Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

вторник, 13 февраля 2018 г.

Урок 9. Об'єм піраміди

Нехай  SABC – трикутна піраміда з вершиною  S  і основою  АВС. Доповнимо цю піраміду до трикутної призми з тією же основою й висотою.
Ця призма складена із трьох пірамід даної пірамід  SABC  і ще двох трикутних пірамід  SCC1B1  і  SCBB1.
У другої й третьої пірамід рівні основи – ∆ CC1B1  і  ∆ B1BC  й спільна висота, проведена з вершини  S. Тому в них рівні об'єми.
У першої й третьої пірамід теж рівні основи –  ∆ SAB  і  ∆ B1BS  й співпрацюючи висоти, проведені з вершини  С. Тому в них теж рівні об'єми.
Виходить, всі три піраміди мають той самий об'єм. Так як сума цих об'ємів дорівнює об'єму призми, то об'єми пірамід рівні
Отже, об'єм будь-якої трикутної піраміди дорівнює однієї третини добутку площі основи на висоту
Нехай тепер маємо будь-яку, не обов'язково трикутну піраміду. Розіб'ємо її основу на трикутники ∆1, ∆2, …, ∆n. Піраміди, у яких основами є ці трикутники, а вершинами – вершина даної піраміди, складають дану піраміду. Об'єм даної піраміди дорівнює сумі об'ємів складових її пірамід. Так як всі вони мають ту ж висоту  Н, що й дана піраміда, то об'єм її дорівнює:
Об'єм піраміди дорівнює одній третині добутку площі її основи на висоту.
де  S – площа основи, а  Н – висота піраміди.

ЗАДАЧА:

Основою піраміди є трикутник зі сторонами  

 13 см, 20 см  і  21 см. 

 Знайдіть об'єм піраміди, якщо її висота дорівнює  9 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Площу основи знайдемо за формулою Герона.
ВІДПОВІДЬ:  378 см3.

ЗАДАЧА:

В основі піраміди лежить квадрат. Дві бічні грані піраміди перпендикулярні до площини основи, а дві інші нахилені до неї під кутом  30°. Знайти об'єм піраміди, якщо середнє за величиною бічне ребро піраміди дорівнює  4 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  QABCD – задана в умові піраміда, АВСD – квадрат, бічні грані  QAD  і  QAB  перпендикулярні площині основи.
Оскільки бічні грані  QAD  і  QAB  перпендикулярні площині основи, то бічне ребро  по якому перетинаються ці грані, також перпендикулярне до основи. 
Тому  QA = h – висота піраміди. AD ⊥ DC, тому за теоремою про три перпендикуляри  QD ⊥ DC. А отже  QAD ⊥ DC. 
Тому  ∠ QDA – кут, що утворює бічна грань  QDC  із площиною основи.  ∠ QDA – 30° (за умовою).
Оскільки  ∆ QAD – прямокутний (∠ A = 90°), то  

 QD > QA. ∆ QDC 

 – прямокутний (∠ QDC = 90°), тому  QD < QC. 
Враховуючи також  QD = QB (з рівності трикутників  QAD  і  QAB) матимемо, що саме  QD – середнє за величиною бічне ребро. За умовою  QD = 4 см.
В  ∆ QAO, QA = 4 : 2 = 2 (см), використовуючи властивість катета, що лежить проти кута  30°.
Площа основи:
Об'єм піраміди:

ЗАДАЧА:

Основа піраміди – ромб зі стороною  а  і кутом  α. Усі двогранні кути при ребрах основи піраміди дорівнюють  β. Знайдіть об’єм піраміди.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Нехай  SABCD – задана піраміда.

SО – її висота, ABCD – ромб, сторона якого дорівнює  а.

∠ ВСD = ∠ ВАD = α.

Тоді  ∠ ВСО = ∠ ОСD = α/2. Оскільки всі двогранні кути при рёбрах основи рівні, то висота піраміди проходить через центр вписаного у ромб кола – точку перетину діагоналей. Проведемо  SМ ⊥ DC. За теоремою про три перпендикуляри  ОМ ⊥ DC. Тоді  ∠ SМО – лінійний  кут двогранного кута при ребрі основи. За умовою,

∠ SМО = β.

З  ∆ COD (∠ O = 90°):

OC = DC cos ∠ OCD = a cos α/2.

З  ∆ OMC (∠ M = 90°):

OM = OC sin ∠ OCM = a cos α/2 sin α/2.

З  ∆ SOM (∠ O = 90°):

SO = OM tg ∠ M = a/2 sin α tg β.

SABCD = a2 sin α.
ВІДПОВІДЬ:
ЗАДАЧА:

Основою піраміди є трикутник зі сторонами  

 4 см, 5 см  і  6 см. 

 Усі бічні ребра нахилені до площини основи під кутом  60°. Знайти об'єм піраміди.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  QABC – задана в умові піраміда, 

 АВ = 4 см, 
АС = 5 см, 
ВС = 6 см.
За відомою властивістю: точка  К – основа висоти  QК  є центром кола, описаного навколо  ∆ ABC. АК = R – радіус описаного кола.
∠ QAK = 60° (за умовою).

 В  ∆ QAK, QK = 
R tg∠ QAK = √͞͞͞͞͞3 R (см). 

 Оскільки
де  S – площа трикутника, то маємо:
Завдання до уроку 9
Інші уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий