Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

среда, 24 июня 2015 г.

Урок 9. Деление с остатком

ВИДЕО УРОК
Деление натуральных чисел нацело не всегда возможно.

ПРИМЕР:

Нельзя разделить  30  на  7, ибо нет такого натурального числа, которое при умножение на  7  давало бы  30.

Как видим, разделить  30  на  7  в указанном выше смысле невозможно. Но в жизни встречаются ситуации, которые требуют распространить деление натуральных чисел и на такие случаи.

ПРИМЕР:

Разделить  30  тетрадей между  7  учениками поровну.

Поэтому рассматривают также деление с остатком. Чтобы не смешивать деление с остатком и рассмотренное раньше арифметическое действие деления, последнее ещё называют делением без остатка или делением нацело.

Деление с остатком есть отыскание наибольшего целого числа, которое в произведении с делителем даёт число, не превышающее делимого.

Деление с остатком – это деление одного натурального числа на другое, при котором остаток не равен нулю.

 Искомое число называется неполным частным. Разность между делимым и произведением делителя на неполное частное называется остатком, он всегда меньше делителя.
Деление с остатком записывается так:

ПРИМЕР:
Читается пример следующим образом:
<<17>>  разделить на  <<3>>  получится  <<5>>  и остаток  <<2>>.

Порядок решения примеров на деление с остатком.

1.  Находим наибольшее число до  <<17>>, которое делится на  <<3>>  без остатка. Это  <<15>>.

15 : 3 = 5.

2.  Вычитаем из делимого найденное число из пункта  1.

17 – 15 – 2.

3.  Сравниваем остаток с делителем.
При делении с остатком остаток всегда должен быть меньше делителя. Если получилось, что остаток больше делителя, значит, неверно найдено наибольшее число, которое делится на делитель без остатка.

4.  Записываем ответ.

17 : 3 = 5  ост (2)

При решении более сложных примеров не всегда можно легко найти наибольшее число, которое делится без остатка. Иногда для этого необходимо произвести дополнительные расчёты в столбик.

ПРИМЕР:

Разделить:

190 : 27.

РЕШЕНИЕ:

Методом подбора найдём на сколько надо умножить  <<27>>, чтобы получить ближайшее число к  <<190>>.
Попробуем умножить на  <<6>>.
Рассчитаем остаток и сравним его с делителем.

190 – 162 = 28,
28 ˃ 27.

Остаток больше делителя. Это значит, что  <<6>>  как множитель не подходит. Попробуем умножить делитель на  <<7>>.
Снова рассчитаем и сравним остаток с делителем.

190 – 189 = 1,
1 < 27.

Остаток меньше делителя. Значит пример решён верно.

ОТВЕТ:

190 : 27 = 7  ост (1)

Как проверить деление с остатком.

1.  Умножить неполное частное на делитель.
2.  Прибавить к полученному результату остаток.
3.  Сравнить полученный результат с делимым.

Проверим ответ нашего примера:

190 : 27 = 7  ост (1)

1.  27 × 7 = 189.
2.  189 + 1 – 190.
3.  190 = 190.

Деление с остатком выполнено верно.

Если при делении с остатком делимое меньше делителя, то их неполное частное равно нулю, остаток равен делимому.

ПРИМЕР:

6 : 10 = 0  ост (6),
14 : 112 = 0  ост (14),
31 : 45 = 0  ост (31).

Другими словами, если Вы делите меньшее число на большее, неполное частное всегда будет равно нулю.

 ПРИМЕР:

19  не делится нацело на  5. Число  1,  2,  3  при умножении на  5  дают  5,  10,  15,  не превосходящие делимого  19, но уже  4  даёт в произведении с  5  число  20, больше  19. Поэтому неполным частным является  3, а остатком – 4  (разность между  19  и произведением  3 × 5 = 15).
19 = 5 × 3 + 4.

Для натуральных чисел точному делению (делению без остатка) и делению с остатком можно дать следующее общее определение.

Разделить число  а  (делимое) на число  b  (делитель) – значит найти такие два числа  q  (частное) и  r  (остаток), которые удовлетворяли бы соотношениям
Если делитель  b  не равен нулю, то деление всегда возможно и дает единственный результат. Остаток при делении на число  b  может быть любое из чисел  0,  1,  2, …,  b – 1.

Чтобы найти делимое при делении с остатком, надо неполное частное умножить на делитель и к полученному произведению прибавить остаток.

Изменение остатка.

Если делимое и делитель увеличить или умножить в одно и то же число раз, то частное не изменится, но остаток увеличится (или уменьшится) в то же число раз.

С помощью букв это записывается так:
Пусть  а – делимое, b – делитель, q – частное, r – остаток; тогда

a = bq + r (r < b), 
am = (bm)q + rm,
a = bq + r (r < b), 
a : m = (b : m)q + (r : m).

Об этом нельзя забывать при делении чисел, оканчивающихся нулями.

ПРИМЕР:

Деление 

84100 : 400 

иногда выполняют так:
В действительности же для чисел  84100  и  400  остаток будет не  1, а  100, так как мы делили  841  сотню на  4  сотни и получили  210  и в остатке  1  сотню.

 ПРИМЕР:

Найдите значение частного чисел

11 986  и  342.

РЕШЕНИЕ:

 Деление будем производить в столбик.
Первое неполное делимое – это  1198, значит, в записи частного будут две цифры.
Разделим  1198  на  342. Методом подбора найдём, на сколько надо умножить  <<342>>, чтобы получить ближайшее число к  <<1198>>.
Попробуем умножить на  <<3>>.

342 ∙ 3 = 1026.
1198 – 1026 = 172.

Получили остаток  172 < 342. Значит, цифра  3  подходит, её можно записать в частном вместо разряда десятков.
Приписываем к остатку  172  цифру  6  справа, получаем число  1726.
Разделим  1726  на  342. Методом подбора найдём, на сколько надо умножить  <<342>>, чтобы получить ближайшее число к  <<1726>>.
Попробуем умножить на  <<5>>.

342 ∙ 5 = 1710.
1726 – 1710 = 16.

Получили остаток  16 < 342. Значит, цифра  5  подходит, её можно записать в частном вместо разряда единиц.
Получили следующий результат.
Значение частного – 35, остаток – 16.
Теперь необходимо проверить, верно ли выполнено решение. Если делитель умножить на значение частного и прибавить остаток, то получится делимое.

342 ∙ 35 + 16.

 Выполним умножение в столбик.
После этого прибавим  16  и получим

342 ∙ 35 + 16 – 11970 + 16 = 11986.

Сравним полученный результат с делимым. Числа совпадают, значит, деление было выполнено верно.

ОТВЕТ:

Значение частного – 35, остаток – 16.

ПРИМЕР:

Найдите значение частного чисел

423 492  и  683.

РЕШЕНИЕ:

Деление будем производить в столбик.
Первое неполное делимое – это  4234, значит, в записи частного будут три цифры.
Разделим  4234  на  683. Методом подбора найдём, на сколько надо умножить  <<683>>, чтобы получить ближайшее число к  <<4234>>.
Попробуем умножить на  <<7>>.

683 ∙ 7 = 4781.

Но число  4781  больше чем  4234. Значит, 7  не подходит, а частное будет меньше  7.
Проверим, подойдёт ли  6.

683 ∙ 6 = 4098,
4234 – 4098 = 136.

Получили остаток

136 < 683.

Значит, цифра  6  подходит, её можно записать в частном вместо разряда сотен.
Образуем второе неполное делимое  1369.
Разделим  1369  на  683. Методом подбора найдём, на сколько надо умножить  <<683>>, чтобы получить ближайшее число к  <<1369>>.
Попробуем умножить на  <<2>>.

683 ∙ 2 = 1366.
1369 – 1366 = 3.

Получили остаток  3 < 683. Значит, цифра  2  подходит, её можно записать в частном вместо разряда десятков. Образуем следующее неполное делимое  32.
Разделим  32  на  683. Получится  0, значит  32 – это и есть остаток.
Значение частного – 620, остаток – 32.
Теперь необходимо проверить, верно ли выполнено решение. Если делитель умножить на значение частного и прибавить остаток, то получится делимое.

683 ∙ 620 + 32.

Выполним умножение в столбик.
После этого прибавим  32  и получим

683 ∙ 620 + 32 = 423 460 + 32 
= 423 492.

Сравним полученный результат с делимым. Числа совпадают, значит, деление было выполнено верно.

ОТВЕТ:

Значение частного – 620, остаток – 32.

Для любознательных.

Правило девятки для проверки сложения.

Для проверки правильности выполнения сложения находят остатки от деления на  9  сумм цифр каждого слагаемого, складывают их и результат снова делят на  9. Полученный остаток сравнивают с остатком от деления на  9  суммы цифр найденной суммы. Если сложение выполнено верно, остатки равны.

ПРИМЕР:
В данном примере остатки от деления на  9  сумм цифр слагаемых равны  7,  6,  0,  7; их сумма равна  20. Делим  20  на  9, получаем остаток  2. А остаток от деления на  9  суммы цифр результата  11720  равен  2. Остатки равны, значит сложение выполнено верно.

Правило девятки для проверки умножения.

Для проверки правильности выполнения умножения находят остатки от деления на  9  сумм цифр каждого слагаемого, перемножают их и результат снова делят на  9. Полученный остаток сравнивают с остатком от деления на  9  суммы цифр найденной суммы. Если умножение выполнено верно, остатки равны.

ПРИМЕР:
Здесь остатки от деления на  9  сумм цифр сомножителей равны  3  и  4. Их произведение  12. Разделив  12  на  9, получим остаток  3. Такой же остаток получается, если разделить на  9  сумму цифр числа  140286. Следовательно, умножение выполнено верно.

Правило девятки не всегда даёт возможность обнаружить ошибки в вычислениях. Например, если бы вместо верного ответа  140286  получили  140376  или  142086, правило девятки не обнаружило бы ошибки, ведь остаток от деления на  9  суммы цифр каждого из этих чисел равны  3. Следовательно, этот способ проверки не является достаточным.
Так как вычитание и деление есть действия, обратные сложению и умножению, и правильность вычисления разности и частного проверяется соответственно сложением и умножением, то правило девятки можно применять также для контроля вычитания и деления.

 Задания к уроку 9
ДРУГИЕ УРОКИ
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий