Уроки математики и физики (RU + UA)

пятница, 20 сентября 2019 г.

Урок 3. Сложение и умножение числовых неравенств

ВИДЕО УРОК
Если  а > b, с > d, то

а + с > b + d;  
а – с > b – d.

Если  а < b, с < d, то

а + с < b + d;  
а – с < b – d.

Это свойство формулируется следующим образом:

Можно почленно складывать числа частей неравенства.

Прибавим к обеим частям неравенства  а < b  число  с, получим

а + с < b + с.

Прибавим к обеим частям неравенства  с < d  число  b, получим

b + с < b + d.

Из неравенств

а + с < b + с.

и

b + с < b + d

следует, что

а + с < b + d.

Если сложить почленно верные неравенства со знаком в одну сторону, то получится верное неравенство.

Из одного неравенства можно почленно вычитать другое неравенство со знаком в противоположную сторону, оставляя знак первого неравенства.

Если  а > b, с < d, то 

а – с > b – d.

Если  а < b, с > d, то 

а – с < b – d.

ПРИМЕР:

Сложите почленно неравенства:

5 ˃ 4  и  –1 ˃ –2.

РЕШЕНИЕ:

(5 + (–1)) ˃ (4 + (–2)),

4 ˃ 2.

ПРИМЕР:

Сложите почленно неравенства:

5 ˃ 4  и  –2 < –1.

РЕШЕНИЕ:

В случае, если знаки у неравенства не одинаковы, складывать их почленно нельзя. Сначала надо поменять местами левую и правую часть одного из неравенств, что автоматически повлечёт за собой смену знака неравенства на противоположный. Действительно, если

5 ˃ 4, то  4 < 5.
5 ˃ 4,  –2 < –1.
4 < 5,  –2 < –1,
(4 – 2) ˃ (5 – 1),
2 < 4.

Или, чтобы изменить знак неравенства на противоположный, обе его части можно умножить на отрицательное число, например, на  (1).

5 ˃ 4,  (–2)(–1) < (–1) (–1).
5 ˃ 4,  2 ˃ 1.
(5 + 2) ˃ (4 + 1).

7 ˃ 5.

Если перемножить почленно верные неравенства одного знака, левые и правые части которых – положительные числа, то получится верное неравенство.

Если  а < b, с > d, где 
а, b, с  и  d – положительные числа, то 
ас < bd.

Почленное умножение обеих частей даёт в результате положительное число.
Умножим обе части неравенства  а < b  на положительное число  с, получим

ас < bс.

Умножим обе части неравенства  с < d  на положительное число  b, получим

bс < bd.

Из неравенств

ас < bс  и  bс < bd

следует, что

ас < bd.

Эти рассуждения справедливы и для почленного умножения более чем двух неравенств указанного типа.
Если в неравенствах

ас < bс  и  bс < bd

среди чисел

ас < bс  и  bс < bd

имеются отрицательные, то неравенство

ас < bd

может оказаться неверным.

ПРИМЕР:

Перемножим почленно верные неравенства

–3 < –2  и  –5 < 6,

получим неравенство

15 < –12,

которое не является верным.

ПРИМЕР:

Перемножим почленно верные неравенства

2 ˃ 1  и  3 ˃ 2,

РЕШЕНИЕ:

2 × 3 ˃ 1 × 2,
6 ˃ 2.

ПРИМЕР:

Перемножим почленно верные неравенства

2 ˃ 1  и  3 ˃ (–2),

РЕШЕНИЕ:


Перемножать такие неравенства нельзя, так как правая часть второго неравенства отрицательна.

ПРИМЕР:

Неравенства

–5 < –4,

1 < 3

являются верными, а почленное их умножение даст следующий результат в следующем виде:

1 (–5) < 3 (–4),

–5 < –12.

Это является неверным неравенством.

Если числа  а  и  b  положительные и  а < b,
то  an < bn   (n – натуральное число).

Перемножим почленно  n  верных неравенств  а < b, в которых   а  и  b – положительные числа, получим верное неравенство

an < bn.

ПРИМЕР:

Известно, что 

15 < х < 16  и  2 < у < 3.

Требуется оценить: 

сумму  х + у,
разность  х у,
произведение  ху  
частное  х/у.

1. Оценим сумму  

х + у.

Применив теорему о почленном сложении неравенств к неравенствам 

15 < х  и   2 < у,

а затем к неравенствам 

х < 16  и   у < 3,

получим 

17 < х + у  и  х + у < 19.

Результат можно записать в виде двойного неравенства 

17 < х + у < 19.

Запись обычно ведут короче:
2. Оценим разность  

х – у.

Для этого представим разность 

х – у 

в виде суммы 

х + (– у).

Сначала оценим выражение  –у. Так как 

2  <  у  <  3, то 
–2 >у > –3, т. е
–3  <  –у  <  –2.

Применим теперь теорему о почленном сложении неравенств:
3. Оценим произведение  

ху.

Так как каждое из чисел  х  и  у  заключено между положительными числами, то они также являются положительными числами. Применив теорему о почленном умножении неравенств, получим:
4. Оценим частное  

х/у

Для этого представим частное  х/у  в виде произведения

х × 1/у

Сначала оценим выражение  1/у. Так как 

2  <  у  <  3, то
1/2 >  1/у > 1/3т. е.
1/3 <  1/у < 1/2.                                         

По теореме о почленном умножении неравенств имеем:
ПРИМЕР:

Известно, что 

3 < х < 4  и  
12  < у <  13.

Какие значения может приобретать выражение:

1.  х + у
2.  у – х
3.  ху
4.  х/у

Задания к уроку 3
ДРУГИЕ УРОКИ

    Комментариев нет:

    Отправить комментарий