Урок 4. Натуральные тригонометрические таблицы

пятница, 23 июля 2021 г.

Урок 4. Натуральные тригонометрические таблицы

ВИДЕО УРОК

При решении треугольников приходится находить значения тригонометрических функций заданных углов, а также отыскивать величины углов по имеющимся значениям тригонометрических функций этих углов. Обе эти задачи решаются с помощью таблиц значений тригонометрических функций, так называемых натуральных таблиц.

Как пользоваться таблицей Брадиса ?

Дадим краткое описание устройства таких таблиц, имеющихся в книге В. Брадиса <<Четырёхзначные математические таблицы>>, и объясним, как ими пользоваться. В книге В. Брадиса таблицы значений тригонометрических функций помещены под номерами VIII, IX, X.

С помощью таблицы VIII можно находить значения синусов и косинусов всех острых углов, содержащих целое число градусов и минут, а также решать обратную задачу, то есть отыскивать угол по данному значению его синуса или косинуса с точностью до одной минуты.

В этой таблице в первом слева столбце под буквой А (Arkus (аркус) – по латыни означает дуга) помещены числа градусов, содержащихся в угле, а в первой верхней строке указаны числа минут в угле.

Название <<синусы>> (вверху страницы) связано с первым левым столбцом таблицы и её первой верхней строкой. Это показано на изображённой здесь части рамки таблицы VIII.

Покажем на примерах, как пользоваться таблицами.

ПРИМЕР:

Найти sin 25°.

РЕШЕНИЕ:

На пересечении строки, начинающейся с 25°, и столбца с пометкой 0' читаем 4226.
Это – число десятитысячных. Число же целых (в данном случае 0) отмечено только в первой колонке каждого пятка строк. Поэтому имеем:

sin 25° ≈ 0,4226.

ОТВЕТ: sin 25° ≈ 0,4226

Здесь и в подобных случаях следует ставить знак ≈, так как таблицы дают вообще приближённые значения тригонометрических функций.

Так же просто находятся синусы углов, выражающихся целым числом градусов и числом минут, кратным 6.

ПРИМЕР:

Найти sin 25°42'.

РЕШЕНИЕ:

Это число находится на пересечении строки с пометкой 25° слева и столбца с пометкой 42' сверху.
ОТВЕТ: sin 25°42' ≈ 0,4337

Из рассмотренной таблицы значений синусов следует, что функция sin α при изменении угла α изменяется неравномерно. Но если угол α изменяется не более чем на 6', то можно допустить, что приращение значения sin α пропорционально приращению значения угла α, то есть применить так называемую линейную интерполяцию. Можно доказать, что ошибка в окончательном результате, происходящая благодаря такому допущению, менее 0,0001, а при отыскания значения угла α по данному значению sin α эта ошибка не превосходит угла в 1'.

Таким образом, по таблицам В. Брадиса мы можем вести вычисления с точностью до 4-го знака, а при отыскании угла – с точностью до угла в 1'.

Если нужна большая точность, то приходится обращаться к другим таблицам.

ПРИМЕР:

Найти sin 25°20'.

РЕШЕНИЕ:

Находим в таблице синусы углов ближайшего меньшего и ближайшего большего, чем данный угол.
Имеем:

sin 25°18' ≈ 0,4274,

sin 25°24' ≈ 0,4289.

Приращению угла на 6' соответствует табличная разность в

0,0015 (0,4289 – 0,4274),

а приращению угла в 2' соответствует приращение синуса, равное
Эту поправку в 0,0005 надо прибавить к значению синуса угла sin 25°18', так как большему углу, то есть углу sin 25°20', соответствует больший синус.
Поэтому получим:

ОТВЕТ: sin 25°20' ≈ 0,4279

В таблицах В. Брадиса имеются поправки для sin α, когда α изменяется на 1', 2' и 3'. Эти поправки даны числом единиц последнего разряда. Они помещены справа в последних трёх колонках таблицы.

В приведённом выше примере в колонке поправок под пометкой 2', в строке 25°, читаем 5. Это и есть та поправка, которую мы получили путём вычислений.

ПРИМЕР:

Найти sin 14°47'.

РЕШЕНИЕ:

В данном случае следует взять из таблицы синус ближайшего большого угла, то есть угла 14°48'.
Тогда имеем:

ПРИМЕР:

Найдите

sin 70°36ʹ.

РЕШЕНИЕ:

Находим число градусов в крайнем левом столбике таблицы, число минут – в верхней части таблицы. На пересечении соответствующей строки и столбика находим искомое число 0,9432.
ОТВЕТ:

sin 70°36ʹ = 0,9432.

ПРИМЕР:

Найдите

sin 74°55ʹ.

РЕШЕНИЕ:

В таблице находим синус угла, ближайшего к данному:

sin 74°54ʹ = 0,9655.

Потом в столбиках поправок (в правой части таблицы) находим поправку на 1ʹ. Эта поправка равняется 0,0001. Учитывая, что с ростом угла от 0° до 90° синус также растет, найденную поправку добавляем. Следовательно, имеем:

sin 74°55ʹ = 0,9655 + 0,0001 = 0,9656.

ОТВЕТ:

sin 74°55ʹ = 0,9656.

Точно также устроена таблица тангенсов углов от 0° до 76°. (таблица IX) и таков же порядок пользования ею.

В таблице тангенсов, начиная с 60°, число целых даётся для тангенса каждого угла.

Таблица значений косинусов углов от 0° до 90° (таблица VIII) построена так: название <<косинусы>> помещено внизу страницы. К этому названию относятся правый (4-й от края) столбец с буквой А внизу (столбец градусов) и нижняя строка с пометками минут. Это показано на изображённой части рамки таблицы VIII:

ПРИМЕР:

Найти cos 24°18'.

РЕШЕНИЕ:

Это число находится на пересечении строки с пометкой 24° справа и столбца с пометкой 18' снизу.
ОТВЕТ: cos 24°18' ≈ 0,9114

При отыскании косинусов углов, не содержащихся в таблице, вычисления ведутся несколько иначе, чем в случае нахождения синуса угла, так как косинус острого угла – функция убывающая. В силу этого при увеличении угла на 1', 2', 3' соответствующую поправку для косинуса следует вычитать из найденного в таблицах значения косинуса. Поясним это на примере.

ПРИМЕР:

Найти cos 40°25'.

РЕШЕНИЕ:

ПРИМЕР:

Найти cos 62°10'.

РЕШЕНИЕ:

В данном случае берём из таблицы косинус ближайшего большего угла, то есть угла 62°12'.
Тогда имеем:

ПРИМЕР:

Найдите

соs 16°12ʹ.

РЕШЕНИЕ:

Число градусов ищем в правой части таблице (в столбике А), число минут – в нижней части таблицы. На пересечении соответствующего рядка и столбика находим искомое число 0,9603.
ОТВЕТ:

соs 16°12ʹ = 0,9603.

ПРИМЕР:

Найдите

соs 18°50ʹ.

РЕШЕНИЕ:

За таблицами находим значение косинуса угла, ближайшего к данному углу.

соs 18°48ʹ = 0,9466.

В столбике поправок находим поправку на 2ʹ. Эта поправка равняется 0,0002. Учитывая, что с ростом аргумента от 0° до 90° значения косинуса спадают, найденную поправку надо отнять. Следовательно, имеем:

соs 18°50ʹ = 0,9466 – 0,0002 = 0,9464.

ОТВЕТ:

соs 18°50ʹ = 0,9464.

Точно так же, как таблица значений косинусов, построена таблица значений котангенсов углов от 14° до 90° (таблица IX). Таков же и порядок пользования ею.

Решение обратной задачи, то есть отыскание угла по заданному значению тригонометрической функции этого угла, производится с помощью тех же таблиц.

ПРИМЕР:

Найти угол α, если дано, что

sin α = 0,9037.

РЕШЕНИЕ:

аходим по таблицам число, наиболее близкое к данному,и соответствующий этому числу угол:

sin 64°36' ≈ 0,9033.

Данный синус на 4 единицы последнего разряда больше найденного в таблицах. Против поправки 4, стоящей в последней колонке строки 64°, вверху читаем 3'. На основании этого записываем:

Следовательно α = 64°39'.

ОТВЕТ: α = 64°39'

ПРИМЕР:

Найти угол α, если дано, что

соs α = 0,4501.

РЕШЕНИЕ:
Следовательно α = 63°15'.

ОТВЕТ: α = 63°15'

ПРИМЕР:

Найти угол α, если дано, что

tg α = 1,4542.

РЕШЕНИЕ:

В таблице IX наиболее близко к данному значению тангенса число 1,4550, большее числа 1,4542.

В таком случае имеем:

Следовательно α = 55°29'.

ОТВЕТ: α = 55°29'

Таблица X позволяет находить значения тангенсов углов от 76° до 89°59' и котангенсов от 0°1' до 14° непосредственно, без интерполяции (при изменении угла в указанных пределах линейная интерполяция вносит ошибку уже в 4-й знак, вот почему необходимо в этих случаях пользоваться таблицей X). Также с помощью этой таблицы решается и обратная задача – отыскание угла по заданному значению тангенса или котангенса этого угла.

ПРИМЕР:

Найти sin 1,2610.

РЕШЕНИЕ:

Пользуясь таблицей, находим градусное выражение угла, содержащего 1,2610 радиана. Это угол 72°15'.
Тогда имеем:

sin 1,2610 = sin 72°15' = 0,9524.

ПРИМЕР:

Найти sin 0,0419 и tg 0,0419.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

sin 0,0419 = sin 2°24' = 0,0419,

tg 0,0419 = tg 2°24' = 0,0419,

Результаты показывают, что угол 2°24' настолько мал, что синус и тангенс этого угла имеют одинаковые первые четыре десятичных знака с радианной мерой этого угла.

ПРИМЕР:

Дано:

соs х = 0,7600.

Найти в радианах угол х.

РЕШЕНИЕ:

Сначала находим по таблице, что х = 40°32', а затем по таблице

х = 0,7075.