Урок 3. Вычитание натуральных чисел

воскресенье, 22 июня 2014 г.

Урок 3. Вычитание натуральных чисел

ВИДЕО УРОК

Понятие о вычитании.

Рассмотрим задачу.

ЗАДАЧА:

Стекольщик остеклил рамы нового дома. В первый день он остеклил 9 рам, а во второй день – остальные 6 рам. Сколько рам он остеклил в течении двух дней ?

Эта задача решается посредством сложения:

9 + 6 = 15.

Здесь были даны два слагаемых 9 и 6 и по ним вычислена их сумма.

Теперь изменим нашу задачу следующим образом: стекольщик, который получил заказ остеклить рамы в новом доме, прежде всего поинтересовался, сколько рам надо остеклить, и выяснил, что их 15; таким образом, сумма была известна ему заранее. Далее, когда он в первый день остеклил 9 рам, перед ним возник вопрос: сколько рам ему остаётся сделать завтра ?

В этом случае ему не надо делать сложение, не надо искать сумму, так как он её знает, ему нужно найти остаток, и остаток находится другим действием, которое состоит в том, чтобы от данной суммы отсчитать известное слагаемое.

Рассмотрим ещё одну задачу.

ЗАДАЧА;

Уезжая на юг в отпуск, я взял с собой 20 почтовых конвертов. С юга я отослал 12 писем родным и знакомым. Сколько у меня осталось неиспользованных конвертов ?

Нетрудно от общего числа конвертов (20) мысленно отделить число израсходованных (12) и получить остаток, то есть число конвертов, оставшихся неиспользованными (8).

И в этой задаче было дано общее число предметов – их сумма (20), указано одно слагаемое, то есть число израсходованных предметов (12), а требовалось найти число оставшихся предметов, или второе слагаемое (8).

Подобные задачи решаются вычитанием. Следовательно:

Вычитанием называется действие, посредством, которого по данной сумме и одному данному слагаемому отыскивается другое слагаемое.

Таким образом, число, которое при сложении является искомым, при вычитании оказывается данным, и наоборот. Поэтому вычитание называют действием, обратным сложению. Вычесть из числа а число b – значит найти такое число с, которое в сумме с числом b даёт а:

с + b = а

или

а – b = с

Число, из которого вычитают а, называется уменьшаемым. Число, которое вычитают b, называется вычитаемым. Число, которое получается в результате действия c, называется разностью.

ПРИМЕР:

30 – 12 = 18.

Здесь 30 – уменьшаемое, 12 – вычитаемое, а 18 – разность. Знак << – >> вычитания ставится между уменьшаемым и вычитаемым.

Вычитание в множестве натуральных чисел выполнимо лишь при условии, когда уменьшаемое больше вычитаемого. При этом разность выражается всегда определённым единственным натуральным числом.

Для каждого числа а верно равенство:

а + 0 = а.

Поэтому считают, что вычитание нуля из числа не изменяет этого числа:

а – 0 = а.

и если уменьшаемое равно вычитаемому, то разность равна нулю:

а – а = 0.

ПРИМЕР:

Возьмём для вычитания трёхзначные числа:

654 – 123

и, представив их как суммы разрядов:

(600 + 50 + 4) –
(100 + 20 + 3),

будем вычитать по разрядам:

(600 – 100) + (50 – 20) +
(4 – 3) =
500 + 30 + 1 = 531.

Или в столбик:

ПРИМЕР:

Теперь рассмотрим случай более трудный. Найдём разность:

782 – 437.

Трудность его состоит в том, что уменьшаемое содержит 2 единицы, а вычитаемое 7 и, следовательно, из единиц уменьшаемого нельзя вычесть единицы вычитаемого. В таком случае поступают следующим образом: берут, или, как говорят, "занимают", у 8 десятков один десяток, в нём содержится 10 единиц; если к ним присоединить 2 имеющиеся у нас единицы, то получится всего 12 единиц. Вычитая из 12 единиц 7, получим 5 единиц. Теперь остаётся вычесть десятки. У нас в уменьшаемом осталось 7 десятков, потому что один десяток мы раздробили в единицы. Значит, из 7 десятков нужно вычесть 3 десятка, получим 4 десятка. Остаётся из 7 сотен вычесть 4 сотни. Получится 3 сотни. Запишем это:

Над цифрой 8 поставлена точка, которая должна напоминать о том, что от этого числа мы занимали единицу (эту точку можно не ставить).

Вычитание можно проверить:

1. Сложением – на том основании, что уменьшаемое является суммой, а вычитаемое и разность – слагаемыми. Поэтому для проверки вычитания следует сложить вычитаемое с разностью. Если результат будет равен уменьшаемому, то действие сделано правильно.

2. Вычитанием, для этого из уменьшаемого надо отнять разность. Если результат будет равен вычитаемому, то действие сделано правильно.

Основные свойства вычитания.

Чтобы вычесть сумму из числа, достаточно вычесть из этого числа первое слагаемое, из полученной разности – второе слагаемое и так далее.

ПРИМЕР:

11 – (2 3) =

11 – 2 – 3 =

9 – 3 = 6.

Или в общем виде:

Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из какого-нибудь одного слагаемого (предполагается, что слагаемое больше вычитаемого).

ПРИМЕР:

(10 + 5) – 4 =

(10 – 4) + 5 =

10 + (5 – 4) = 11.

Или в общем виде:

Чтобы прибавить разность к числу, достаточно прибавить к нему уменьшаемое и из полученной суммы вычесть вычитаемое.

ПРИМЕР:

50 + (36 – 16) =

50 + 36 – 16 = 70.

Или в общем виде:

Чтобы вычесть разность из числа, достаточно вычесть из него уменьшаемое (если это возможно) и к полученной разности прибавить вычитаемое.

ПРИМЕР:

60 – (35 – 15) =

60 – 35 + 15 = 40.

Или в общем виде:

Изменение разности.

Если одно из слагаемых уменьшить на какое-нибудь число, то на это же число уменьшится и сумма.

Если a + b = c, то

(a – m) + b = c – m.

ПРИМЕР:

18 + 12 = 30, тогда

(18 – 5) + 12 = 30 – 5.

Если уменьшаемое увеличится (уменьшится) на какое-нибудь число, то и разность увеличится (уменьшится) на то же число.

Если a – b = c, то

(a + m) – b = c + m.

Если a – b = c, то

(a – m) – b = c – m.

ПРИМЕР:

18 – 12 = 6, тогда

(18 + 5) – 12 =

6 + 5.

30 – 12 = 18, тогда

(30 – 10) – 12 =

18 – 10.

Если вычитаемое увеличить (уменьшить) на какое-нибудь число, то и разность уменьшится (увеличится) на то же число.

Если a – b = c, то

a – (b + m) = c – m.

Если a – b = c, то

a – (b – m) = c + m.

ПРИМЕР:

45 – 12 = 33, тогда

45 – (12 + 3) – 12 =

33 – 3.

52 – 30 = 22, тогда

50 – (30 – 10) =

22 + 10.

Если одно слагаемое увеличить, а другое уменьшить на одно и то же число, то сумма не изменится.

Если a + b = c, то

(a + m) + (b – m) = c.

Если уменьшаемое и вычитаемое увеличить (или уменьшить), на одно и то же число, то разность не изменится.

Если a – b = c, то

(a + m) – (b + m) = c.

Если a – b = c, то

(a – m) – (b – m) = c.

ПРАКТИЧЕСКИЕ СОВЕТЫ.

При решении примеров в "столбик" пишите на листочке в клеточку, чтобы легче было писать цифры друг под другом. Если будете писать неаккуратно (криво, косо), то решить пример правильно будет очень трудно.

Способы быстрого сложения и вычитания.

Приём округления.

Этот приём основан на изменении суммы или разности в зависимости от изменения компонентов и применяется в том случае, когда хотя бы один из компонентов представляет собой число, близкое к круглым десяткам, сотням, тысячам и т. д.

– если одно из слагаемых, округляя, увеличим на несколько единиц, то из полученной суммы надо вычесть столько же единиц.

ПРИМЕР:

264 + 391 =

264 + (391 + 9)

= 264 + 400 – 9

= 655.

– если одно слагаемое увеличим на несколько единиц, а второе уменьшим на столько же единиц, сумма не изменится.

На основании этого выполняется округление одного слагаемого за счёт другого.

ПРИМЕР:

998 + 936 =

1000 + 934

= 1934

– если вычитаемое при округлении увеличим на несколько единиц, то, чтобы разность не изменилась, надо и уменьшаемое увеличить на столько же единиц.

ПРИМЕР:

2342 – 996 =

2346 – 1000

= 1346.

– если уменьшаемое при округлении уменьшим на несколько единиц, то к полученной разности надо прибавить столько же единиц.

ПРИМЕР:

10012 – 8645 =

10000 – 8645 + 12

= 1355 + 12 = 1367.

Использование свойств сложения и вычитания.

ПРИМЕР:

279 + 583 + 721 =

(279 + 721) + 583

= 1583.

352 + 109 – 52 =

(352 – 52) + 109

= 409.

573 – 438 – 68 =

537 – (432 + 68)

= 73.

Задания к уроку 3:

ДРУГИЕ УРОКИ

Уроки математики и физики для школьников и родителей

воскресенье, 22 июня 2014 г.