Урок 28. Основные тождества обратных тригонометрических функций

ВИДЕО УРОК

Каково бы ни было число  х, по абсолютной величине меньшее или равное единице, имеем:

Пусть

arcsin x = α.

Из этого равенства следует, что

sin α = x  и  – ^π/₂ ≤ α ≤ ^π/₂.

Но  cos (^π/₂ – α)  также равен  х, так как

cos (^π/₂ – α) = sin α.

На основании этого имеем:

cos (^π/₂ – α) = x.

Но  –α  заключено в том же промежутке, что и  α:

– ^π/₂ ≤ –α ≤ ^π/₂.

Прибавляя по  ^π/₂  ко всем членам этого соотношения, получим

0 ≤  ^π/₂ – α ≤ π.

Из соотношений 

cos (^π/₂ – α) = x, 

0 ≤  ^π/₂ – α ≤ π 

следует, что

arccos x = ^π/₂ – α.

Складывая почленно равенства

arcsin x = α, 

arccos x = ^π/₂ – α,

получим:

arcsin x + arccos x = ^π/₂,

что и требовалось доказать.

Каково бы ни было число  х, имеем:

Полагая

arctg x = α,

находим:

tg α = x  и  – ^π/₂ < α < ^π/₂.

Но  ctg (^π/₂ – α)  также равен  х, так как

ctg (^π/₂ – α) = tg α.

Из неравенства

– ^π/₂ < α < ^π/₂

следует:

0 ≤  ^π/₂ – α ≤ π,

а так как котангенс угла  ^π/₂ – α  равен  х, то имеем:

arcсtg x = ^π/₂ – α.

Складывая равенства

arctg x = α, 

arcctg x = ^π/₂ – α ,

получим:

arctg x + arcctg x = ^π/₂,

Основные соотношения для обратных тригонометрических функций.

–1 ≤ х ≤ +1.

ПРИМЕРЫ:

sin (arcsin ¹/₂) = ¹/₂.

sin (arcsin 1) = 1.

ПРИМЕР:

Нельзя писать

sin (arcsin 1,2) = 1,2,

ибо выражение  arcsin 1,2  не имеет смысла.

–1 ≤ х ≤ +1.

ПРИМЕР:

cos [arccos (–0,79)] = –0,79.

–∞ < х < +∞.

ПРИМЕР:

tg (arctg 123) = 123.

–∞ < х < +∞.

ПРИМЕР:

ctg [arcctg (–798)] = –798.

– ^π/₂ ≤ х ≤ + ^π/₂.

ПРИМЕР:

Найти

arcsin (sin 2).

РЕШЕНИЕ:

Требуется найти угол, лежащий в пределах от  – ^π/₂ < до < ^π/₂, синус которого равен  sin 2. Заметим, что если угол  х  удовлетворяет неравенствам

– ^π/₂ ≤ х ≤ + ^π/₂,

то равенство  arcsin (sin х) = х  справедливо. В противном же случае последнее равенство не имеет места. В нашем же случае

^π/₂ < 2 < π.

Применив формулу приведения получим

sin 2 = sin (π – 2).

Теперь уже угол  π – 2  удовлетворяет неравенствам

– ^π/₂ < π – 2 ≤  ^π/₂,

и поэтому можно писать:

arcsin [sin (π – 2)] = π – 2.

Следовательно,

arcsin (sin 2) = π – 2.

ПРИМЕР:

Вычислить:

arcsin (sin ^8π/₇).

РЕШЕНИЕ:

 Число ^8π/₇   не принадлежит отрезку  [–^π/₂; ^π/₂]. Поэтому заменим  sin ^8π/₇  синусом числа из отрезка  [–^π/₂; ^π/₂]. Так как

sin ^8π/₇ = sin (π + ^π/₇) =

– sin ^π/₇ = sin (–^π/₇)  то

arcsin (sin ^8π/₇) = –^π/₇.

0 ≤ х ≤ π

ПРИМЕР:

Вычислить:

arccos (cos ^9π/₈).

РЕШЕНИЕ:

Число  ^9π/₈  не принадлежит отрезку  [0; π]. Поэтому нужно найти на отрезке  [0; π]  такое число, косинус которого равен  cos ^9π/₈. Так как

cos (π + β) = cos (π – β), то

cos ^9π/₈ = ^7π/₈, где  0 ≤ ^7π/₈ ≤ π. Поэтому

 arccos(cos ^9π/₈) = arccos(cos ^7π/₈) = ^7π/₈.

ПРИМЕР:

Вычислить:

arccos (cos 6).

РЕШЕНИЕ:

Так как  ^3π/₂ < 6 < 2π, то 

–2π  < –6 < –^3π/₂  и 

0 < 2π  – 6 < ^π/₂,

cos(2π  – 6) = cos 6.

Поэтому

arccos (cos 6) = arccos (cos (2π  – 6)) = 2π  – 6.

– ^π/₂ < х < + ^π/_2.

ПРИМЕР:

Вычислить:

arctg(tg ^5π/₈).

РЕШЕНИЕ:

Так как  tg ^5π/₈ = – tg ^3π/₈ =

= tg (–^3π/₈)  и

– ^π/₂ < –^3π/₈ < ^π/₂  то

 arctg(tg ^5π/₈) = –^3π/₈.

0 < х < π.

ПРИМЕР:

Вычислить:

arcctg [ctg(–^π/₅)].

РЕШЕНИЕ:

Так как  

сtg (–^π/₅) = –сtg ^π/₅ = сtg ^4π/₅  и

0 < ^4π/₅ < π  то

 arсctg[ctg(–^π/₅)] = ^4π/₅.

Рассмотрим функцию

у = sin(2 arcsin х).

Обозначив  arcsin х  через α, будем иметь

sin 2α = 2 sin α cos α,

откуда

sin (2 arcsin x) =

= 2 sin(arcsin x) cos (arcsin x) =

|х| ≤ 1.

ПРИМЕР:

sin (2 arcsin (–¹/₂)) =

Имеем:

cos (2 arccos x) =

= cos² (arccos x) – sin² (arccos x) =

= x² – (1 – x²) = 2x² – 1.

ПРИМЕР:

соs (2 arcсоs ³/₅) =

= 2(³/₅)² – 1 =

= ¹⁸/₂₅ – 1 = –⁷/₂₅.

ПРИМЕР:

tg (2 аrctg 2) =

ПРИМЕР:

соs (¹/₂ arcсоs ¹/₂) =

Формулы сложения и вычитания для обратных тригонометрических функций.

ПРИМЕР:

Найти значение выражения 

РЕШЕНИЕ:

Так как

то, применяя формулу

получим

ПРИМЕР:

Найти значение выражения

arctg ¹/₃ + arctg ¹/₅ + arctg ¹/₇ + arctg ¹/₈.

РЕШЕНИЕ:

Учитывая, что

¹/₃ ∙ ¹/₅ < 1  и  ¹/₇ ∙ ¹/₈ < 1,

произведём, согласно формуле

сложение:

arctg ¹/₃ + arctg ¹/₅ =

arctg ¹/₇ + arctg ¹/₈ =

Тогда

arctg ⁴/₇ + arctg ³/₁₁ =

(⁴/₇ ∙ ³/₁₁< 1).

Формулы удвоения для обратных тригонометрических функций.

 Формулы, которые надо запомнить.

Задания к уроку 28

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

• Урок 1. Градусное измерение угловых величин
• Урок 2. Радианное измерение угловых величин
• Урок 3. Основные тригонометрические функции
• Урок 4. Натуральные тригонометрические таблицы
• Урок 5. Периодичность тригонометрических функций
• Урок 6. Область определения и область значения тригонометрических функций
• Урок 7. Знаки тригонометрических функций
• Урок 8. Чётность и нечётность тригонометрических функций
• Урок 9. Тригонометрические функции некоторых углов
• Урок 10. Построение угла по данному значению его тригонометрической функции
• Урок 11. Основные тригонометрические тождества
• Урок 12. Выражение всех тригонометрических функций через одну из них
• Урок 13. Решение прямоугольных и равнобедренных треугольников с помощью тригонометрических функций
• Урок 14. Теорема синусов
• Урок 15. Теорема косинусов
• Урок 16. Решение косоугольных треугольников
• Урок 17. Примеры решения задач по планиметрии с применением тригонометрии
• Урок 18. Решение практических задач с помощью тригонометрии
• Урок 19. Формулы приведения (1)
• Урок 20. Формулы приведения (2)
• Урок 21. Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций
• Урок 22. Формулы двойных и тройных углов (аргументов)
• Урок 23. Формулы половинного аргумента
• Урок 24. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение  
• Урок 25. Графики функций  y = sin x и y = cos x
• Урок 26. Графики функций y = tg x и y = ctg x
• Урок 27. Обратные тригонометрические функции
• Урок 29. Выражение одной из аркфункций через другие
• Урок 30. Графики обратных тригонометрических функций
• Урок 31. Построение графиков тригонометрических функций методом геометрических преобразований