Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

вторник, 17 февраля 2015 г.

Урок 14. Подобие равнобедренных треугольников

ВИДЕОУРОК
Две фигуры подобны, если каждой точке одной фигуры можно сопоставить точку другой фигуры так, что для любых двух точек  А  и  В  одной фигуры и сопоставимых им точек  А1  и  В1  другой фигуры выполняется условие
где  k – одно и то же положительное число для всех точек.
Число  k – коэффициент подобия фигур.

Признаки подобия равнобедренных треугольников.

Равнобедренные треугольники подобны, если они имеют

– по равному углу при основании;
– по равному углу при вершине.

Отношение периметров подобных равнобедренных треугольников равно отношению сходственных сторон (коэффициенту подобия):
Отношение площади подобных треугольников равно квадрату отношения соответствующих сторон (квадрату коэффициента подобности).

ЗАДАЧА:

Углы при основании первого равнобедренного треугольника равны углам при основании второго равнобедреного треугольника. Боковая сторона и основание первого треугольника равны соответственно  15 см  и  18 см, а высота второго треугольника, проведенная до основания, – 24 см. Найдите периметр второго треугольника.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж
АН = 18 : 2 = 9 (см),
Р1 : Р = В1Н1 : ВН =
= 24 : 12 = 2,

Р1 = 2Р = 

= 2 ∙ (15 + 15 + 18) = 96 (см).

ЗАДАЧА:

Середина боковой стороны равнобедренного треугольника удалена от его основания на  9 см. Найдите высоту треугольника, проведённую до его основания.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
Треугольники  ВDС  и  КLС – подобные.
BD = 2 ∙ 9 = 18 (см).

ЗАДАЧА:

Продолжение боковых сторон  АВ  и  СD  трапеции  АВСD  пересекаются в точке  Е. Большее основание  АD  трапеции равно     12 см,

АЕ = 15 см, ВЕ = 5 см.

Найдите меньшее основание трапеции.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  АВСD  (АВ ∥ ВС) – данная трапеция
АD = 12 см, АЕ = 5 см.
 ∆ ВЕС ~ ∆ АЕD,
ОТВЕТ:  4 см

ЗАДАЧА:

В треугольнику  АВС  известно, что 

АВ = ВС = 13 см,

АС = 10 см.

К окружности, вписанной в этот треугольник, проведена касательная, которая параллельна основанию  АС  и пересекает стороны  АВ  и  ВС  в точках  М  и  К  соответственно. Найдите площадь треугольника  МВК.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
Расстояние  FL  между параллельными прямыми  АС  и  МК  равно диаметру вписанной окружности. Найдём это расстояние.
 По формуле Герона
Из формулы  S = pr  найдём  r,
LF = 2r = 20/3 (см).

Найдём высоту  ВF  треугольника  АВС.

1/2 AC∙ BF = S = 60 (см2),

1/2∙ 10∙ BF = 60,

BF = 12 (см),

BL = BF – LF = 12 – 20/3 =

= 12 – 62/3 = 51/3 (см).

Так как  MK ∥ АC, то 

∆ ABC ~ ∆ MBK.

Откуда получим:
ОТВЕТ: 1123/27 см2.

ЗАДАЧА:

Две окружности с центрами  О1  и  О2, радиусы которых равны  10 см  и  16 см  соответственно, имеют внешнее касание в точке  С. Прямая, которая проходит через точку  С, пересекает окружность с центром  О1  в точке  А, а вторую окружность – в точке  В. Найдите хорды  АС  и  ВС, если  АВ = 39 см.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
Рассмотрим треугольники  САО1  и  СВО2. Они равнобедренные и

∠ О1СА = ∠ О2СВ.

Поэтому, 

∆ САО1 ~ ∆ СВО2.

Пусть  АС = х см.

Тогда ВС = (39 – х) см.
16х = 390 – 10х,

26х = 390, х = 15.

Поэтому, АС = 15 см,

ВС = 39 – 15 = 24 (см).

ОТВЕТ:  15 см, 24 см.

ЗАДАЧА:

Основание равнобедренного треугольника равно  40 см, а высота, проведнная до него, – 15 см. Найдите расстояние между точками касания окружности, вписанной в треугольник, с его боковыми сторонами.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  АВС – равнобедренный треугольник,
АС – его основание,

АС = 40 см,

ВР – высота треугольника, ВР = 15 см,

D, К  и  Р – точки касания вписанной окружности с центром  О  и с соответствующими сторонами треугольника.

АР = АС : 2 = 

= 40 : 2 = 20 (см).

Из прямоугольного треугольника  АРВ (∠ Р = 90°):
АО – биссектриса угла  А  треугольника  АВР. По свойству биссектрисы имеем:
5РО = 60 – 4РО,

9РО = 60, РО = 20/3 см.

ВО = 15 – 20/3 = 25/3 (см).

Из прямоугольного треугольника  ОDВ (∠ D = 90°)  имеем:

ВО = 25/3 см,

ОD = ОР = 20/3 см,
Аналогично  ВК = 5 см. Поэтому,

∆ АВС ~ ∆ DВК.

Откуда получим:

АВ : АС = DВ : DК,

25 : 40 = 5 : DК,

DК = 40 ∙ 5 : 25,

DК = 8 (см).

ОТВЕТ:  8 (см)

ЗАДАЧА:

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна  40 см, а высота, проведённая до основания, – 4√͞͞͞͞͞91 см. Найдите расстояние между точками пересечения биссектрис углов при основании треугольника с его боковыми сторонами.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  АВС – заданный равнобедренный треугольник.
АВ = ВС = 40 см, 
ВЕ – его высота,

ВЕ = 4√͞͞͞͞͞91 см,

О – точка пересечения биссектрис 

АL  и  СК.

Из прямоугольного треугольника  АЕВ (∠ Е = 90°) получим:
По свойству биссектрисы треугольника имеем:
Тогда

ВL = 5/8 ВС = 25 (см).

Аналогично  ВК = 25 см. Треугольники  КВL  и  АВС – равнобедренные так как имеют общий угол при вершине. Поэтому,

∆ КВL ~ ∆ АВС.

Тогда
ОТВЕТ:  15 см

ЗАДАЧА:

Диагонали равнобедренной трапеции являются биссектрисами её гострых углов и точкой пересечения делятся ву отношении  5 : 13. Найдите площадь трапеции, если её высота равна  9 см.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  АВСD (ВС ∥ АD, ВС < АD) – данная трапеция.
АВ = СD,

ВF = СК = 9 см – её высоты.

 Диагональ  АС – биссектриса угла  ВАD, поэтому

∠ ВАС = ∠ САD,

∠ САD = ∠ АСВ

как внутренние разносторонние для параллельных прямых  ВС  и  АD  и касательной  АС. Откуда 

∠ ВАС = ∠ АСВ.

Поэтому, ∆ АВС – равнобедренный,

ВС = АВ.

Откуда

АВ = ВС = СD.

Если  О – точка пересечения диагоналей, то по условию

ВО : ОО = 5 : 13.

∆ BOC ~ ∆ DOA  по двум углам. Тогда
Пусть  BC = 5x, тогда  AD = 13x.

Поэтому  AB = CD = 5x.

 Так как  BF  и  CK – высоты,то  BC = FK,
Из  ∆ АFВ (∠ F = 90°):

BF2 = AB2 – AF2,

81 = 25x2 – 16x2,

81 = 9x2, x = 3.

BC = 5 ∙ 3 = 25 (см),

AD = 13 ∙ 3 = 39 (см).
ОТВЕТ:  243 см2

Задания к уроку 14
Другие уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий