Урок 7. Знаки тригонометрических функций

ВИДЕО УРОК

Длина радиуса-вектора

всегда число положительное. Проекции его на координатные оси – величины алгебраические и в зависимости от координатных четвертей имеют следующие знаки:

в  I  четверти    а_х > 0;    а_у > 0;

во  II  четверти    а_х < 0;    а_у > 0;

в  III  четверти    а_х < 0;    а_у < 0;

в  IV  четверти    а_х > 0;    а_у < 0.

Функция  sin α.

В силу того, что для тригонометрической функции  sin α  число  2π (или 360°)  является периодом, достаточно исследовать знаки этой функции на каком-нибудь промежутке изменения  α  длиной  2π, например для значений  α  от  0  до  2π;

0 ≤ α < 2π (0° ≤ α < 360°).

Если угол  α  заключён между  0  и  π (0°  и  180°), то ордината  у  конца  М  подвижного радиуса  ОМ  единичной окружности положительна, а следовательно, и синус угла  α, составленного с осью  Ох  этим радиусом, положителен. На чертеже

показано несколько положений подвижного радиуса:

ОМ₁, ОМ₂, … , ОМ₅.

Если же угол  α  заключён между  π  и  2π (180°  и  360°), то ордината  у  конца  М  подвижного радиуса  ОМ  отрицательна,

а следовательно, и  sin α  на этом промежутке отрицательный.

Теперь, пользуясь равенством

sin (α + 2kπ) = sin α,

получаем заключение о знаке синуса для любых значений  α:

1)  если  2kπ < α < π + 2kπ, то

sin α ˃ 0,

2)  если  π + 2kπ < α < 2π + 2kπ, то

sin α < 0.

Соответственно тригонометрическая функция имеет знаки, указанные на рисунку.

ПРИМЕР:

Определите знак тригонометрической функции:

sin ^3π/₄.

РЕШЕНИЕ:

sin ^3π/₄. = sin (3 ∙ ¹⁸⁰°/₄) = sin 135°.

Поскольку  

135° ∈ [90°, 180°],

это угол из  II  координатной четверти.

Синус во  II  четверти положителен, поэтому

sin ^3π/₄ ˃ 0.

Функция  cos α.

Исследуем знаки  cos α  также на промежутке изменения α  от  0  до  2π (от  0°  до  360°).

Если угол  α  заключён между  0  и  ^π/₂ (0°  и  90°), то абсцисса  х  конца  М  подвижного радиуса  ОМ  единичной окружности положительна,

а следовательно, и косинус угла  α, составленного с осью  Ох  этим радиусом  ОМ, – положительный.
Если угол  α  заключён между  ^π/₂  и  ^3π/₂ (90°  и  270°), то абсцисса  точки  М  отрицательна, а следовательно, и  cos α – отрицательный.

Если же угол  α  заключён между  ^3π/₂  и  2π (270°  и  360°), то как видно из чертежа

cos α – положительный.

Пользуясь равенством

cos (α + 2kπ) = cos α,

получаем

1)  если  2kπ ≤ α < ^π/₂ + 2kπ, то

cos α ˃ 0,

2)  если  ^π/₂ + 2kπ < α < ^3π/₂ + 2kπ, то

cos α < 0,

3)  если  ^3π/₂ + 2kπ < α < 2π + 2kπ, то

cos α ˃ 0.

Соответственно тригонометрическая функция имеет знаки, указанные на рисунку.

ПРИМЕР:

Определите знак тригонометрической функции:

cos ^7π/₆.

РЕШЕНИЕ:

cos ^7π/₆. = cos (7 ∙ ¹⁸⁰°/₆) = cos 210°.

Поскольку  

210° ∈ [180°, 270°],

это угол из  III  координатной четверти.

Косинус  в  III  четверти отрицателен, поэтому

cos ^7π/₆ < 0.

Функция  tg α.

Так как периодом функций  tg α  и  сtg α  является  π (или  180°), исследуем знаки  tg α  и  сtg α  при изменении  α  от  0  до  π (от  0°  до  180°). Если угол оканчивается в  I  четверти (0 < α < ^π/₂  или  0° < α < 90°), то продолжение подвижного радиуса  ОМ  единичной окружности, образующего с осью  Ох  угол  α, пересечёт ось тангенсов в точке  Т,

ордината которой положительна. Это означает, что тангенсы углов, оканчивающихся в  I  четверти – положительны.
Если же угол  α  оканчивается во  II  четверти (^π/₂ < α < π или  90° < α < 180°), то продолжение подвижного радиуса  ОМ  единичной окружности, образующего с осью  Ох  угол  α, пересечёт ось тангенсов в точке  Т,

ордината которой отрицательна. Следовательно, тангенсы углов, оканчивающиеся во  II  четверти, отрицательны.

В силу периодичности функции  tg α  имеем, что тангенсы углов, оканчивающихся в  III  четверти, положительны, а в  IV  четверти – отрицательны.

И вообще, так как

tg (α + kπ) = tg α,

имеем:

1)  если  kπ < α < kπ + ^π/₂, то

tg α ˃ 0,

2)  если  kπ + ^π/₂ < α < kπ + π, то

tg α < 0.

где  k – любое целое число.

Соответственно тригонометрическая функция  tg α  имеет знаки, указанные на рисунку.

ПРИМЕР:

Определить, какой знак имеет выражение:

tg 2.

РЕШЕНИЕ:

Так как  ^π/₂ < 2 < π, то угол  2 рад  будет углом  II  четверти, поэтому

tg 2 < 0.

ОТВЕТ:  Знак  –

Функция  сtg α.

Аналогично приходим к выводу:

если  0 < α < ^π/₂, то

сtg α ˃ 0,

если  ^π/₂ < α < π, то
сtg α < 0,

если  π < α < ^3π/₂, то

сtg α ˃ 0,

если  ^3π/₂ < α < 2π , то

сtg α < 0.

И вообще:

1)  если  kπ < α < ^π/₂ + kπ,  то

сtg α ˃ 0,

2)  если  kπ + ^π/₂ < α < kπ + π, то

сtg α < 0.

где  k – любое целое число.

Соответственно тригонометрическая функция  сtg α  имеет знаки, указанные на рисунку.

ПРИМЕР:

Определите знак тригонометрической функции:

сtg ^5π/₃.

РЕШЕНИЕ:

сtg ^5π/₃ = сtg (5 ∙ ¹⁸⁰°/₃) = сtg 300°.

Поскольку  

300° ∈ [270°, 360°],

это угол из  IV  координатной четверти.

Котангенс  в  IV  четверти отрицателен, поэтому

сtg ^5π/₃ < 0.

ПРИМЕР:

Определите знак выражения:

sin ^3π/₄ ∙ cos ^5π/₆.

РЕШЕНИЕ:

sin ^3π/₄ ∙ cos ^5π/₆ =

sin (3 ∙ ¹⁸⁰°/₄) ∙ cos (5 ∙ ¹⁸⁰°/₆) =

sin 135° ∙ cos 150°.

Разберёмся с синусом. Так как  

135° ∈ [90°, 180°],

это угол из  II  координатной четверти.

Синус во  II  четверти положителен, поэтому

sin ^3π/₄ ˃ 0.

Разберёмся с косинусом. Так как  

150° ∈ [90°, 180°],

это угол из  II  координатной четверти.

Косинус во  II  четверти отрицателен, поэтому

cos ^5π/₆ < 0.

Получили произведение, в котором множители разных знаков.

Пользуясь правилом

<<плюс на минус даёт знак минус>>,

получаем

sin ^3π/₄ ∙ cos ^5π/₆ < 0.

ПРИМЕР:

Определите знак выражения:

cos ^2π/₃ ∙ tg ^π/₄.

РЕШЕНИЕ:

cos ^2π/₃ ∙ tg ^π/₄ =

cos (2 ∙ ¹⁸⁰°/₃) ∙ tg (¹⁸⁰°/₄) =

cos 120° ∙ tg 45°.

Разберёмся с косинусом. Так как  

120° ∈ [90°, 180°],

это угол из  II  координатной четверти.

Косинус во  II  четверти отрицателен, поэтому

cos ^2π/₃ < 0.

Разберёмся с тангенсом. Так как  

45° ∈ [0°, 90°],

это угол из  I  координатной четверти.

Тангенс в  I  четверти положителен, поэтому

tg ^π/₄ ˃ 0.

Получили произведение, в котором множители разных знаков. Пользуясь правилом

<<минус на плюс даёт минус>>,

получаем

cos ^2π/₃ ∙ tg ^π/₄ < 0.

ПРИМЕР:

Определите знак выражения:

sin ^5π/₆ ∙ cos ^7π/₄.

РЕШЕНИЕ:

sin ^5π/₆ ∙ cos ^7π/₄ =

sin (5 ∙ ¹⁸⁰°/₆) ∙ cos (7 ∙ ¹⁸⁰°/₄) =

sin 150° ∙ cos 315°.

Разберёмся с синусом. Так как  

150° ∈ [90°, 180°],

это угол из  II  координатной четверти.

Синус во  II  четверти положителен, поэтому

sin ^5π/₆ ˃ 0.

Разберёмся с косинусом. Так как  

315° ∈ [270°, 360°],

это угол из  IV  координатной четверти.

Косинус в  IV  четверти положителен, поэтому

cos ^5π/₆ < 0.

Получили произведение, в котором множители одного знака.

Пользуясь правилом

<<плюс на плюс даёт знак плюс>>,

получаем

sin ^5π/₆ ∙ cos ^7π/₄  ˃ 0.

ПРИМЕР:

Определите знак выражения:

tg ^3π/₄ ∙ cos ^5π/₃.

РЕШЕНИЕ:

tg ^3π/₄ ∙ cos ^5π/₃ =

tg (3 ∙ ¹⁸⁰°/₄) ∙ cos (5 ∙ ¹⁸⁰°/₃) =

tg 135° ∙ cos 300°.

Разберёмся с тангенсом. Так как  

135° ∈ [90°, 180°],

это угол из  II  координатной четверти.

Тангенс во  II  четверти отрицателен, поэтому

tg ^3π/₄ < 0.

Разберёмся с косинусом. Так как  

300° ∈ [270°, 360°],

это угол из  IV  координатной четверти.

Косинус в  IV  четверти положителен, поэтому

cos ^5π/₃ ˃ 0.

Получили произведение, в котором множители разных знаков. Пользуясь правилом

<<минус на плюс даёт минус>>,

получаем

tg ^3π/₄ ∙ cos ^5π/₃ < 0.

ПРИМЕР:

Определите знак выражения:

сtg ^4π/₃ ∙ tg ^π/₆.

РЕШЕНИЕ:

сtg ^4π/₃ ∙ tg ^π/₆ =

сtg (4 ∙ ¹⁸⁰°/₃) ∙ tg (¹⁸⁰°/₆) =

сtg 240° ∙ tg 30°.

Разберёмся с котангенсом. Так как  

240° ∈ [180°, 270°],

это угол из  III  координатной четверти.

Котангенс в  III  четверти положителен, поэтому

сtg ^4π/₃ ˃ 0.

Разберёмся с тангенсом. Так как  

30° ∈ [0°, 90°],

это угол из  I  координатной четверти.

Тангенс в  I  четверти положителен, поэтому

tg ^π/₆ ˃ 0.

Получили произведение, в котором множители одинаковых знаков. Пользуясь правилом

<<плюс на плюс даёт плюс>>,

получаем

сtg ^4π/₃ ∙ tg ^π/₆  ˃ 0.

ПРИМЕР:

Определите знак выражения:

cos 123° × tg 231° × sin 312°.

РЕШЕНИЕ:

Так как

123° – угол  II  четверти,

231° – угол  III  четверти,

312° – угол  IV  четверти, то 

cos 123° < 0, tg 231° ˃ 0, sin 312° < 0 

и их произведение будет величиной положительной, то есть

cos 123° × tg 231° × sin 312° ˃ 0.

ОТВЕТ: 

Знак  +

Задания к уроку 7

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

• Урок 1. Градусное измерение угловых величин
• Урок 2. Радианное измерение угловых величин
• Урок 3. Основные тригонометрические функции
• Урок 4. Натуральные тригонометрические таблицы
• Урок 5. Периодичность тригонометрических функций
• Урок 6. Область определения и область значения тригонометрических функций
• Урок 8. Чётность и нечётность тригонометрических функций
• Урок 9. Тригонометрические функции некоторых углов
• Урок 10. Построение угла по данному значению его тригонометрической функции
• Урок 11. Основные тригонометрические тождества
• Урок 12. Выражение всех тригонометрических функций через одну из них
• Урок 13. Решение прямоугольных и равнобедренных треугольников с помощью тригонометрических функций
• Урок 14. Теорема синусов
• Урок 15. Теорема косинусов
• Урок 16. Решение косоугольных треугольников
• Урок 17. Примеры решения задач по планиметрии с применением тригонометрии
• Урок 18. Решение практических задач с помощью тригонометрии
• Урок 19. Формулы приведения (1)
• Урок 20. Формулы приведения (2)
• Урок 21. Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций
• Урок 22. Формулы двойных и тройных углов (аргументов)
• Урок 23. Формулы половинного аргумента
• Урок 24. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение  
• Урок 25. Графики функций  y = sin x и y = cos x
• Урок 26. Графики функций y = tg x и y = ctg x
• Урок 27. Обратные тригонометрические функции
• Урок 28. Основные тождества обратных тригонометрических функций
• Урок 29. Выражение одной из аркфункций через другие
• Урок 30. Графики обратных тригонометрических функций
• Урок 31. Построение графиков тригонометрических функций методом геометрических преобразований