравенства есть промежуток:

(7/2; 6].

ОТВЕТ:  (7/2; 6]

ПРИМЕР:

Решить неравенство:
РЕШЕНИЕ:

Данное неравенство равносильно

(х + 3)(х – 2)(х – 5) < 0.

Корни многочлена

(х + 3)(х – 2)(х – 5)

равны:

–3, 2, 5.

Составляем таблицу.
Как видим, данный многочлен принимает отрицательные значения при

< х < –3  и

2 < х < 5.
ОТВЕТ: 

< х < –3,  2 < х < 5

ПРИМЕР:

Решить неравенство:
РЕШЕНИЕ:

Разложим числитель и знаменатель дроби, стоящие в левой части неравенства, на множители:
Дискриминанты уравнений

x2 + 3x + 9 = 0  и 

x2 – 2x + 4 = 0

отрицательны

(D1 = –27 < 0  и  D2 = –12 < 0);

следовательно, они решений не имеют.

Отсутствие решений означает, что квадратные трёхчлены на множители не раскладываются и на всём промежутке изменения  х  имеют постоянный знак, совпадающий со знаком старшего члена (в нашем случае <<+>>).

Умножим и разделим исходное неравенство на положительные выражения

x2 + 3x + 9 = 0  и 

x2 – 2x + 4 = 0.

соответственно. Получим равносильное неравенство
которое эквивалентно неравенству
и уравнению
Решение уравнения  х1 = 3. Найдём множество решений неравенства. Для этого заменим его на равносильное неравенство

(х – 3)(х + 2) < 0.

Отметим на координатной прямой точки, в которых левая часть неравенства обращается в нуль. Получим три промежутка. В крайнем правом промежутке всегда стоит знак  <<+>>, далее знаки чередуются
Объединяя промежуток 
(–2; 3)  и точку  х = 3, получим

–2 < х ≤ 3.

ОТВЕТ:  (–2; 3]

ПРИМЕР:

Решить неравенство:
РЕШЕНИЕ:

Линейная функция  х – а  меняет знак при переходе через точку  а, причём правее точки  а  эта функция положительна, а левее точки  а – отрицательна.

Отметив на числовой оси точки

–3, –1, 2, 4,

которые являются нулями (корнями) многочленов, стоящих в числителе и знаменателе дроби, разобьём числовую ось на пять промежутков:
На самом правом промежутке  (х ˃ 4)  дробь положительна, так как все множители в числителе и знаменателе этой дроби положительны при  х ˃ 4.

При переходе через каждую из отмеченных точек один и только один из этих множителей меняет знак, и поэтому знак дроби каждый раз меняется. Учитывая это, расставим знаки дроби (смотрите рисунок). Итак, множество решений – объединение следующих интервалов:

(–∞; –3), (–1; 2), (4; +∞).

ОТВЕТ: 

х < –3, –1 < х < 2,  х ˃ 4

ПРИМЕР:

Решить неравенство:
РЕШЕНИЕ:

Преобразуем неравенство к стандартному виду:
Приведём дроби к общему знаменателю:
Раскроем скобки и приведём подобные члены:
Разложим квадратный трёхчлен в числителе дроби на множители:
Отметив на числовой оси точки

–8, –4, 1, 6.
определим знаки рациональной функции, стоящей в левой части неравенства
Обратите внимание на то, что числа  –8  и  1  являются решениями неравенства, а числа  –4  и  6  не принадлежат множеству решений.

ОТВЕТ: 

8х < –4,  1 ≤ х < 6

ПРИМЕР:

Решить систему неравенств:
РЕШЕНИЕ:

Решаем методом интервалов первое неравенство.
Точки  3  и  –1 <<выколоты>>, так как знаменатель содержит множители

(х – 3)  и  (х + 1),

которые не могут равняться  0.

Первое неравенство имеет решение

х < –1  и  х ˃ 3.

Решаем методом интервалов второе неравенство, его решение

–4 ≤ х < 4.
Найдём пересечение этих множеств.
ОТВЕТ:

–4 ≤ х < –1,

3 < х ≤ 4.

ПРИМЕР:

Решить неравенство:
РЕШЕНИЕ:

Квадратный трёхчлен

2х2 – 5х – 3

имеет корни

х = –1/2  и  х = 3.

Поэтому

2х2 – 5х – 3 = 2(х + 1/2)( х – 3).

Квадратный трёхчлен

3х2 – 4х + 2

принимает положительные значения при всех  х R, так как его дискриминант

D = 16 – 24 < 0,

а старший коэффициент положителен.

Обозначим левую часть неравенства через  Р(х). Функция  Р(х)  не определена при

х = 7/3  и  х = 2

и меняет знак при переходе через точки

1/2,  1,  7/3  и  3.
Числа  1/2,  1,  и  3  (корни уравнения  Р(х) = 0) являются решениями данного неравенства. Строгое неравенство  Р(х) ˃ 0  при   х 2  равносильно неравенству

(х + 1/2)( х – 1)(х7/3)( х – 3) ˃ 0.

Применяя метод интервалов, находим все решения исходного неравенства с учётом того, что числа

1/2,  1,  и  3

принадлежат множеству решений неравенства, а число  2  не принадлежит этому множеству.

ОТВЕТ:

х 1/2, 1 ≤ х < 2, 

2 < х < 7/3х ≥ 3

ПРИМЕР:

Решить неравенство:
РЕШЕНИЕ:

Перенесём  1  в левую часть неравенства с противоположным знаком.
Приведём к общему знаменателю и раскроем скобки в числителе.
Приведём подобные члены в числителе и разложим знаменатель на множители, пользуясь формулой разности квадратов двух чисел.
Умножим обе части неравенства на  –1, не забыв поменять знак неравенства на противоположный.
Начертим кривую знаков для функции
С её помощью находим решения неравенства:

5 < х < –1,  х ˃ 1.

ОТВЕТ:

5 < х < –1,  х ˃ 1

ПРИМЕР:

Решить неравенство:
РЕШЕНИЕ:

Данное неравенство равносильно каждому из следующих неравенств:
Так как
(поскольку  9 < 63/4 < 16), и применив метод интервалов, найдём решения исходного неравенства.
ОТВЕТ:
ПРИМЕР:

Решить неравенство:
РЕШЕНИЕ:

Выполним преобразование левой части неравенства.
и, умножив обе части неравенства на  8, получим неравенство
равносильное данному.

Изменение знаков функции

y = f(x), где
иллюстрируем с помощью кривой знаков.
Значения  х, при которых  f(x) < 0  (заштриховано), удовлетворяют следующим неравенствам:

х < 5,  

√͞͞͞͞͞2 < х < –5/4,  

3/2 < х < √͞͞͞͞͞3.

Это решения исходного неравенства.

ОТВЕТ:

х < 5,

√͞͞͞͞͞2 < х < –5/4, 

3/2 < х < √͞͞͞͞͞3

Задания к уроку 9

Комментариев нет:

Отправить комментарий