Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

среда, 21 февраля 2018 г.

Урок 13. Об'єм конуса

Побудуємо два багатокутники в площині основі конуса: багатокутник   Р, що містить основи конуса, і багатокутник  Р', що міститься в основі конуса. Побудуємо дві піраміди з основами  Р  и  Р'  й вершиною у вершині конуса. Перша піраміда містить конус, а друга піраміда міститься в конусі.
Як ми знаємо, існують такі багатокутники  Р  и  Р', площі яких при необмеженому збільшенні числа їх сторін  n  необмежено наближаються до площі кругу в основі конуса.
За величину об'єму конуса приймають границю, до якої наближається об'єм правильної вписаної в конус (або описаної навколо нього) піраміди при необмеженому збільшенні числа її бічних граней.
Для таких багатокутників об'єми побудованих пірамід необмежено наближаються до
де  S – площа основи конуса, а  H – його висота. Відповідно до визначення звідси слідує:

Об'єм конуса дорівнює добутку площі основи на третину висоти.

ЗАДАЧА:

Висота і твірна конуса відносяться, як  35 : 37. Повна поверхня конуса дорівнює  588π см2. Знайти об'єм конуса.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Позначимо висоту конуса  

 Н = 45х, а твірну  L = 37х. 

 Тоді радіус основи конуса
Повна поверхня конуса

 Sповн = πR(R + L) =
12πx(12x + 37x) = 588πx2

 і за умовою

 588πx2 = 588π.

 Звідси  х = 1, тоді  

 R = 12 см, Н = 35 см.

 Об'єм конуса
ВІДПОВІДЬ:

V = 1680π см3  ≈ 5277,88 см3.

ЗАДАЧА:

Знайти об'єм конуса, якщо його осьовим перерізом правильний трикутник зі стороною  12 см.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  ∆QAB – осьовий переріз конуса,

QА = QВ = АВ = 12 см.

 Тому радіус основи:
В  ∆QOA  висота:
Об’єм конуса:
Застосування тригонометричних функцій до розв'язання стереометричних задач.

ЗАДАЧА:

Різниця між твірною і висотою конуса дорівнює  m, а кут між ними дорівнює  α. Знайти об'єм конуса і обчислити його значення при

m = 5,8 см  і  α = 42°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

 Дано конус  SAB, у якого  і  

 SA – SO = m, ∠ OSA= α.
Позначимо 

 AO = R  і  OS = H, 

 тоді об'єм конуса

V = 1/3 πR2H.
З  ∆ SAO  знайдемо  
H = R ctg α, тоді 
V = 1/3 πR3ctg α.

Для визначення  R  розглянемо ∆ AOC. В цьому трикутнику 

AC = m,
∠ AOC = 90° – α,
∠ OCA = 180° – ∠ SCO =
180° – 1/2 (180° – α) = 90° +1/2 α, а
∠ AOC = 180° – 1/2 (180° – α) = α/2, бо

 ∆ OSC  за умовою задачі рівнобедрений  (SO = SC). За теоремою синусів з  ∆ AOC  знаходимо
R = m ctg α/2.

Для обчислення об'єму конуса одержимо остаточну формулу

V = 1/3 m3ctg3 α/2 ctg α (куб. од.).

При  m = 5,8 см  і  α = 42°  маємо з чотирма значущими цифрами

ctg α/2 = 2,605, ctg 42° = 1,111.
(m ctg α/2)3 = 3449,1.
V = 1277 cм3 = 1,277 дм3.

 ВІДПОВІДЬ:  V = 1,277 дм3

ЗАДАЧА:

Через дві твірні конуса, кут між якими дорівнює  α, проведено площину, яка утворює з площиною основи кут  β. Знайдіть об’єм конуса, якщо його твірна дорівнює  а.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Нехай задано конус.
SО – його висота. Площина перерізу  SАВ  проходить через твірні  SА  і  SВ, тоді  ∠ АSВ = α.

SА = SВ = а.

Проведемо  SМ ⊥ АВ. М – середина  АВ, ∠ ASМ = α/2. За теоремою про три перпендикуляри  ОМ ⊥ АВ.

Тоді  ∠ SМO – кут, який утворює площина перерізу з площиною основи.

∠ SМO = β.

З  ∆ SMA (∠ М = 90°):

AM = SA sin∠ ASМ = a sin α/2.

SM = SA cos∠ ASМ = a cos α/2.

З  ∆ SOM (∠ O = 90°):

SO = SM sin∠ SМO = a cos α/2 sin β.

З  ∆ SOA (∠ O = 90°):

OA2 = SA2 – SO2 =

= a2 – a2cos2 α/2 sin2 β =

= a2(1 – cos2 α/2 sin2 β).

Vк = 1/3 Sо∙ H = 1/3 πOA2∙ SO =

= 1/3 πa2(1 – cos2 α/2 sin2 β) ∙ a cos α/2 sin β =

= 1/3 πa3(1 – cos2 α/2 sin2 β) ∙ cos α/2 sin β

ВІДПОВІДЬ:

1/3 πa3(1 – cos2 α/2 sin2 β) ∙ cos α/2 sin β

ЗАДАЧА:

Знайдіть об'єм конуса, який утворює  l  видної з середини висоти конуса під кутом  α.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Даний конус із твірною  l.
РО – висота конуса, М – середина висоти.

РА  видно з точки  М  під кутом  α.

Об’єм конуса знаходимо за такою формулою:

Vконуса = 1/3 Sосн ∙ OP

Введемо позначення: замість  ОР – Н, радіус основи конуса  ОА – R.

Розв'язання задачі зводиться до знаходження площі основи конуса та його висоти.

Sосн = π ОА2.

Трикутник  АМО – прямокутний, кут

ОМА = π – α.

МО = R ∙ ctg (π – α) = –R∙ ctg α.

Н = 2МО = –2R∙ ctg α.

З трикутника  РАО  за теоремою Піфагора маємо

R2 + (–2R∙ ctg α)2 = l2.
Ми знайшли радіус основи конуса, тепер знайдемо його висоту  Н:
Об’єм конуса дорівнюватиме:
Завдання до уроку 13
Інші уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий