Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 13. Подобие разносторонних треугольников

ВИДЕОУРОК
Отношение отрезков.

Отношение отрезков АВ и СD – отношение их длин то есть

– отношение отрезков АВ и СD.

ПРИМЕР:

Отрезки длиной 2 см и 3 см пропорциональны отрезкам длиной 4 см и 6 см, так как

Пропорциональными могут быть не только пары отрезков, но и большее их число.

ПРИМЕР:

Отрезки

а, b, с, d

пропорциональны отрезкам

а₁, b₁, с₁, d₁,

если

Сходственные стороны – стороны треугольников, у которых противоположные им углы соответственно равны.

Подобные треугольники – треугольники, углы которых соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

ПРИМЕР:

Если

∠ А = ∠ А₁,
∠ В = ∠ В₁,
∠ С = ∠ С₁,

то ∆ АВС ~ ∆ А₁В₁С₁
Подобие треугольников АВС и А₁В₁С₁ коротко записывают так:

∆ АВС ~ ∆ А₁В₁С₁.

Знак ~ заменяют словом подобный.

Две фигуры подобны, если каждой точке одной фигуры можно сопоставить точку другой фигуры так, что для любых двух точек А и В одной фигуры и сопоставимых им точек А₁ и В₁ другой фигуры выполняется условие

где k – одно и то же положительное число для всех точек.

Число k – коэффициент подобия фигур.

Примерами подобных фигур произвольной формы являются две географические карты одной и той же местности, выполненные в разных масштабах; фотографии одного и того же предмета, сделанные при разных увеличениях.

Коэффициент подобия – число, равное отношению сходственных сторон треугольника.

Если коэффициент подобия известен, то записывают:

Для подобных треугольников имеет значение порядок записи вершин. Чтобы составить отношение сторон подобных треугольников необходимо:

– определить равные углы треугольников;

– выяснить, какие стороны будут сходственными;

– записать соответствующие отношения.

Признаки подобия разносторонних треугольников.

– если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны;

где k – коэффициент подобия.

– если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны;

– если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а заключённые между ними углы равны, то такие треугольники подобны;

Средняя линия отсекает треугольник который подобен данному, а его площадь равна одной четвёртой площади исходного треугольника.
Отношение периметров подобных треугольников равно отношению сходственных сторон (коэффициенту подобия):

Отношение сходственных линейных элементов (медиан, биссектрис, высот и так далее) подобных треугольников тоже равно коэффициенту подобия. Прямая, которая параллельна стороне треугольника и пересекает две другие его стороны, отсекает от него подобный ему треугольник.

Отношение площади подобных треугольников равно квадрату отношения соответствующих сторон (квадрату коэффициента подобности).
Правильные n – угольники подобны. Отношение их периметров, радиусов вписанных и описанных окружностей равны отношению их сторон, а отношение их площадей – отношению квадратов сторон.

Площади подобных фигур пропорциональны квадратам сходственных линейных элементов (сторон, высот, диагоналей).

ЗАДАЧА:

∆ АВС ~ ∆ А₁В₁С₁.

Найдите неизвестные стороны треугольника, если

АВ = 18 см, АС = 16,4 см,

А₁В₁ = 9 см,

В₁С₁ = 7 см.

РЕШЕНИЕ:
Поэтому
Откуда

BC = 2В₁С₁,

BC = 2 ∙ 7 = 14 (см).

A₁С₁ = AC : 2,

A₁С₁ = 16,4 : 2 = 8,2 (см).

ОТВЕТ: 14 см, 8,2 см

ЗАДАЧА:

На стороне АС треугольника АВС обозначена точка D так, что

∠ АВD = ∠ АСВ.

Найдите отрезок АD, если

АВ = 6 см, АС = 18 см.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
∆ ABC ~ ∆ AВD
(угол А – общий, ∠ АВD = ∠ С). Тогда:

AD = 2 (см).

ЗАДАЧА:

На стороне ВС треугольника АВС обозначена точка К так, что

∠ САК = ∠ АВС,

ВК = 12 см, КС = 4 см.

Найдите сторону АС.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
∆ АВС ~ ∆ КАС
(по двум углам).
АС² = ВС ∙ КС =

= (12 + 4) ∙ 4 = 64,

АС = 8 (см).

ЗАДАЧА:

Диагонали трапеции ABCD (AD ∥ BC) пересекаются в точке О.

ВО : ОD = 2 : 7,

ВС = 18 см.

Найдите основание AD трапеции.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
∆ ВОС ~ ∆ DАО
АD = 63 см.

ЗАДАЧА:

Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает сторону АВ у точке М, а сторону ВС – в точке К. Найдите площадь треугольника АВС, если

ВМ = 3 см, АМ = 4 см,

а площадь четырёхугольника АМКC равна 80 см².

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.

S_ABC = x,

x = 98 (см²).

ЗАДАЧА:

В окружности проведены хорды АК и ВМ, которые пересекаются в точке С. Найдите отрезок КМ, если

АВ = 4 см,

ВС = 2 см,

КС = 8 см.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
∠ В =∠ К = ¹/₂ ∪ АМ,

∠ КСМ = ∠ ВСА – как вертикальные.

∆ АВС ~ ∆ МКС.
КМ = 16 см.

ЗАДАЧА:

В трапеции ABCD известно, что BC ∥ AD, K – точка пересечения диагоналей,

АK : KС = 9 : 4,

DK – BK = 15 см.

Найдите диагональ BD.

РЕШЕНИЕ:

ABCD – трапеция,

BC ∥ AD, АK : KС = 9 : 4,

DK – BK = 15 см.

BK = DK – 15.

∆ AКD ~ ∆ ВКС
5DK = 135, DK = 27 (см).

BK = DK – 15 = 27 – 15 = 12 (см).

BD = BK + КD = 12 + 27 = 39 (см).

ОТВЕТ: 39 см

ЗАДАЧА:

Продолжение боковых сторон АВ и СD трапеции АВСD пересекаются в точке K. Большее основание АD трапеции равно 18 см, АК = 24 см, АВ = 16 см. Найдите меньшее основание трапеции.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
∆ ВКС ~ ∆ AКD
ЗАДАЧА:

Через точку О, точку пересечения диагоналей трапеции ABCD, проведена прямая, которая пересекает основание AD и BC в точках Е и F соответственно. Найдите отрезок ВF, если

DЕ = 15 см,

ОА : ОС = 3 : 2.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
∆ FCO ~ ∆ EAO
∆ EOD ~ ∆ FOB
ЗАДАЧА:

В треугольник АВС вписан ромб АМКР так, как показано на рисунке.
Найдите сторону ромба, если

АВ = 18 см, АС = 12 см.

РЕШЕНИЕ:

Пусть сторона ромба равна х.

Тогда РС = 12 – х.

∆ АВС ~ ∆ РКС
18(12 – х) = 12х,

х = 7,2 (см).

ЗАДАЧА:

Продолжения боковых сторон АВ и СD трапеции АВСD пересекаются в точке F,

АВ : BF = 3 : 7,

АD – большее основание трапеции. Разность оснований трапеции равна 6 см. Найдите основание АD.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.

∆ ВFС ~ ∆ AFD
BC = 7x,

АD = 10x,

10x – 7x = 6,

3x = 6, x =2.

АD = 20 см

ЗАДАЧА:

Основания равнобедренной трапеции равны 20 см и 28 см, а боковая сторона – 5 см. Найдите площадь трапеции, подобной данной, высота которой равна 12 см.

РЕШЕНИЕ:

Пусть АВСD – данная равнобедренная трапеция, у которой
ВС = 20 см,

АD = 28 см,

АВ = 5 см.

Проведем

BN ⊥ AD, CK ⊥ AD,

∆ ABN = ∆ DCK

(как прямоугольные, у которых равны гипотенузы и катеты).

NВСК – прямоугольник.

АN = KD = (28 – 20) : 2 = 4 (см).

Из прямоугольного треугольника АВN по теореме Піфагора

AB² = BN² + AN².

ОТВЕТ: 1152 см²

ЗАДАЧА:

Непараллельные стороны трапеции продолжены до взаимного пересечения и через полученную точку проведена прямая, параллельная основаниям трапеции. Найти отрезок АВ, если основания трапеции равны a и b (a ˃ b)