Урок 25. Деление конечных десятичных дробей

понедельник, 30 июня 2014 г.

Урок 25. Деление конечных десятичных дробей

ВИДЕО УРОК

Основы деления десятичных дробей.

Все конечные десятичные дроби представляют собой всего лишь особую форму записи обыкновенных дробей. Следовательно, на них распространяются те же принципы, что и на соответствующие им обыкновенные дроби. Таким образом, весь процесс деления десятичных дробей сводится к замене их на обыкновенные с последующим вычислением уже известными способами.

ПРИМЕР:

Разделите 1,2 на 0,48.

РЕШЕНИЕ:

Запишем десятичные дроби в виде обыкновенных дробей:

1,2 = ¹²/₁₀ = ⁶/₅,

0,48 = ⁴⁸/₁₀₀ = ¹²/₂₅.

Таким образом, нам надо разделить ⁶/₅ на ¹²/₂₅. Считаем:

Из получившейся в итоге неправильной дроби можно выделить целую часть и получить смешанное число 2¹/₂, а можно представить её в виде десятичной дроби, чтобы она соответствовала исходным цифрам:

2¹/₂ = 2,5.

ОТВЕТ: 2,5

Деление десятичной дроби на натуральное число.

ПРИМЕР:

Разделите 2,5 на 45.

РЕШЕНИЕ:

Приведём 2,5 к виду обыкновенной дроби:

Далее надо разделить её на натуральное число:

ОТВЕТ: ¹⁷/₃₀

Деление десятичной дроби на натуральное число столбиком.

Метод деления столбиком хорош не только для натуральных чисел. По аналогии его можно использовать и для десятичных дробей.

Деление десятичной дроби на натуральное число выполняется так же, как и деление целых чисел, причём получающиеся остатки обращают в десятичные доли, всё более и более мелкие: деление продолжают до тех пор, пока в остатке не получится нуль.

Для деления столбиком десятичных дробей на натуральное число необходимо:

– по необходимости добавить к десятичной дроби справа несколько нулей.

– разделить столбиком десятичную дробь на натуральное число.

Когда деление целой части дроби подойдёт к концу, надо поставить запятую в получившемся частном и продолжать делить дальше.

ПРИМЕР:

Разделите 23,45 на 5.

РЕШЕНИЕ:

Делим 23 целых на 5, получаем в частном 4 целых. Записываем эту цифру и ставим запятую, так как деление целых завершено.

Остаток 3 единицы дробим в десятые и прибавляем (сносим) к ним 4 десятых из делимого, получаем 34 десятых. Делим 34 на 5, получаем в частом 6 десятых и в остатке 4 десятых. Остаток дробим в сотые и прибавляем (сносим) к нему 5 сотых из делимого, получаем 45 сотых. Делим 45 на 5, в частном получаем 9 сотых и в остатке 0. Деление закончено.

ОТВЕТ: 4,69

ПРИМЕР:

Разделите 105,624 на 8.

РЕШЕНИЕ:

В частном получили 0 сотых, поскольку при делении десятых в остатке был 0, а число сотых (2) в делимом меньше делителя (8).

ОТВЕТ: 13,203

Если целая часть делимого меньше делителя, то в частном получим 0 целых.

ПРИМЕР:

Разделите 25,56 на 71.

РЕШЕНИЕ:

Если вычисление не заканчивается делением дробной части делимого и получается остаток, то нужно приписать к нему необходимое число нулей.

ПРИМЕР:

Разделите 36,12 на 8.

РЕШЕНИЕ:

После деления 12 сотых на 8 получаем в частном 1 сотую и в остатке 4 сотых. Последние дробим в тысячные: для этого нужно приписать 0, так как в делимом тысячных нет. Получим 40 тысячных. Делим 40 тысячных на 8 и получаем в частном 5 тысячных. В остатке будет 0, деление завершено.

ОТВЕТ: 4,515

ПРИМЕР:

Разделите 65,14 на 4.

РЕШЕНИЕ:

Используем метод столбика. Для этого допишем к дроби два нуля и получим десятичную дробь 65,1400, которая будет равна исходной. Теперь пишем столбик для деления на 4:

Полученное число и будет нужным результатом деления целой части. Ставим запятую, отделяя её, и продолжаем:

Мы добрались до нулевого остатка, следовательно, процесс деления завершён.

ОТВЕТ: 16,285

ПРИМЕР:

Разделите 13,58 на 4.

РЕШЕНИЕ:

ОТВЕТ: 3,395

Деление одной конечной десятичной дроби на другую столбиком.

Такое деление можно свести к процессу нахождения частного десятичной дроби и натурального числа. Для этого необходимо умножить делимое и делитель на 10, 100 и так далее так, чтобы делитель превратился в натуральное число.

Для деления одной десятичной дроби на другую необходимо:

– перенести запятую в делимом и делителе вправо на то количество знаков, которое необходимо для превращения делителя в натуральное число;

– если в делимом не хватает знаков, дописать в него нули с правой стороны;

– после этого делить дробь столбиком на получившееся натуральное число.

ПРИМЕР:

Разделите 7,287 на 2,1.

РЕШЕНИЕ:

Чтобы делитель стал натуральным числом, надо перенести запятую на один знак вправо. Так мы перешли к делению десятичной дроби 72,87 на 21. Запишем полученные числа столбиком и вычислим:

ОТВЕТ: 3,47

ПРИМЕР:

Разделите 12,096 на 2,24.

РЕШЕНИЕ:

Чтобы делитель стал натуральным числом, надо перенести запятую на два знак вправо. Так мы перешли к делению десятичной дроби 1209,6 на 224. Запишем полученные числа столбиком и вычислим:

ОТВЕТ: 5,4

ПРИМЕР:

Разделите 4,5 на 0,125.

РЕШЕНИЕ:

Чтобы делитель стал натуральным числом, надо перенести запятую на три знака вправо. Так как в делимом всего лишь одна цифра после запятой, то припишем к нему справа два нуля. Так мы перешли к делению 4500 на 125. Запишем полученные числа столбиком и вычислим:

ОТВЕТ: 36

Деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и так далее.

Согласно уже изученным правилам деления обыкновенных дробей, деление дроби на десятки, сотни, тысячи аналогично её умножению на ¹/₁₀₀₀, ¹/₁₀₀, ¹/₁₀. Получается, чтобы выполнить деление, в данном случае достаточно просто перенести запятую на нужное количество цифр.

Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и так далее, надо в этой дроби перенести запятую влево на 1, 2, 3 и так далее цифры.

Если для перенесения запятой не хватает знаков, их число дополняют соответствующим числом нулей слева.

ПРИМЕР:

Разделите 4705,6 на 1000.

РЕШЕНИЕ:

В записи числа 1000 содержится три нуля, поэтому в числе 4705,6 перенесём запятую на три цифры влево, получим:

4705,6 : 1000 = 4,7056.

ОТВЕТ: 4,7056

ПРИМЕР:

Разделите 8,45 на 100.

РЕШЕНИЕ:

Для этого надо в числе 8,45 перенести запятую на две цифры влево. Но в этом числе слева от запятой только одна цифра, поэтому сначала поставим впереди два нуля, а затем перенесём запятую:

8,45 : 100 = 008,45 : 100 = 0,0845.

ОТВЕТ: 0,0845

ПРИМЕР:

56,21 : 10 = 5,621;

3,5 : 100 = 0,035;

184,35 : 100 = 1,8435;

0,32 : 100 000 = 0,0000032.

Деление десятичной дроби на 0,1, 0,01, 0,001 и так далее.

Это действие будет аналогично умножению на 10, 100, 1000 и так далее. Для этого надо перенести запятую на одну, две или три цифры в зависимости от условий задачи и дописать нули, если цифр в числе окажется недостаточно.

Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1, 0,01, 0,001 и так далее, надо в этой дроби перенести запятую вправо на 1, 2, 3 и так далее цифры.

ПРИМЕР:

5,739 : 0,1 = 57,39,

0,21 : 0,00001 = 21000.

Деление числа (целого или дробного) на десятичную дробь.

Деление числа (целого или дробного) на десятичную дробь во всех случаях приводят к делению на целое число. Для этого увеличивают делитель в 10, 100, 1000 и так ддалее раз, а чтобы частное не изменилось, в то же число раз увеличивают и делимое, после чего делят на целое число (как в первом случае).

Чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно отбросить в делителе запятую, а затем увеличить делимое во столько раз, во сколько увеличился делитель при отбрасывании в нём запятой, после чего выполнить деление по правилу деления на целое число.

Деление смешанного числа или обыкновенной дроби на десятичную

дробь и наоборот.

Это действие сводится к операциям с обыкновенными дробями. Для этого надо заменить десятичные числа соответствующими обыкновенными дробями, а смешанное число записать в виде

неправильной дроби.

ПРИМЕР:

Вычислить:

РЕШЕНИЕ:

Так как ¹/₆ нельзя преобразовать в конечную десятичную дробь, то в первой скобке целесообразно перейти к обыкновенным дробям:

Так как ⁸⁰/₃ нельзя преобразовать в конечную десятичную дробь, то во второй скобке целесообразно перейти к обыкновенным дробям:

ОТВЕТ: 0,235

ПРИМЕР:

Выполните действия:

2,0928 + 47,9072 : (7 – 0,195).

РЕШЕНИЕ:

7 – 0,195 = 6,805;

47,9072 : 6,805 = 7,04;

2,0928 + 7,04 = 9,1328.

ПРИМЕР:

Выполните действия:

687,8 + (88,0802 – 85,3712) : 0,045.

РЕШЕНИЕ:

88,0802 – 85,3712 = 2,7090;

2,7090 : 0,045 = 60,2;

687,8 + 60,2 = 748.

ЗАДАЧА:

Мама купила 3 кг яблок и заплатила 3,6 руб. Сколько стоит 1 кг яблок ?

РЕШЕНИЕ:

Для решения задачи нужно разделить число 3,6 на 3, то есть найти частное от деления десятичной дроби на натуральное число:

3,6 : 3.

Это значит – нужно найти такое число х, что 3х = 3,6. Очевидно, х = 1,2, так как

3 ∙ 1,2 = 3,6.

Значит,

3,6 : 3 = 1,2.

Килограмм яблок стоит 1,2 руб.

ОТВЕТ: 1,2 руб

ЗАДАЧА:

Кусок ленты длиной 8,31 м разрезали на 3 равные части. Найдите длину каждой части.

РЕШЕНИЕ:

Чтобы решить задачу, выразим длину ленты в сантиметрах:

8,31 м = 831 см.

Но

831 : 3 = 277.

Значит, длина каждой части равна 277 см, то есть 2,77 м. Число 2,77 называют частным чисел 8,31 и 3. Если умножить 2,77 на 3, получится 8,31:

2,77 ∙ 3 = 8,31.

Число 2,77 можно получить, не переводя метры в сантиметры. Для этого надо разделить 8,31 на 3, не обращая внимания на запятую, и поставить в частном запятую, когда закончится деление целой части:

ОТВЕТ: 2,77 м, или 27,7 см

ЗАДАЧА:

Петя собрал 140 кг яблок и груш, из них 0,24 составляли груши. Сколько килограмм груш собрал Петя ?

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

0,24 = ²⁴/₁₀₀.

140 : 100 = 1,4 (кг) – составляет ¹/₁₀₀ яблок и груш.

1,4 ∙ 24 = 36,6 (кг) – груш было собрано.

ОТВЕТ: 33,6 кг

ЗАДАЧА:

На завтрак Винни-Пух съел 0,7 горшочка мёда. Сколько килограмм мёду было в горшочке, если Винни-Пух съел 4,2 кг меда ?

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

0,7 = ⁷/₁₀.

4,2 : 7 = 0,6 (кг) – составляет ¹/₁₀ всего мёда.

0,6 ∙ 10 = 6 (кг) – мёда было в горшочке.

ОТВЕТ: 6 кг

Задания к уроку 25

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

понедельник, 30 июня 2014 г.