Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

воскресенье, 26 мая 2019 г.

Урок 7. Визначення геометричної прогресії

ПРИКЛАД:

Нехай послідовність  (bn)  така, що перший член її рівний  3, а кожен член, починаючи з другого, виходить множенням попереднього члена на  2. Тоді

(bn)
b2 = 3 × 2 = 6,
b3 = 6 × 2 = 12,
b4 = 12 × 2 = 24,
b5 = 24 × 2 = 48, … .

Числова послідовність, перший член якої відмінний від нуля, а кожен член, починаючи з другого, дорівнює попередньому членові, помноженому на одно і те ж, не рівне нулю число, називається геометричною прогресією.

Розглянута вище послідовність  (bn) – геометрична прогресія, оскільки при будь-кому 

n ≥ 1  bn+1 = bn × 2.

З визначення виходить, що в геометричній прогресії  (bn)  відношення будь-якого її члена, починаючи з другого, до передування дорівнює одному і тому ж числу:

b2 : b1 = b3 : b2 = … = bn : bn-1 = bn+1 : bn = … ..

Це число називається знаменником геометричною прогресії.
Його зазвичай означають буквою  q.
Згідно з визначенням

an+1 = an q,  n ∈ N.

Геометрична прогресія позначається символом  ∺. Записують її так:

∺ a1, a2, a3, … , an-1, an, an+1, …

ПРИКЛАД:

∺ 3;  6;  12;  24;  48; … – геометрична прогресія з знаменником 
q = 2.

Геометрична прогресія  (bn)  визначається:

1) умовою 

b1 = b  (b ≠ 0);

2) рекурентною формулою

bn+1 = bn × q.

Для того, щоб задати геометричну прогресію  (bn), досить знати її перший член  b1  і знаменник  q.

ПРИКЛАД:

b1 = 6, q = 1/2,

те ми маємо геометричну прогресію

6;  3;  3/2;  3/4;  3/8; ... .

ПРИКЛАД:

Умовою

b1 = 6, q = –3

задається геометрична прогресія:

4;  –12;  36;  –108; ... .

У тому випадку, коли  q < 0, члени прогресії з непарними номерами мають той же знак, що і перший член, а члени прогресії з парними номерами мають знак, протилежний до знаку першого члена прогресії. В цьому випадку прогресія не є ні зростаючою, ні убуваючою послідовністю.
Якщо  q > 0 (q ≠ 1), то прогресія – що або зростає послідовністю, або убуває.

ПРИКЛАД:

b1 = –2, q = 3.

В цьому випадку геометрична прогресія

–2;  –6;  –18; ... .

є убуваюча послідовність.

Якщо  q = 1, то усі члени прогресії рівні між собою. В цьому випадку прогресія буде постійною послідовністю.

Властивості членів геометричної прогресії.

 а) квадрат кожного члена геометричної прогресії дорівнює добутку рівновіддалених від нього її членів, тобто
б) якщо задано  n  перших членів геометричної прогресії

∺ a1, a2, a3, … , an-2, a n-1, an,

то добутки членів, рівновіддалених від кінців цієї скінченної геометричної прогресії, рівні між собою:
k = 1,  2,  3, … ,  n.

 Добуток  n  перших членів геометричної прогресії
або
ПРИКЛАД:

Знайти чотири числа, з яких перші три є послідовними членами геометричної прогресії, а останні три – членами арифметичної прогресії, якщо сума крайніх чисел дорівнює  21, а сума середніх – 18.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Позначимо перші три числа  x, xq, xq2, тоді четверте число  у  знайдемо, скориставшись властивістю послідовних членів  xq, xq2, у  арифметичної прогресії:

y = 2xq2 – xq.

За умовою задачі маємо:
Розв’язавши цю систему, знайдемо:
ВІДПОВІДЬ:  Шукані числа
Геометрична прогресія має наступну властивість:

Будь-який член геометричної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому пропорційному передуючого і подальшого членів.

Справедливо і зворотне:

Якщо деяка послідовність така, що будь-який член, починаючи з другого, дорівнює середньому пропорційному передуючого і подальшого членів, то ця послідовність – геометрична прогресія.

Таким чином, справедлива теорема:

Числова послідовність є геометричною прогресією в тому і тільки тому випадку, коли будь-який її член, починаючи з другого, дорівнює середньому пропорційному передуючого і подальшого членів.

ПРИКЛАД:

При якому від’ємному значенні  х  значення виразів

2х – 3, х – 5, х + 2

будуть послідовними членами геометричної прогресії ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Числа  b1, b2, b3  будуть послідовними членами геометричної прогресії лише тоді коли
Тоді
х2 = 2 – не задовольняє умову задачі.
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий