Уроки математики и физики (RU + UA)

среда, 11 марта 2015 г.

Урок 13. Подобие разносторонних треугольников

ВИДЕОУРОК
Отношение отрезков.

Отношение отрезков  АВ  и  СD – отношение их длин то есть
– отношение отрезков  АВ  и  СD.

ПРИМЕР:

Отрезки длиной  2 см  и  3 см  пропорциональны отрезкам длиной  4 см  и  6 см, так как
Пропорциональными могут быть не только пары отрезков, но и большее их число.

ПРИМЕР:

Отрезки  

а, b, с, d  

пропорциональны отрезкам  

а1, b1, с1, d1

если
Сходственные стороны – стороны треугольников, у которых противоположные им углы соответственно равны.

Подобные треугольники – треугольники, углы которых соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

ПРИМЕР:

Если  

А = А1
В = В1
С = С1,
то  АВС ~ А1В1С1
Подобие треугольников   АВС  и  А1В1С1  коротко записывают так:

АВС  ~ А1В1С1.

Знак  заменяют словом подобный.
Две фигуры подобны, если каждой точке одной фигуры можно сопоставить точку другой фигуры так, что для любых двух точек  А  и  В  одной фигуры и сопоставимых им точек  А1  и  В1  другой фигуры выполняется условие
где  k – одно и то же положительное число для всех точек.
Число  k – коэффициент подобия фигур.
Примерами подобных фигур произвольной формы являются две географические карты одной и той же местности, выполненные в разных масштабах; фотографии одного и того же предмета, сделанные при разных увеличениях.

Коэффициент подобия – число, равное отношению сходственных сторон треугольника.

Если коэффициент подобия известен, то записывают:
Для подобных треугольников имеет значение порядок записи вершин. Чтобы составить отношение  сторон подобных треугольников необходимо:

– определить равные углы треугольников;
– выяснить, какие стороны будут сходственными;
– записать соответствующие отношения.

Признаки подобия разносторонних треугольников.

– если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны;
где  k – коэффициент подобия.
– если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны;
– если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а заключённые между ними углы равны, то такие треугольники подобны;
Средняя линия отсекает треугольник который подобен данному, а его площадь равна одной четвёртой площади исходного треугольника.
Отношение периметров подобных треугольников равно отношению сходственных сторон (коэффициенту подобия):
Отношение сходственных линейных элементов (медиан, биссектрис, высот и так далее) подобных треугольников тоже равно коэффициенту подобия. Прямая, которая параллельна стороне треугольника и пересекает две другие его стороны, отсекает от него подобный ему треугольник.

Отношение площади подобных треугольников равно квадрату отношения соответствующих сторон (квадрату коэффициента подобности).
Правильные  n – угольники подобны. Отношение их  периметров, радиусов вписанных и описанных окружностей равны отношению их сторон, а отношение их площадей – отношению квадратов сторон. 

Площади подобных фигур пропорциональны квадратам сходственных линейных элементов (сторон, высот, диагоналей).

ЗАДАЧА:

АВС ~ А1В1С1.
Найдите неизвестные стороны треугольника, если

АВ = 18 см, АС = 16,4 см,

А1В1 = 9 см

В1С1 = 7 см.

РЕШЕНИЕ:
Поэтому
Откуда

BC = 2В1С1,

BC = 2 7 = 14 (см).

A1С1 = AC : 2,

A1С1 = 16,4 : 2 = 8,2 (см).

ОТВЕТ:  14 см, 8,2 см

ЗАДАЧА:

На стороне  АС  треугольника  АВС  обозначена точка  D  так, что 

АВD = АСВ.

Найдите отрезок  АD, если

АВ = 6 см, АС = 18 см.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
ABC ~ ∆ AВD 
(угол А – общий, АВD = С). Тогда:
AD = 2 (см).

ЗАДАЧА:

На стороне  ВС  треугольника  АВС  обозначена точка  К  так, что

САК = АВС,

ВК = 12 см, КС = 4 см.

 Найдите сторону  АС.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
АВС ~ ∆ КАС 
(по двум углам).
АС2 = ВС КС =

= (12 + 4) 4 = 64,

АС = 8 (см).

ЗАДАЧА:

Диагонали трапеции  ABCD  (AD BC)  пересекаются в точке  О.

ВО : ОD = 2 : 7,

ВС = 18 см.

Найдите основание  AD  трапеции.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
ВОС ~ ∆ DАО
АD = 63 см.

ЗАДАЧА:

Прямая, параллельная стороне  АС  треугольника  АВС, пересекает сторону  АВ  у точке  М, а сторону  ВС – в точке  К. Найдите площадь треугольника  АВС, если

ВМ = 3 см, АМ = 4 см,

а площадь четырёхугольника  АМКC  равна  80 см2.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
SABC = x,
x = 98 (см2).

ЗАДАЧА:

В окружности проведены хорды  АК  и  ВМ, которые пересекаются в точке  С. Найдите отрезок  КМ, если

АВ = 4 см,

ВС = 2 см,

КС = 8 см.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
В = К = 1/2 АМ,

КСМ = ВСА – как вертикальные.

АВС ~ ∆ МКС.
КМ = 16 см.

ЗАДАЧА:

В трапеции  ABCD  известно, что  BC AD, Kточка пересечения диагоналей,

АK : KС = 9 : 4,

DK – BK = 15 см.

Найдите диагональ  BD.

РЕШЕНИЕ:

ABCDтрапеция,
BC AD, АK : KС = 9 : 4,

DK – BK = 15 см.

BK = DK – 15.

AКD ~ ∆ ВКС
5DK = 135, DK = 27 (см).

BK = DK – 15 = 27 – 15 = 12 (см).

BD = BK + КD = 12 + 27 = 39 (см).

ОТВЕТ:  39 см

ЗАДАЧА:

Продолжение боковых сторон  АВ  и  СD  трапеции  АВСD  пересекаются в точке  K. Большее основание  АD трапеции равно     18 см, АК = 24 см, АВ = 16 см. Найдите меньшее основание трапеции.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
ВКС ~ ∆ AКD
ЗАДАЧА:

Через точку  О,  точку пересечения диагоналей трапеции  ABCD,  проведена прямая, которая пересекает основание  AD  и  BC  в точках  Е  и  F  соответственно. Найдите отрезок  ВF, если

DЕ = 15 см

ОА : ОС = 3 : 2.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
FCO ~ ∆ EAO
EOD ~ ∆ FOB
ЗАДАЧА:

В треугольник  АВС  вписан ромб  АМКР  так, как показано на рисунке.
Найдите сторону ромба, если

АВ = 18 см, АС = 12 см.

РЕШЕНИЕ:

Пусть сторона ромба равна  х.

Тогда  РС = 12 – х.

АВС ~ ∆ РКС
18(12 – х) = 12х,

х = 7,2 (см).

ЗАДАЧА:

Продолжения боковых сторон  АВ  и  СD  трапеции  АВСD  пересекаются в точке  F,

АВ : BF = 3 : 7,

АDбольшее основание трапеции. Разность оснований трапеции равна  6 см. Найдите основание  АD.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
ВFС ~ ∆ AFD
BC = 7x,

АD = 10x,

10x – 7x = 6,

3x = 6, x =2.

АD = 20 см

ЗАДАЧА:

Основания равнобедренной трапеции равны  20 см  и  28 см, а боковая сторона – 5 см. Найдите площадь трапеции, подобной данной, высота которой равна  12 см.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  АВСD – данная равнобедренная трапеция, у которой
ВС = 20 см,

АD = 28 см,

АВ = 5 см.

Проведем 

BN AD, CK AD,

∆ ABN = ∆ DCK

(как прямоугольные, у которых равны гипотенузы и катеты).

NВСК – прямоугольник.

АN = KD = (28 – 20) : 2 = 4 (см).

Из прямоугольного треугольника  АВN  по теореме Піфагора

AB2 = BN2 + AN2.
ОТВЕТ:  1152 см2

ЗАДАЧА:

Непараллельные стороны трапеции продолжены до взаимного пересечения и через полученную точку проведена прямая, параллельная основаниям трапеции. Найти отрезок  АВ, если основания трапеции равны  a  и  b (a ˃ b) 

DE = a, MN = b.
РЕШЕНИЕ:

DME ~ AMC;

DNE ~ CNB;

MNE ~ ACE;

Откуда
поэтому
и тогда
Поэтому,
Задания к уроку 13

Комментариев нет:

Отправить комментарий