суббота, 28 августа 2021 г.

Урок 3. Основные тригонометрические функции

ВИДЕО УРОК

Тригонометрические функции любого аргумента.

Введём прямоугольную систему координат  хОу. Оси координат делят всю плоскость на четыре части. Эти части называются четвертями. Четверть, в которой обе координаты положительны, называется первой четвертью. Далее нумерация идёт против часовой стрелки, то есть:

во второй четверти  х < 0, у ˃ 0,

в третьей четверти  х < 0, у ˃ 0,

в четвёртой четверти  х ˃ 0, у < 0.
Точки, лежащие на самих осях, не будем относить ни к какой четверти.

Назовём подвижным радиусом отрезок  ОМ, началом которого является начало координат, а концом – произвольная точка плоскости  М(х, у).

Будем рассматривать всякий угол  α  как поворот от оси  Ох  до некоторого подвижного радиуса и будем говорить, что подвижной радиуса  ОМ  составляет (образует) с осью  Ох  угол  α.

В зависимости от того, в какой четверти будет находиться конец  М подвижного радиуса  ОМ, образующего с осью  Ох  угол  α, будем говорить, что угол  α  оканчивается в соответствующей четверти. Так, если конец  М  подвижного радиуса лежит в  I  четверти, угол  α  оканчивается в  I  четверти, если конец подвижного радиуса лежит во  II  четверти, угол  α  оканчивается во  II  четверти и так далее. На чертеже
конец  М  подвижного радиуса лежит в  III  четверти, мы говорим, что угол  α  оканчивается в  III  четверти.

Углы, кратные  π/2, не оканчиваются ни в какой четверти.

Тригонометрические функции угла  α.

Синусом угла  α, образованного осью  Ох  и произвольным радиусом-вектором
называется отношение проекции этого вектора на ось  Оу  к его длине:
Косинусом угла  α, образованного осью  Ох  и произвольным радиусом-вектором
называется отношение проекции этого вектора на ось  Ох  к его длине:
Тангенсом угла  α, образованного осью  Ох  и произвольным радиусом-вектором
называется отношение проекции этого вектора на ось  Оу  к его проекции на ось  Ох:
Котангенсом угла  α, образованного осью  Ох  и произвольным радиусом-вектором
называется отношение проекции этого вектора на ось  Ох  к его проекции на ось  Оу:
Кроме перечисленных четырёх функций, иногда рассматриваются ещё две тригонометрические функции.
 Секансом угла  α, образованного осью  Ох  и произвольным радиусом-вектором
называется отношение длины этого вектора к его проекции на ось  Ох:
Косекансом угла  α, образованного осью  Ох  и произвольным радиусом-вектором
называется отношение длины этого вектора к его проекции на ось  Оу:
Из сравнения функций  sec α  и  cosec α  соответственно с функциями  cos α  и  sin α  заключаем, что
Функции  sec α  и  cosec α  при решении задач применяются значительно реже, чем первые четыре тригонометрические функции, а потому в дальнейшем в основном изучаются лишь функции

sin α, cos α, tg α, ctg α.

На чертеже
видно, что отношения
не зависят от выбора длины подвижного радиуса.

В самом деле, пусть  М' – любая точка, лежащая на подвижном радиусе  ОМ  или на его продолжении за точку  М.

Тогда из подобия треугольников

ОМР  и  ОМ'М'

где  х', у' – координаты точки  М', а  М' – длина подвижного радиуса  ОМ'.

Таким образом

sin α, cos α, tg α, ctg α

определяются углом  α. Их значения не зависят от длины подвижного радиуса.

Поэтому

sin α, cos α, tg α, ctg α

называются тригонометрическими функциями угла  α.

В записях  sin α, cos α  и так далее под  α  можно понимать угол  α  и дугу  α. Термины <<угол>> и <<дуга>> в выражениях тригонометрических функций равносильны.

Тригонометрические функции можно рассматривать и как функции числа  α.

Тригонометрической функцией числа  α  будем называть тригонометрическую функцию угла в  α  радианов.

В частности, когда под знаком тригонометрической функции стоят выражения, представляющие собою, например, степень аргумента (sin2 α, tg3 α и тому подобное), то в этом случае мы имеем дело именно с тригонометрической функцией числа, так как углы, рассматриваемые как геометрические образы, нельзя возводить в степень.

В дальнейшем аргумент тригонометрических функций мы нередко будем называть углом или дугой, подразумевая, однако, под этими терминами не самый угол или дугу, а число, их измеряющее.

В тригонометрических функциях значок градусов пишется всегда.

Например, sin 35°. Это синус  35 градусов.

А значок радианов (рад) – не пишется! Он подразумевается. Если внутри синуса – котангенса нет никаких значков, то угол – в радианах!

Например, cos 3 – это косинус трёх радианов.

Единичная окружность.

Назовём единичной окружностью окружность радиуса единица с центром в начале координат.
Для удобства принимают длину радиуса-вектора равной единице, то есть
В этом случае
Окружность, описанную концом  А  радиуса-вектора
называют единичной.
 Точки  Е1  и  Е2, в которых единичная окружность пересекает положительные полуоси координат, назовём единичными точками.
Единичная точка  Е1  имеет координаты  х = 1, у = 0, а единичная точка  Е2  имеет координаты  х = 0, у = 1.

Касательную к единичной окружности в единичной точке  Е1(1,0)  назовём осью тангенсов, а касательную к единичной окружности в единичной точке  Е2(0,1)  назовём осью котангенсов.

Если конец  М  подвижного радиуса  ОМ  выбрать на единичной окружности, то длина  ОМ = r  подвижного радиуса будет равна единице, а потому

sin α = у/1 = у, то есть

Синус угла  α, образованного с осью  Ох  подвижным радиусом  ОМ  единичной окружности, есть ордината конца этого радиуса.
Из того же чертежа имеем:

соs α = х/1 = х, то есть

Косинус угла  α, образованного с осью  Ох  подвижным радиусом  ОМ  единичной окружности, есть абсцисса конца этого радиуса.
Если конец  М  подвижного радиуса выбрать на оси тангенсов, то абсцисса  х  точки  М  будет равна единице, а потому

tg α = у/1 = у, то есть

Тангенс угла  α, образованного с осью  Ох  подвижным радиусом, есть ордината  у  точки  М  пересечения продолжения этого радиуса с осью тангенсов.
Если конец  М  подвижного радиуса выбрать на оси котангенсов, то ордината  у  точки  М  будет равна единице, а потому

сtg α = х/1 = х, то есть

Котангенс угла  α, образованного с осью  Ох  подвижным радиусом, есть абсцисса  х  точки  М  пересечения продолжения этого радиуса с осью котангенсов.
На чертеже
Показаны тригонометрические функции угла  α  в  I  четверти единичной окружности.
 Если не указано, сколько оборотов совершил вектор
вокруг точки  О  в плоскости  хОу, то положение вектора определяет угол с точностью до целого оборота, то есть углу c начальной стороной  Ох  и конечной стороной
соответствует бесчисленное множество углов, которые выражаются формулой

360° ∙ n + α,

где  n = 0; ±1; ±2; ±3; ±4; …

для всех этих углов величины  ах, ау  и  а  остаются неизменными, то

sin (α + 360° ∙ n) = sin α;

cos (α + 360° ∙ n) = cos α;

tg (α + 360° ∙ n) = tg α;

ctg (α + 360° ∙ n) = ctg α;

sec (α + 360° ∙ n) = sec α;

cosec (α + 360° ∙ n) = cosec α.

Числовая окружность.

Пусть дана окружность радиуса  1. Поставим в соответствие каждому действительному числу  t  точку окружности по следующему правилу:

1) если  t = 0, то ему соответствует точка  А – правый конец горизонтального диаметра;

2) если  t ˃ 0, то, отправляясь из точки  А  в направление против часовой стрелки (положительное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длины  t. Конец этого пути и будет искомой точкой  М(t).
2) если  t < 0, то, отправляясь из точки  А  в направлении по часовой стрелке, опишем по окружности путь длины  |t|. Конец этого пути и будет искомой точкой  М(t).

Каждому действительному числу соответствует единственная точка окружности.

Единичную окружность с установленным соответствием называют числовой окружностью.

Если точка  М  соответствует числу  t, то она соответствует любому числу вида

t + 2πk,

где  2π – длина единичной окружности, а  k – целое число (k ∈ Z), показывающее количество полных обходов окружности в положительном или отрицательном направлении.

На рисунках
 представлены два основных макета числовой окружности.

ПРИМЕР:

Какое число больше ?

Или, что меньше ?

сos 4°

или

cos 4 ?

В самом первом синусе четко указано, что угол – в градусах! Стало быть, заменять "Пи" на 180° – нельзя! "Пи" градусов – это примерно 3,14°. Следовательно, можно записать:В самом первом синусе четко указано, что угол – в градусах! Стало быть, заменять "Пи" на 180° – нельзя! "Пи" градусов – это примерно 3,14°. Следовательно, можно записать:
Во втором синусе обозначений никаких нет. Значит, там – радианы! Вот здесь замена "Пи" на  180°  вполне правильна. Переводим радианы в градусы, как написано выше, получаем:
Осталось сравнить эти два синуса. С помощью тригонометрического круга. Рисуем круг, рисуем примерные углы в  60°  и  1,05°. Смотрим, какие синусы у этих углов. На круге (даже самом кривом!) будет чётко видно, что  sin 60°  существенно больше, чем  sin 1,05°.
 Совершенно аналогично поступим и с косинусами. На круге нарисуем углы примерно  4 градуса и  4 радиана (не забыли, чему примерно равен 1 радиан?). Конечно, cos 4  меньше  cos 4°.

Задания к уроку 3

ДРУГИЕ УРОКИ

Автор: на

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Подписаться на: Комментарии к сообщению (Atom)