Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 3. Сложение и умножение числовых неравенств

ВИДЕО УРОК

Если а > b, с > d, то

а + с > b + d;

а – с > b – d.

Если а < b, с < d, то

а + с < b + d;

а – с < b – d.

Это свойство формулируется следующим образом:

Можно почленно складывать числа частей неравенства.

Прибавим к обеим частям неравенства а < b число с, получим

а + с < b + с.

Прибавим к обеим частям неравенства с < d число b, получим

b + с < b + d.

Из неравенств

а + с < b + с.

b + с < b + d

следует, что

а + с < b + d.

Если сложить почленно верные неравенства со знаком в одну сторону, то получится верное неравенство.

Из одного неравенства можно почленно вычитать другое неравенство со знаком в противоположную сторону, оставляя знак первого неравенства.

Если а > b, с < d, то

а – с > b – d.

Если а < b, с > d, то

а – с < b – d.

ПРИМЕР:

Сложите почленно неравенства:

5 ˃ 4 и –1 ˃ –2.

РЕШЕНИЕ:

(5 + (–1)) ˃ (4 + (–2)),

4 ˃ 2.

ПРИМЕР:

Сложите почленно неравенства:

5 ˃ 4 и –2 < –1.

РЕШЕНИЕ:

В случае, если знаки у неравенства не одинаковы, складывать их почленно нельзя. Сначала надо поменять местами левую и правую часть одного из неравенств, что автоматически повлечёт за собой смену знака неравенства на противоположный. Действительно, если

5 ˃ 4, то 4 < 5.

5 ˃ 4, –2 < –1.

4 < 5, –2 < –1,

(4 – 2) ˃ (5 – 1),

2 < 4.

Или, чтобы изменить знак неравенства на противоположный, обе его части можно умножить на отрицательное число, например, на (–1).

5 ˃ 4, (–2)(–1) < (–1) (–1).

5 ˃ 4, 2 ˃ 1.

(5 + 2) ˃ (4 + 1).

7 ˃ 5.

Если перемножить почленно верные неравенства одного знака, левые и правые части которых – положительные числа, то получится верное неравенство.

Если а < b, с > d, где

а, b, с и d – положительные числа, то

ас < bd.

Почленное умножение обеих частей даёт в результате положительное число.

Умножим обе части неравенства а < b на положительное число с, получим

ас < bс.

Умножим обе части неравенства с < d на положительное число b, получим

bс < bd.

Из неравенств

ас < bс и bс < bd

следует, что

ас < bd.

Эти рассуждения справедливы и для почленного умножения более чем двух неравенств указанного типа.

Если в неравенствах

ас < bс и bс < bd

среди чисел

ас < bс и bс < bd

имеются отрицательные, то неравенство

ас < bd

может оказаться неверным.

ПРИМЕР:

Перемножим почленно верные неравенства

–3 < –2 и –5 < 6,

получим неравенство

15 < –12,

которое не является верным.

ПРИМЕР:

Перемножим почленно верные неравенства

2 ˃ 1 и 3 ˃ 2,

РЕШЕНИЕ:

2 × 3 ˃ 1 × 2,

6 ˃ 2.

ПРИМЕР:

Перемножим почленно верные неравенства

2 ˃ 1 и 3 ˃ (–2),

РЕШЕНИЕ:

Перемножать такие неравенства нельзя, так как правая часть второго неравенства отрицательна.

ПРИМЕР:

Неравенства

–5 < –4,

1 < 3

являются верными, а почленное их умножение даст следующий результат в следующем виде:

1 ∙ (–5) < 3 ∙ (–4),

–5 < –12.

Это является неверным неравенством.

Если числа а и b положительные и а < b,

то aⁿ< bⁿ (n – натуральное число).

Перемножим почленно n верных неравенств а < b, в которых а и b – положительные числа, получим верное неравенство

aⁿ< bⁿ.

ПРИМЕР:

Известно, что

15 < х < 16 и 2 < у < 3.

Требуется оценить:

сумму х + у,

разность х – у,

произведение ху

частное ^х/_у.

1. Оценим сумму

х + у.

Применив теорему о почленном сложении неравенств к неравенствам

15 < х и 2 < у,

а затем к неравенствам

х < 16 и у < 3,

получим

17 < х + у и х + у < 19.

Результат можно записать в виде двойного неравенства

17 < х + у < 19.

Запись обычно ведут короче:

2. Оценим разность

х – у.

Для этого представим разность

х – у

в виде суммы

х + (– у).

Сначала оценим выражение –у. Так как

2 < у < 3, то

–2 > –у > –3, т. е.

–3 < –у < –2.

Применим теперь теорему о почленном сложении неравенств:

3. Оценим произведение

ху.

Так как каждое из чисел х и у заключено между положительными числами, то они также являются положительными числами. Применив теорему о почленном умножении неравенств, получим: