Урок 12. Площадь круга

ВИДЕОУРОК

Площадь круга.

Кругом  называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, расстояние от которых до данной точки не больше чем данное.

Эта точка называется центром круга, а данное расстояние – радиусом круга. Границей круга будет окружность с этим самым центром и радиусом.

Площадь круга определяется как граница последовательных площадей правильных вписанных (или описанных) в этот круг многоугольников при неограниченном увеличении числа их сторон.

Площадь круга равна половине произведения длины окружности, которая его ограничивает, на радиус.

Отношение площадей двух кругов равно отношению квадратов их радиусов или квадратов их диаметров:

ЗАДАЧА:

Длина окружности равна  6π см. Найдите площадь круга.

РЕШЕНИЕ:

2πr = 6π, r = 3 см.

S = πr² = π ∙ 3² = 9π (см²).

ЗАДАЧА:

Радиусы двух окружностей относятся как  4 : 9. Как относятся площади кругов, ограниченных этими окружностями ?

РЕШЕНИЕ:

ЗАДАЧА:

Найдите длину окружности которая ограничивает круг, площадью  100π см².

РЕШЕНИЕ:

πr² = 100π,  r² = 100, r = 10 (cм).

l = 2πr = 2π ∙ 10 = 20π (cм).

ЗАДАЧА:

Найдите площадь круга, вписанного в треугольник со сторонами 

4 см, 13 см  и  15 см.

РЕШЕНИЕ:

В треугольник  АВС  вписан круг,

АВ = 4 см,

ВС = 13 см,

АС = 15 см.

где  S – площадь треугольника,
р – его полупериметр.

Тогда площадь круга:

S = πr² = π ∙ 1,5² = 2,25π (см²).

ОТВЕТ:  2,25π см²

ЗАДАЧА:

Найти радиус такой окружности, для которой её длина и площадь круга выражаются одним и тем же числом.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим радиус искомой окружности через  R. Тогда по условию задачи должно выполняться равенство

2πR = πR²

откуда найдем

R = 2.

ЗАДАЧА:

Определить площадь круга, если площадь вписанного в него квадрата равна  Q  квадратным единицам.

РЕШЕНИЕ:

Площадь квадрата через его диагональ выражается формулой

Q = ¹/₂ d ²,

откуда

d = √͞͞͞͞͞2Q

Но диагональ квадрата равна диаметру описанной окружности, то есть

2R = √͞͞͞͞͞2Q,

следовательно, площадь круга

S = πR² = ¹/₂ πQ.

Круговой сектор.

Круговым сектором называют часть круга, которая лежит в середине соответствующего центрального угла.

Сектор  АОС, АС – дуга сектора, АОС – центральный угол, который соответствует сектору  АОС.

ЗАДАЧА:

Найти периметр  Р  кругового сектора  АОВ,

если радиус равен  R  и  ∠ AOB = α.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

P_сект = AB + OA + OB = l + 2R,

где  l – длина дуги сектора. На основании формулы

l = R ∙ α,

получим:

P_сект = Rα + 2R = R(α + 2).

ЗАДАЧА:

Вычислить периметр  Р  кругового сектора с центральным углом в  75°  и радиусом, равным  20 см.

РЕШЕНИЕ:

Так как угол в  75°  содержит  1,31  радиана (смотрите таблицу), то:

P_сект ≈ 20(1,31 + 2) ≈ 66,2 см.

Площадь сектора с центральным углом в  1°  определяют по формуле:

Площадь сектора с центральным углом в  n°  определяют по формуле:

R – радиус круга, 

n° – градусная мера соответствующего центрального кута, 

φ – радианная мера соответствующего центрального кута

ЗАДАЧА:

Радиус сектора равняется  r, а его площадь равна  Q. Определить величину центрального угла.

РЕШЕНИЕ:

Учитывая формулы для площади сектора и длины его дуги, получаем

откуда

Если угол  α  выражен в радианах, то:

Площадь кругового сектора равна произведению половины квадрата радиуса на величину центрального угла этого сектора, выраженного в радианах.

R – радиус круга, 

n° – градусная мера соответствующего центрального угла, 

φ – радианная мера соответствующего центрального угла.

ЗАДАЧА:

Вычислить площадь  S  кругового сектора с центральным углом в  75°  и радиусом, равным  20 см.

РЕШЕНИЕ:

Так как угол в  75°  содержит  1,31  радиана (смотрите таблицу), то:

S_сект ≈ ¹/₂ ∙ 20² ∙ 1,31 ≈ 262 см².

ЗАДАЧА:

Вычислить площадь  S  кругового сектора при данном радиусе  R = 25 см  и центральным угле, равным   42°24'.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

S_сект ≈ ¹/₂ ∙ 25² ∙ 0,7400 ≈

≈ 625 ∙ 0,37 ≈ 231 см².

Круговой сегмент.

Круговым сегментом называют часть круга, которая лежит с одной стороны от прямой, пересекающей данный круг.

Любая прямая разбивает круг на два круговых сегмента.

Площадь сегмента находиться как разность между площадью соответствующего сектора и треугольника, полученного его радиусами и хордою.

Можно также сказать, что площадь сегмента равна половине радиуса, умноженной на разность между дугой сегмента и половиной хорды двойной его дуги. Это утверждение следует з рисунка, на котором 

CD = DB, BC ⊥ AO.

Площадь кругового сегмента, который не равен полукругу, вычисляют по формуле.

где  n° – градусная мера соответствующего центрального угла, который опирается на дугу кругового сегмента, а  S_АОВ – площадь треугольника с вершинами в центре круга и на концах радиусов, которые ограничивают данный сектор. Знак  +  (плюс) надо брать, когда  n° > 180°, а знак  – (минус) тогда , когда  n° < 180°.

Если градусная мера дуги сегмента невелика, то площадь сегмента можно вычислить по приближённой формуле.

где  b – основание сегмента;  

h – высота сегмента, которую часто называют стрелкою. 

Точная приближённая формула имеет вид:

Площадь кольца, образованного двумя концентрическими окружностями радиусов  R₁  и  R₂ , вычисляется как разность площадей этих кругов. Пусть  R₂ ˃ R₁, тогда:

ЗАДАЧА:

Вокруг правильного треугольника с площадью  Q  описана окружность и в этот самый треугольник вписана другая окружность. Определить площадь кольца между этими окружностями.

РЕШЕНИЕ:

Площадь правильного треугольника через его высоту выражается по формуле:

откуда

Радиусы описанного и вписанного кругов соответственно равны:

R = ²/₃h;  r = ¹/₃h.

Площадь кольца:

Нахождение параметров кругового сегмента с помощью тригонометрических функций.

На чертеже

изображён круговой сегмент  АСВМА. Надо вычислить:

1. Длину хорды  АВ.

2. Расстояние этой хорды от центра круга.

3. Длину стрелки (высоты)  h.

4. Площадь сегмента АСВМА.

При условии, что радиус круга равен  R, а центральный угол  АОВ  равен  α  (радианов).

1. Хорда  АВ = 2АС  (ОС ⊥ АВ),

или 

АВ = 2АО sin ∠ АОС = 2R sin ^π/₂.

2. Расстояние  ОС  хорды  АВ  от центра выразится так:

ОС = ОА cos ∠ АОС,

или

ОС = R cos ^α/₂.

3. Стрелка сегмента

h = ОМ – ОС,

или

h = R – R cos ^α/₂ = R(1 – cos ^α/₂),

или

h = 2R sin^{2 α}/₄.

4. Площадь сегмента  АСВМА:

S_{сегмАСВМА} = S_{сектАМВОА} – S_∆АВО =

= ¹/₂ R²α – ¹/₂ АВ ∙ ОС.

Подставляя вместо  АВ  и  ОС  их значения, получим:

S_{сегмАСВМА} = ¹/₂ R²α – ¹/₂ ∙ 2R sin ^α/₂ R cos ^α/₂ =

= ¹/₂ R²α – R² sin ^α/₂ cos ^α/₂ =

= R² (¹/₂ α – sin ^α/₂ cos ^α/₂),

или

S_{сегмАСВМА} = ¹/₂ R²(α – sin α).

ЗАДАЧА:

Вычислить площадь сегмента, если  R = 20 см  и  α = 47°10'.

РЕШЕНИЕ:

Из таблиц находим радианную меру угла  47°10', значения

sin 23°35'  и  cos 23°35'.

Искомая площадь  S  выразится так:

S ≈ R² (¹/₂ α – sin ^α/₂ cos ^α/₂) ≈

≈ 20²(¹/₂ ∙ 0,8232 – 0,4000 ∙ 0,9165) ≈ 18 см².

Задания к уроку 12

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Единицы измерения площади
• Урок 2. Площадь прямоугольника
• Урок 3. Площадь квадрата
• Урок 4. Площадь треугольника
• Урок 5. Площадь прямоугольного треугольника
• Урок 6. Площадь равнобедренного треугольника
• Урок 7. Площадь параллелограмма
• Урок 8. Площадь ромба
• Урок 9. Площадь трапеции
• Урок 10. Площадь равнобедренной трапеции
• Урок 11. Площадь прямругольной трапеции
• Урок 13. Подобие разносторонних треугольников
• Урок 14. Подобие равнобедренных треугольников
• Урок 15. Подобие прямоугольных треугольников
• Урок 16. Площадь многоугольника