Урок 4. Площадь треугольника

ВИДЕОУРОК

Основание треугольника – одна из сторон треугольника. Высота – высота треугольника, проведённая к основанию.

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту

где  a – основание треугольника,  h – высота треугольника.

ПРИМЕР:

ВК ⊥ АС,

ВК = 2 см, АС = 4 см,

S = ¹/₂ ВК × АС =

¹/₂ × 2 × 3 = 4 см².

ЗАДАЧА:

Отрезок  СD – высота треугольника  АВС, изображённого на рисунку. Найдите площадь треугольника.

РЕШЕНИЕ:

Формула Герона.

ЗАДАЧА:

Найдите площадь треугольника, стороны которого равны  7 дм, 24 дм  и  25 дм.

РЕШЕНИЕ:

Полупериметр

По формуле Герона

Формулы нахождения площади треугольника, через радиусы вписанной и описанной окружностей.

                                         

где  R – радиус описанной окружности,  

r – радиус вписанной окружности.

ЗАДАЧА:

Найдите площадь треугольника, периметр которого равен  18 см, а радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен  5 см.

РЕШЕНИЕ:

ЗАДАЧА:

Стороны треугольника равны  6 см, 25 см, 29 см. Найдите радиус вписанной окружности данного треугольника.

РЕШЕНИЕ:

ЗАДАЧА:

Найдите периметр треугольника, площадь которого равна  24 см², а радиус вписанной окружности равен  4 см.

РЕШЕНИЕ:

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Равновеликими называют треугольники, которые имеют равные площади.

ЗАДАЧА:

В треугольнике  АВС  стороны

АВ = 5 см, АС = 6 см  и

медиана  ВL = 4 см.

Найдите площадь треугольника  АВС.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.

Так как  ВL – медиана треугольника, то

AL = LC = ¹/₂ AC = 3 см.

Рассмотрим треугольник  АВL  и найдём его площадь по формуле Герона:

где  р = ¹/₂ (АВ + ВL + АL) = 6 см – полупериметр,

а = АВ = 5 см,

b = ВL = 4 см,

с = АL = 3 см.

Подставим все данные в формулу и получим:

Медиана  ВL  делит треугольник  АВС  на два равновеликих треугольника, то есть  S_ABL = S_BCL, откуда следует, что

S_ABC = 2S_ABL = 12 см².

ЗАДАЧА:

Найдите площадь треугольника по двум сторонам, равным  6  и  8, и медиане, равной  5, проведённой к третьей стороне.

РЕШЕНИЕ:

Пусть в треугольнике 

АВС:  АВ = 6, ВС = 8,

АМ = МС, ВМ = 5.

Продлим медиану  ВМ  так, чтобы  МD = ВМ, и соединим точки  А  и  D. ∆ АМD = ∆СМВ  по первому признаку равенства треугольников,  так как 

АМ = МС, ВМ = МD,

∠ АМD = ∠ СМВ.

Из равенства треугольников следует, что 

АD = ВС = 8.

В треугольнике  АВD:

АВ = 6, АD = 8, ВD = 10,

следовательно, ∠ ВАD = 90°  (треугольник египетский), кроме того   

S_ABC = S_ABD = ¹/₂ АВ ∙ AD = 24.

ОТВЕТ:  24

Любую высоту треугольника можно найти по формуле

S –  площадь треугольника.

Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

ЗАДАЧА:

Стороны треугольника равны  17 см, 65 см, 80 см. Найдите наименьшую высоту треугольника, радиусы его вписанной и описанной окружностей.

РЕШЕНИЕ:

Пусть 

а = 17 см, b = 65 см, с = 80 см.

Найдём полупериметр треугольника:

Площадь треугольника вычислим по формуле Герона:

Наименьшей высотой треугольника является высота, проведённая к его наибольшей стороне, длина которой равна  с. Поскольку

Радиус вписанной окружности:

Радиус описанной окружности:

ОТВЕТ:

Задания к уроку 4

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Единицы измерения площади
• Урок 2. Площадь прямоугольника
• Урок 3. Площадь квадрата
• Урок 5. Площадь прямоугольного треугольника
• Урок 6. Площадь равнобедренного треугольника
• Урок 7. Площадь параллелограмма
• Урок 8. Площадь ромба
• Урок 9. Площадь трапеции
• Урок 10. Площадь равнобедренной трапеции
• Урок 11. Площадь прямругольной трапеции
• Урок 12. Площадь круга и его частей
• Урок 13. Подобие разносторонних треугольников
• Урок 14. Подобие равнобедренных треугольников
• Урок 15. Подобие прямоугольных треугольников
• Урок 16. Площадь многоугольника