Уроки математики и физики (RU + UA)

вторник, 10 мая 2022 г.

Урок 28. Основные тождества обратных тригонометрических функций

ВИДЕО УРОК

Каково бы ни было число  х, по абсолютной величине меньшее или равное единице, имеем:

Пусть

arcsin x = α.

Из этого равенства следует, что

sin α = x  и  – π/2α π/2.

Но  cos (π/2α)  также равен  х, так как

cos (π/2α) = sin α.

На основании этого имеем:

cos (π/2α) = x.

Но  α  заключено в том же промежутке, что и  α:

π/2 ≤ –α π/2.

Прибавляя по  π/2  ко всем членам этого соотношения, получим

0 ≤  π/2α π.

Из соотношений 

cos (π/2α) = x

0 ≤  π/2α π 

следует, что

arccos x = π/2α.

Складывая почленно равенства

arcsin x = α, 

arccos x = π/2α,

получим:

arcsin x + arccos x = π/2,

что и требовалось доказать.

Каково бы ни было число  х, имеем:
Полагая

arctg x = α,

находим:

tg α = x  и  – π/2 < α < π/2.

Но  ctg (π/2α)  также равен  х, так как

ctg (π/2α) = tg α.

Из неравенства

π/2 < α < π/2

следует:

0 ≤  π/2α π,

а так как котангенс угла  π/2α  равен  х, то имеем:

arcсtg x = π/2α.

Складывая равенства

arctg x = α, 

arcctg x = π/2α ,

получим:

arctg x + arcctg x = π/2,

Основные соотношения для обратных тригонометрических функций.
–1 ≤ х ≤ +1.

ПРИМЕРЫ:

sin (arcsin 1/2) = 1/2.

sin (arcsin 1) = 1.

ПРИМЕР:

Нельзя писать

sin (arcsin 1,2) = 1,2,

ибо выражение  arcsin 1,2  не имеет смысла.
–1 ≤ х ≤ +1.

ПРИМЕР:

cos [arccos (–0,79)] = –0,79.
–∞ < х < +∞.

ПРИМЕР:

tg (arctg 123) = 123.
–∞ < х < +∞.

ПРИМЕР:

ctg [arcctg (–798)] = –798.
π/2х ≤ + π/2.

ПРИМЕР:

Найти

arcsin (sin 2).

РЕШЕНИЕ:

Требуется найти угол, лежащий в пределах от  π/2 < до < π/2, синус которого равен  sin 2. Заметим, что если угол  х  удовлетворяет неравенствам

π/2х ≤ + π/2,

то равенство  arcsin (sin х) = х  справедливо. В противном же случае последнее равенство не имеет места. В нашем же случае

π/2 < 2 < π.

Применив формулу приведения получим

sin 2 = sin (π – 2).

Теперь уже угол  π – 2  удовлетворяет неравенствам

π/2 < π – 2 π/2,

и поэтому можно писать:

arcsin [sin (π – 2)] = π – 2.

Следовательно,

arcsin (sin 2) = π – 2.

ПРИМЕР:

Вычислить:

arcsin (sin 8π/7).

РЕШЕНИЕ:

 Число 8π/7   не принадлежит отрезку  [–π/2; π/2]. Поэтому заменим  sin 8π/7  синусом числа из отрезка  [–π/2; π/2]. Так как

sin 8π/7 = sin (π + π/7) =

sin π/7 = sin (–π/7)  то

arcsin (sin 8π/7) = –π/7.
0 ≤ хπ

ПРИМЕР:

Вычислить:

arccos (cos 9π/8).

РЕШЕНИЕ:

Число  9π/8  не принадлежит отрезку  [0; π]. Поэтому нужно найти на отрезке  [0; π]  такое число, косинус которого равен  cos 9π/8. Так как

cos (π + β) = cos (πβ), то

cos 9π/8 = 7π/8, где  0 ≤ 7π/8π. Поэтому

 arccos(cos 9π/8) = arccos(cos 7π/8) = 7π/8.

ПРИМЕР:

Вычислить:

arccos (cos 6).

РЕШЕНИЕ:

Так как  3π/2 < 6 < 2π, то 

2π  < 6 < 3π/2  и 

0 < 2π  6 < π/2,

cos(2π  6) = cos 6.

Поэтому

arccos (cos 6) = arccos (cos (2π  6)) = 2π  6.
π/2 < х < + π/2.

ПРИМЕР:

Вычислить:

arctg(tg 5π/8).

РЕШЕНИЕ:

Так как  tg 5π/8 = – tg 3π/8 =

= tg (3π/8и

π/2 < 3π/8 < π/2  то

 arctg(tg 5π/8) = 3π/8.
0 < х < π.

ПРИМЕР:

Вычислить:

arcctg [ctg(–π/5)].

РЕШЕНИЕ:

Так как  

сtg (–π/5) = –сtg π/5 = сtg 4π/5  и

0 < 4π/5 < π  то

 arсctg[ctg(–π/5)] = 4π/5.
Рассмотрим функцию

у = sin(2 arcsin х).

Обозначив  arcsin х  через α, будем иметь

sin 2α = 2 sin α cos α,

откуда

sin (2 arcsin x) =

= 2 sin(arcsin x) cos (arcsin x) =
|х| ≤ 1.

ПРИМЕР:

sin (2 arcsin (–1/2)) =
Имеем:

cos (2 arccos x) =

= cos2 (arccos x) – sin2 (arccos x) =

= x2 – (1 – x2) = 2x2 – 1.

ПРИМЕР:

соs (2 arcсоs 3/5) =

= 2(3/5)2 – 1 =

= 18/25 – 1 = –7/25.
ПРИМЕР:

tg (2 аrctg 2) =
ПРИМЕР:

соs (1/2 arcсоs 1/2) =
Формулы сложения и вычитания для обратных тригонометрических функций.

ПРИМЕР:

Найти значение выражения 
РЕШЕНИЕ:

Так как
то, применяя формулу
получим
ПРИМЕР:

Найти значение выражения

arctg 1/3 + arctg 1/5 + arctg 1/7 + arctg 1/8.

РЕШЕНИЕ:

Учитывая, что

1/3 1/5 < 1  и  1/7 1/8 < 1,

произведём, согласно формуле
сложение:

arctg 1/3 + arctg 1/5 =
arctg 1/7 + arctg 1/8 =
Тогда

arctg 4/7 + arctg 3/11 =
(4/7 3/11< 1).
Формулы удвоения для обратных тригонометрических функций.
 
Формулы, которые надо запомнить.
Задания к уроку 28

ДРУГИЕ УРОКИ

Комментариев нет:

Отправить комментарий