Урок 9. Дробово-раціональні нерівності

ВИДЕО УРОК

 Нерівності виду

де  Р_n(x); Q_m(x) – многочлени, де відповідно  n  і  m, показники степеня, тобто,

Р_n(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀;

Q_m(x) = b_mx^m + b_m-1x^m-1 + … + b₁x + b₀;

зазвичай вирішуються методом інтервалів. Він зручний для вирішення нерівностей наступного виду:

і так далі.
Рішення раціональних нерівностей виду

(замість знаку  ˃  може бути і будь-який інший знак нерівності), де  Р_n(x); Q_m(x) – многочлени, ґрунтовано на наступному міркуванні.
Розглянемо вираження:

де  a < b < c < d.

Якщо  x ˃ d, о кожен з множників

x – a, x – b, x – c, x – d

позитивний і, отже, на проміжку  (d; +∞)  маємо 

h(x) ˃ 0.

Якщо  c < x < d, то  x – d < 0, а інші множники як і раніше позитивні. Значить, на інтервалі  (c; d)  маємо  h(x) < 0.

Аналогічно, на інтервалі  (b; c)  буде  h(x) ˃ 0  і так далі.

Зміну знаків  h(x)  зручно ілюструвати за допомогою хвилеподібної кривої (її називають <<кривій знаків>>), яку креслять справа наліво, починаючи згори.

Цю ілюстрацію треба розуміти так:

На тих проміжках, де ця крива проходить вище за координатну пряму, виконується нерівність  h(x) ˃ 0, на тих же проміжках, де крива проходить нижче прямої, маємо  h(x) < 0.

Для проведеного вище міркування була несуттєва кількість лінійних множників в чисельнику і знаменнику, а також взаємне розташування коренів чисельника і знаменника дробу на координатній прямій. Тому воно застосовне для будь-якої функції  y = f(x)  виду

де числа

a₁, a₂, …, a_n, b₁, b₂, …, b_k

попарно різні. Зміну знаків функції  y = f(x)  можна також ілюструвати за допомогою кривої знаків, яку креслять справа наліво, починаючи згори, і проводять через усі відмічені на координатній прямій точки

a₁, a₂, …, a_n, b₁, b₂, …, b_k.

На цьому заснований метод проміжків, який з успіхом застосовується для вирішення раціональних нерівностей.

Відмітимо, що нерівність

рівносильна нерівності

Р_n(x) ×Q_m(x) ˃ 0 (Р_n(x)×Q_m(x) < 0).

Оскільки частка

і добуток  АВ  мають однаковий знак, то нерівність

де  А  і  В – які-небудь многочлени, рівносильна до нерівності

А × В ˃ 0.

Тому строгу дробову нерівність завжди можна замінити рівносильною до неї цілою алгебраїчною нерівністю.

Наприклад, замість того, щоб вирішити нерівність

можна вирішити нерівність

(x² – 3x – 5)(3x² + 2x – 1) ˃ 0,

Оскільки ці нерівності рівносильні (еквівалентні).

Для того, щоб вирішити нерівність

Р_n(x)×Q_m(x) ˃ 0,

необхідно розкласти многочлени

Р_n(x)  и  Р_m(x)

на множники:

де  c₁, c₂, …, c_n;  k₁, k₂, … , k_n – деякі постійні,

а  x₁, x₂, … , x_n – корені рівняння

Р_n(x)  = 0.

Безліччю рішень нестрогої нерівності

Р_n(x)×Q_m(x) ≥ 0  (Р_n(x)×Q_m(x) ≤ 0)

є об'єднанням двох великих кількостей: безліч рішень строгої нерівності

Р_n(x) ×Q_m(x) ˃ 0 (Р_n(x)×Q_m(x) < 0)

і безліч рішень рівняння

Р_n(x) ×Q_m(x) = 0.

ПРИКЛАД:

Розв’язати нерівність:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Дріб позитивний, якщо чисельник і знаменник її мають однакові знаки, тобто або обоє позитивні, або обоє негативні. Значить, ми отримуємо сукупність двох систем нерівностей:

З першої системи знаходимо:

х ˃ –¹/₂,  х ˃ ²/₃, тобто

х ˃ ²/₃.

З другої системи знаходимо:

х < –¹/₂,  х < ²/₃, тобто

х < –¹/₂.

У результаті отримали наступні рішення заданої нерівності:

х < –¹/₂,  х ˃ ²/₃.

ВІДПОВІДЬ:

х < –¹/₂,  х ˃ ²/₃

ПРИКЛАД:

Розв’язати нерівність:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо послідовно:

Умноживши обидві частини нерівності на  –1, змінивши при цьому знак нерівності, отримаємо:

Дріб менше або дорівнює нулю в двох випадках:

– якщо чисельник менше або дорівнює нулю, а знаменник більше нуля;

– якщо чисельник більше або дорівнює нулю, а знаменник менше нуля;

Значить, ми отримуємо сукупність двох систем нерівностей:

З першої системи знаходимо:

х ≤ 6,  х ˃ ⁷/₂, тобто

⁷/₂ < х ≤ 6.

З другої системи знаходимо:

х ≥ 6,  х < ⁷/₂,

тобто система не має рішень.

Значить, безліч рішень заданої нерівності є проміжок:

(⁷/₂; 6].

ВІДПОВІДЬ:  (⁷/₂; 6]

ПРИКЛАД:

Розв’язати нерівність:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Дана нерівність рівносильна до

(х + 3)(х – 2)(х – 5) < 0.

Корені многочлена

(х + 3)(х – 2)(х – 5)

дорівнюють:

– 3, 2, 5.

Складаємо таблицю.

Як бачимо, даний многочлен набуває від'ємних значень при

–∞ < х < –3  і

2 < х < 5.

ПРИКЛАД:

Розв’язати нерівність:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розкладемо чисельник і знаменник дробу, нерівності, що стоять в лівій частині, на множники

Дискримінанти рівнянь

x² + 3x + 9 = 0  і

x² – 2x + 4 = 0

негативні

(D₁ = –27 < 0  и  D₂ = –12 < 0);

отже, вони рішень не мають.

Відсутність рішень означає, що квадратні тричлени на множники не розкладаються і на усьому проміжку зміни  х  мають постійний знак, співпадаючий зі знаком старшого члена (у нашому випадку <<+>>).

Помножимо і розділимо початкову нерівність на позитивні вирази

x² + 3x + 9 = 0  і

x² – 2x + 4 = 0.

відповідно. Отримаємо рівносильну нерівність

яке еквівалентне нерівності

і рівнянню

Рішення рівняння  х₁ = 3. Знайдемо безліч рішень нерівності. Для цього замінимо його на рівносильну нерівність

(х – 3)(х + 2) < 0.

Відмітимо на координатній прямій точки, в яких ліва частина нерівності перетворюється на нуль. Отримаємо три проміжки. У крайньому правому проміжку завжди стоїть знак  <<+>>, далі знаки чергуються

Об'єднуючи проміжок  (–2; 3)  і точку  х = 3, отримаємо

–2 < х ≤ 3.

ВІДПОВІДЬ:  (–2; 3]

ПРИКЛАД:

Розв’язати нерівність:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Лінійна функція  х – а  міняє знак під час переходу через точку  а, причому правіше за точку  а  ця функція позитивна, а лівіше за точку  а – негативна.

Відмітивши на числовій осі точки

–3, –1, 2, 4,

які є нулями (коренями) многочленів, що стоять в чисельнику і знаменнику дробу, розіб'ємо числову вісь на п'ять проміжків:

На найправішому проміжку  (х ˃ 4)  дріб позитивний, оскільки усі множники в чисельнику і знаменнику цього дробу позитивні при  х ˃ 4.

Під час переходу через кожну з відмічених точок один і тільки один з цих множників міняє знак, і тому знак дробу кожного разу міняється. Враховуючи це, розставимо знаки дробу (дивіться малюнок). Так, безліч рішень – об'єднання наступних інтервалів:

(–∞; –3), (–1; 2), (4; +∞).

ВІДПОВІДЬ: 

х < –3, –1 < х < 2,  х ˃ 4

ПРИКЛАД:

Розв’язати нерівність:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перетворимо нерівність до стандартного виду:

Приведемо дроби до спільного знаменника:

Розкриємо дужки і приведемо подібні члени:

Розкладемо квадратний тричлен в чисельнику дробу на множники:

Відмітивши на числовій осі точки

–8, –4, 1, 6,

визначимо знаки раціональної функції, що стоїть в лівій частині нерівності

Зверніть увагу на те, що числа  –8  і  1  є рішеннями нерівності, а числа  –4  і  6  не належать безлічі рішень.

ВІДПОВІДЬ: 

–8 ≤ х < –4,  1 ≤ х < 6

ПРИКЛАД:

 Вирішити систему нерівностей:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Вирішуємо методом інтервалів першу нерівність.

Точки  3  и  –1 <<виколоті>>, оскільки знаменник містить множники

(х – 3)  і  (х + 1),

які не можуть дорівнювати  0.

Перша нерівність має рішення

х < –1  и  х ˃ 3.

Вирішуємо методом інтервалів другу нерівність, його рішення

–4 ≤ х < 4.

Знайдемо перетин цих великих кількостей.

ВІДПОВІДЬ:

–4 ≤ х < –1,

3 < х ≤ 4.

ПРИКЛАД:

Розв’язати нерівність:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Квадратний тричлен

2х² – 5х – 3

має корни

х = –¹/₂  и  х = 3.

Тому

2х² – 5х – 3 = 2(х + ¹/₂)( х – 3).

Квадратний тричлен

3х² – 4х + 2

набуває позитивних значень при усіх  х ∈ R, оскільки його дискримінант

D = 16 – 24 < 0,

а старший коефіцієнт позитивний.

Позначимо ліву частину нерівності через  Р(х). Функція  Р(х)  не визначена при

х = ⁷/₃  і  х = 2

і міняє знак під час переходу через точки

–¹/₂,  1,  ⁷/₃  і  3.

Числа  –¹/₂,  1,  і  3  (корені рівняння  Р(х) = 0) є рішеннями цієї нерівності. Строга нерівність  Р(х) ˃ 0  при   х ≠ 2  рівносильна нерівності

(х + ¹/₂)( х – 1)(х – ⁷/₃)( х – 3) ˃ 0.

Застосовуючи метод інтервалів, знаходимо усі рішення початкової нерівності з урахуванням того, що числа

–¹/₂,  1,  и  3

належать безлічі рішень нерівності, а число  2  не належить цій множині.

ВІДПОВІДЬ:

х ≤ –¹/₂, 1 ≤ х < 2, 

2 < х < ⁷/₃,  х ≥ 3

ПРИКЛАД:

Розв’язати нерівність:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перенесемо  1  в ліву частину нерівності з протилежним знаком.

Приведемо до спільного знаменника і розкриємо дужки в чисельнику.

Приведемо подібні члени в чисельнику і розкладемо знаменник на множники, користуючись формулою різниці квадратів двох чисел.

Помножимо обидві частини нерівності на  –1, не забувши поміняти знак нерівності на протилежний.

Накреслимо криву знаків для функції

З її допомогою знаходимо рішення нерівності:

–5 < х < –1,  х ˃ 1.

ВІДПОВІДЬ:

–5 < х < –1,  х ˃ 1

ПРИКЛАД:

Розв’язати нерівність:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Ця нерівність рівносильна кожній з наступних нерівностей:

Так як

(оскільки  9 < ⁶³/₄ < 16), і застосувавши метод інтервалів, знайдемо рішення початкової нерівності.

ВІДПОВІДЬ:

ПРИКЛАД:

Розв’язати нерівність:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Виконаємо перетворення лівої частини нерівності.

і, помноживши обидві частини нерівності на  8, отримаємо нерівність

рівносильне даному.

Зміна знаків функції
y = f(x), де

ілюструємо за допомогою кривої знаків.

Значення  х, при яких  f(x) < 0  (заштриховано), задовольняють наступним нерівностям:

х < –5,  –√͞͞͞͞͞2 < х < –⁵/₄,  ³/₂ < х < √͞͞͞͞͞3.

Це рішення початкової нерівності.

ВІДПОВІДЬ:

х < –5,

–√͞͞͞͞͞2 < х < –⁵/₄, 

³/₂ < х < √͞͞͞͞͞3

Завдання до уроку 9

• Завдання 1 
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Числові нерівності
• Урок 2. Властивості числових нерівностей
• Урок 3. Додавання і добуток числових нерівностей
• Урок 4. Числові проміжки
• Урок 5. Лінійні нерівності
• Урок 6. Системи лінійних нерівностей
• Урок 7. Нелінійні нерівності
• Урок 8. Системи нелінійних нерівностей
• Урок 10. Рішення нерівностей за допомогою графіків
• Урок 11. Нерівність з модулем
• Урок 12. Ірраціональні нерівності
• Урок 13. Нерівності з двома змінними
• Урок 14. Системи нерівностей з двома змінними
• Урок 15. Наближені обчислення
• Урок 16. Абсолютна і відносна погрішність