Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 3. Додавання і добуток числових нерівностей

ВИДЕО УРОК

Якщо а > b, с > d, то

а + с > b + d;

а – с > b – d.

Якщо а < b, с < d, то

а + с < b + d;

а – с < b – d.

Ця властивість формулюється таким чином:

Можна почленно складати числа частин нерівності.

Додамо до обох частин нерівності а < b число с, отримаємо

а + с < b + с.

Додамо до обох частин нерівності с < d число b, отримаємо

b + с < b + d.

З нерівностей

а + с < b + с.

b + с < b + d

витікає, що

а + с < b + d.

Якщо скласти почленно вірні нерівності зі знаком в один бік, то вийде вірна нерівність.

З однієї нерівності можна почленно віднімати іншу нерівність зі знаком в протилежну сторону, залишаючи знак першої нерівності.

Якщо а > b, с < d, то

а – с > b – d.

Якщо а < b, с > d, то

а – с < b – d.

ПРИКЛАД:

Складіть почленно нерівності:

5 ˃ 4 и –1 ˃ –2.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

(5 + (–1)) ˃ (4 + (–2)),

4 ˃ 2.

ПРИКЛАД:

Складіть почленно нерівності:

5 ˃ 4 и –2 < –1.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

У разі, якщо знаки у нерівності не однакові, складати їх почленно не можна. Спочатку потрібно поміняти місцями ліву і праву частину однієї з нерівностей, що автоматично спричинить зміну знаку нерівності на протилежний. Дійсно, якщо

5 ˃ 4, то 4 < 5.

5 ˃ 4, –2 < –1.

4 < 5, –2 < –1,

(4 – 2) ˃ (5 – 1),

2 < 4.

Або, щоб змінити знак нерівності на протилежний, обидві його частини можна помножити на негативне число, наприклад, на (–1).

5 ˃ 4, (–2)(–1) < (–1) (–1).

5 ˃ 4, 2 ˃ 1.

(5 + 2) ˃ (4 + 1).

7 ˃ 5.

Якщо перемножити почленно вірні нерівності одного знаку, ліві і праві частини яких – позитивні числа, то вийде вірна нерівність.

Якщо а < b, с > d, де

а, b, с і d – позитивні числа, то

ас < bd.

Почленне множення обох частин дає в результаті позитивне число.

Помножимо обидві частини нерівності а < b на позитивне число с, отримаємо

ас < bс.

Помножимо обидві частини нерівності с < d на позитивне число b, отримаємо

bс < bd.

З нерівностей

ас < bс і bс < bd

витікає, що

ас < bd.

Ці міркування справедливі і для почленного множення більш ніж двох нерівностей вказаного типу.

Якщо в нерівностях

ас < bс і bс < bd

серед чисел

ас < bс і bс < bd

є негативні, та нерівність

ас < bd

може виявитися невірним.

ПРИКЛАД:

Перемножимо почленно вірні нерівності

–3 < –2 і –5 < 6,

отримаємо нерівність

15 < –12,

яке не є вірним.

ПРИКЛАД:

Перемножимо почленно вірні нерівності

2 ˃ 1 и 3 ˃ 2,

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

2 × 3 ˃ 1 × 2,

6 ˃ 2.

ПРИКЛАД:

Перемножимо почленно вірні нерівності

2 ˃ 1 и 3 ˃ (–2),

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перемножувати такі нерівності не можна, оскільки права частина другої нерівності негативна.

ПРИКЛАД:

Нерівності

–5 < –4,

1 < 3

є вірними, а почленне їх множення дасть наступний результат в наступному виді:

1 ∙ (–5) < 3 ∙ (–4),

–5 < –12.

Це є невірною нерівністю.

Якщо числа а і b позитивні і а < b,

то aⁿ< bⁿ (n – натуральне число).

Перемножимо почленно n вірних нерівностей а < b, в яких а і b – позитивні числа, отримаємо вірну нерівність

aⁿ< bⁿ.

ПРИКЛАД:

Відомо, що

15 < х < 16 і 2 < у < 3.

Вимагається оцінити суму

х + у,

різницю

х – у,

добуток

ху

частку

^х/_у.

1. Оцінимо суму

х + у.

Застосувавши теорему про почленне складання нерівностей до нерівностей

15 < х і 2 < у,

а потім до нерівностей

х < 16 і у < 3,

отримаємо

17 < х + у і

х + у < 19.

Результат можна записати у вигляді подвійної нерівності

17 < х + у < 19.

Запис зазвичай ведуть коротше:

2. Оцінимо різницю

х – у.

Для цього представимо різницю

х – у

у вигляді суми

х + (– у).

Спочатку оцінимо вираження –у. Оскільки

2 < у < 3, то

–2 > –у > –3, т. е.

–3 < –у < –2.

Застосуємо тепер теорему про почленне складання нерівностей:

3. Оцінимо добуток

ху.

Оскільки кожне з чисел х і у ув'язнено між позитивними числами, то вони також є позитивними числами. Застосувавши теорему про почленне множення нерівностей, отримаємо: