Урок 3. Площадь квадрата

ВИДЕОУРОК

Прямоугольник, у которого длина и ширина равны между собой, называется квадратом.

Площадь квадрата равна произведению его сторон или квадрату его стороны.

Формулы для вычисления площади квадрата.

a – сторона квадрата;

d – диагональ;

Р – периметр;

S – площадь;

R – радиус описанной окружности;

r – радиус вписанной окружности;

l – отрезок изображенный на рисунку (часто применяется в сложных примерах).

ЗАДАЧА:

Во сколько раз изменится площадь квадрата, если его сторону увеличить в  5 раз ?

РЕШЕНИЕ:

Из формулы

видно, что если сторона квадрата увеличится в  5 раз, то его площадь изменится в  25 раз.

S = (5a)² = 25a².

ЗАДАЧА:

Во сколько раз увеличится площадь квадрата, если его диагональ увеличится в  2 раза ?

РЕШЕНИЕ:

Из формулы

видно, что если диагональ квадрата увеличится в  2 раза, то его площадь увеличится в  4 раза.

ЗАДАЧА:

Найдите площадь квадрата  ABCD, если  АС = 10.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.

АD = СD  как стороны квадрата.

По теореме Пифагора находим:

АС² = АD² + СD² = 2∙ АD²,

тогда 

2∙ АD²= 100, АD² = 50,

то есть площадь квадрата равна  50.

ЗАДАЧА:

Найти сторону квадрата, равновеликого прямоугольнику со сторонами  9  и  4.

РЕШЕНИЕ:

У равновеликих фигур площади одинаковые, значит площадь прямоугольника

9 ∙ 4 = 36

равна площади квадрата.

Тогда сторона квадрата будет равна:

а = √͞͞͞͞͞36 = 6.

ЗАДАЧА:

Стороны квадрата  ABCD  разделены точками  M, N, K, P  в отношении  1 : 2  каждая. Найти отношение площадей квадрата и четырёхугольника.

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим треугольник  АМР. Он прямоугольный. Обозначим сторону  АМ = х, тогда сторона  АР = 2х. Согласно теореме Пифагора сторона

Четырёхугольник  MNKP – квадрат со стороною  АМ = √͞͞͞͞͞5 х, значит, площадь этого квадрата равна  5х².

Площадь квадрата  ABCD  будет равна 

(х + 2х)² = 9х².

Тогда отношение площадей этих квадратов будет равно:

9х² : 5х² = 9 : 5 = 1,8.

ЗАДАЧА:

В квадрате  ABCD  расстояние от точки пересечения диагоналей до одной из его сторон равно  5. Найдите площадь этого квадрата.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.

Пусть  Е – точка пересечения диагоналей квадрата  ABCD. В квадрате диагонали равны, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, тогда

АЕ = ЕD  и  ∠ DАЕ = ∠ ЕDА.

Так как квадрат является и ромбом, то в квадрате диагонали делят углы пополам, тогда

∠ DАЕ = 0,5 ∙ 90° = 45°, тогда 

∠ АED = 180° – 45° – 45° = 90°.

В треугольнике  АDЕ  опустим из  Е  высоту  ЕF  на АD (длина  ЕF и есть расстояние от точки  Е  до стороны). Так как  АЕ = ЕD, то ЕF  является и медианой, но в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, тогда

ЕF = 0,5∙ АD.

Аналогично остальные расстояния от  Е  до сторон квадрата равны половине стороны квадрата, тогда  АD = 10, следовательно, площадь квадрата  ABCD  равна  100.

ЗАДАЧА:

Найдите площадь квадрата, если его сторона равна  3 см 6 мм

РЕШЕНИЕ:

Запишем сторону квадрата в миллиметрах. Получим  36 мм. Теперь найдём его площадь в квадратных миллиметрах:

S = 36² = 36 ∙ 36 = 1296 (мм)².

ЗАДАЧА;

Периметр квадрата равен  24 см. Найдите площадь квадрата.

РЕШЕНИЕ:

Периметр равен  4 × а,

где  а – это сторона квадрата.

4 × а = 24,

а = 24 : 4 = 6.

 = а × а = 6 × 6 = 36 см².

Или по формуле:

ОТВЕТ:  36 см²

ПРИМЕР:

У квадрата сторона  2 см, а у прямоугольника длина  9 см, а ширина  6 см. Какова площадь красной зоны ?

РЕШЕНИЕ:

Площадь квадрата равна  4 см². Он разбит на  4  равных квадрата. Площадь меньшего квадрата равна  1 см², а площадь прямоугольника равна  54 см², поэтому площадь красной зоны равна:

54 – 1 = 53 (см²).

ОТВЕТ:  53 см²

ЗАДАЧА:

На сколько квадратных сантиметров площадь квадрата со стороной  12 см  больше площади прямоугольника со сторонами  9 см  и  1 см ? 

На скільки квадратних сантиметрів площа квадрата зі стороною  12 см  більша за площу прямокутника зі сторонами  9 см  і  1 см ?

РЕШЕНИЕ:

Площадь квадрата равна:

12 ∙ 12 = 144 (см²).

Площадь прямоугольника равна:

9 ∙ 1 = 9 (см²).

Тогда разность площадей будет равна:

144 – 9 = 135 (см²).

ОТВЕТ:

Площадь квадрата больше площади прямоугольника на  135 (см²).

Задания к уроку 3

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Единицы измерения площади
• Урок 2. Площадь прямоугольника
• Урок 4. Площадь треугольника
• Урок 5. Площадь прямоугольного треугольника
• Урок 6. Площадь равнобедренного треугольника
• Урок 7. Площадь параллелограмма
• Урок 8. Площадь ромба
• Урок 9. Площадь трапеции
• Урок 10. Площадь равнобедренной трапеции
• Урок 11. Площадь прямругольной трапеции
• Урок 12. Площадь круга и его частей
• Урок 13. Подобие разносторонних треугольников
• Урок 14. Подобие равнобедренных треугольников
• Урок 15. Подобие прямоугольных треугольников
• Урок 16. Площадь многоугольника