Урок 8. Системы нелинейных неравенств

понедельник, 30 сентября 2019 г.

Урок 8. Системы нелинейных неравенств

ВИДЕО УРОК

Несколько неравенств с одной переменной могут образовать систему.

Решением системы неравенств с одной переменной называются значения переменной, при которых каждое из неравенств обращается в верное числовое неравенство.

Следовательно, чтобы решить систему неравенств с одной переменной, необходимо решить каждое неравенство, а затем найти их общее решение.

ПРИМЕР:

Решить систему неравенств:

РЕШЕНИЕ:

Решим первое неравенство

х² ≤ 9,

х² – 9 ≤ 0,

(х – 3)(х + 3) ≤ 0.

Его решение

–3 ≤ х ≤ 3.

Решаем второе неравенство

х ˃ 0.

Его решение очевидно. Изобразим на числовой прямой множество чисел, удовлетворяющих первому и второму неравенствам,

Откуда следует, что оба неравенства верны при

0 < х ≤ 3.

ОТВЕТ:

х ∈ (0; 3]

ПРИМЕР:

Решить двойное неравенство:

–1 < х² + х < 0.

РЕШЕНИЕ:

Решить двойное неравенство – это значит решить соответствующую ему систему неравенств.

В данном случае система неравенств выглядит так:

1) Решим первое неравенство

–х² – х – 1 < 0.

Многочлен, стоящий в левой части неравенства, нельзя разложить на множители, так как уравнение

–х² – х – 1 = 0

не имеет корней

(D = –3 < 0).

Это значит, что квадратный трёхчлен

(–х² – х – 1)

при всех значениях х имеет постоянный знак, а именно
отрицательный (по знаку первого коэффициента). Таким образом, решение этого квадратного неравенства есть

х ∈ (–∞; +∞).

2) Решим второе неравенство

х² + х < 0,

х(х + 1)< 0.

х ∈ (–1; 0).

3) Найдём пересечение полученных множеств

ОТВЕТ: (–1; 0)

ПРИМЕР:

Решить систему неравенств:

РЕШЕНИЕ:

Данная система равносильна следующей:

Множество Е₁ решений первого неравенства этой системы состоит из точек числовой прямой, лежащих вне отрезка
[–2, 0],

то есть Е₁– объединение промежутков

(–∞, –2) и (0, +∞).

Множество Е₂ решений второго неравенства – интервал длины 8 с центром в точке 1, то есть

Е₂ = (–3, 5).

Множество Е решений исходной системы – общая часть (пересечение) множеств Е₁ и Е₂.

Следовательно, множество Е – объединение интервалов

(–3, –2) и (0, 5)

ОТВЕТ:

–3 < х < –2, 0 < х < 5

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

(2х – 1)(|х + 1| – |х – 3|) < 0.

РЕШЕНИЕ:

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:

Множество Е₁ решений первой системы – пересечение промежутков

х ˃ ¹/₂ и х < 1, то есть

Е₁ = (¹/₂, 1).

Множество Е₂ решений второй системы – пересечение промежутков

х < ¹/₂ и х ˃ 1,

не имеющих общих точек. Поэтому вторая система решений не имеет.

ОТВЕТ: ¹/₂ < х < 1

ПРИМЕР:

Решить систему неравенств:

РЕШЕНИЕ:

Данная система равносильна системе
Решением первого неравенства этой системы являются все числа множества

(–∞; ¹/₇),

а второго – все числа множества

[–¹/₂; 1].

Пересечением этих множеств является множество

[–¹/₂; ¹/₇).
Следовательно, решение исходной системы есть все числа из промежутка

[–¹/₂; ¹/₇).

ОТВЕТ: [–¹/₂; ¹/₇)

ПРИМЕР:

Решить систему неравенств:

РЕШЕНИЕ:
Данная система равносильна системе
Решением второго неравенства этой системы являются все числа множества

[–¹/₂; ³/₂].

Неравенство
равносильно неравенству
решением которого является множество

[–1; 0) ∪ (0; 1].

Таким образом, решением исходной системы неравенств является пересечение найденных множеств_,то есть множество

[–¹/₂; 0) ∪ (0; 1].

ОТВЕТ: [–¹/₂; 0) ∪ (0; 1]

ПРИМЕР:

Решить систему неравенств:

РЕШЕНИЕ:

Решим каждое неравенство системы, используя метод интервалов.

Первое неравенство.

х² – х – 20 < 0.

Найдём корни квадратного трёхчлена, стоящего в левой части неравенства:

х₁ = 5, х₂ = –4.

Нанесём их на числовую ось.

Расставим знаки. Для этого возьмём число, больше большего корня и подставим вместо х в левую часть неравенства.

Возьмём, например число 10.

10² – 10 – 20 ˃ 0,

Следовательно, в самом правом промежутке ставим <<+>>. Так как все корни нечётной кратности, знаки меняются при переходе через корни.

Нас интересуют те значения неизвестного, при которых левая часть неравенства меньше 0.

Второе неравенство.

х² – 2х – 8 < 0

Найдём корни квадратного трёхчлена, стоящего в левой части неравенства:

х₁ = 4, х₂ = –2.

Нанесём их на числовую ось.

Возьмём, например число 10.

10² – 20 – 8 ˃ 0,

Нас интересуют те значения неизвестного, при которых левая часть неравенства меньше 0.

Третье неравенство.

2х² + х – 45 < 0.

Найдём корни квадратного трёхчлена, стоящего в левой части неравенства:

х₁ = 4,5, х₂ = –5.

Нанесём их на числовую ось.

Возьмём, например число 10.

10² – 20 – 8 ˃ 0,

Нас интересуют те значения неизвестного, при которых левая часть неравенства меньше 0.

Теперь совместим на одной числовой оси решение трёх неравенств:

Мы видим, что три <<стрелки>>, изображающие решение всех трёх неравенств, проходят над отрезком (–2; 4) – это и есть решение нашей системы неравенств.

ОТВЕТ: (–2; 4)

Задания к уроку 8

Задание 1

Задание 2

Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ