Урок 6. Деление натуральных чисел

воскресенье, 22 июня 2014 г.

Урок 6. Деление натуральных чисел

ВИДЕО УРОК

В данном уроке рассматривается действие деления чисел, а так же порядок выполнения совместных действий и понятие о таком математическом знаке как скобки.

Делением называется действие посредством которого по данному произведению двух сомножителей и одному из этих сомножителей отыскивается другой сомножитель.

Число, которое делят, называется делимым.

Число, на которое делят, называется делителем.

Число, которое получается в результате деления, называется частным или отношением.

ПРИМЕР:

40 : 8 = 5.

Здесь 40 – делимое, 8 – делитель, а 5 – частное. Знак деления (:) (двоеточие) ставится между делимым и делителем.

Число, которое при умножении является искомым, при делении оказывается данным, и наоборот. Поэтому деление называют действием, обратным умножению. Если делимое равно делителю, то частное равно единице.

ПРИМЕР:

9 : 9 = 1.

Если делитель равен 1, то частное равно делимому:

12 : 1 = 12.

Деление на нуль 0 невозможно.

Первое свойство деления.

Чтобы разделить сумму на какое-нибудь число, достаточно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и полученные частные сложить.

Второе свойство деления.

Чтобы разделить разность на какое-нибудь число, достаточно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое отдельно, а потом из первого частного вычесть второе.

Деление числа на произведение.

Чтобы разделить число на произведение, достаточно разделить это число на первый сомножитель, полученное частное разделить на второй сомножитель, вновь полученное частное разделить на третий сомножитель и т.д.

Деление произведения на число.

Чтобы разделить произведение на какое-нибудь число, достаточно разделить на это число один сомножитель, оставив другие без изменения.

Умножение числа на частное.

Чтобы умножить число на частное, достаточно умножить это число на делимое и полученное произведение разделить на делитель.

Деление числа на частное.

Чтобы разделить число на частное, достаточно разделить это число на делимое и полученное частное умножить на делитель.

ПРИМЕР:

Разделим 58296 на 347. Действие начинается с выделения в делимом столько цифр, начиная со старших разрядов, чтобы составленное из них число было не меньше делителя.

Действие принято записывать так:

берём 582 сотни и делим на 347, получаем в частном одну сотню, затем вычитаем произведение 347 на 1 из 582 сотен и находим остаток 235 сотен. Для того чтобы найти десятки частного, нужно раздробить остаток 235 в десятки (это будет 2350) и прибавить к ним число десятков, имеющихся в делимом, т. е. 9, получится 2359. Для краткости речи говорят что нужно к остатку "снести" 9 десятков. Делим 2359 десятков на 347 и находим в частном 6 десятков. Вычитаем произведение 347 на 6, т. е. 2082 десятка, из 2359 десятков и находим остаток 277 десятков. Для нахождения единиц частного сносим к остатку 6 единиц делимого и получаем 2276, делим их на 347 и получаем в частном 8. Итак,

58296 : 347 = 168.

Изменение частного.

Если один сомножитель уменьшить в несколько раз, то и произведение уменьшится во столько же раз.

Если аb = с, то

(a : m)b = c : m.

ПРИМЕР:

4 × 8 = 32, тогда

(4 : 2) × 8 = 32 : 2.

Если один сомножитель произведения увеличить (уменьшить) в несколько раз, а другой уменьшить (увеличить) во столько же раз, то произведение не изменится.

Если аb = с, то

(a : m)(bm) = с.

ПРИМЕР:

25 × 10 = 250, тогда

(25 : 5) × (10 × 5) = 250.

Если делимое увеличится (уменьшится) в несколько раз, то и частное увеличится (уменьшится) во столько же раз.

Если а : b = с, то

(mа) : b = mс.

Если а : b = с, то

(а : m) : b = с : m.

ПРИМЕР:

40 : 5 = 8, тогда

(40 × 6) : 5 = 8 × 6.

440 : 11 = 40, тогда

(440 : 4) : 11 = 40 : 4.

Если делитель увеличить (уменьшить) в несколько раз, то частное увеличится (увеличится) во столько же раз.

Если а : b = с, то

а : (bm) = с : m.

Если а : b = с, то

а : (b : m) = сm.

ПРИМЕР:

64 : 8 = 8, тогда

64 : (8 × 2) = 8 : 2.

81 : 9 = 9, тогда

81 : (9 : 3) = 9 × 3.

Если делимое и делитель увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то частное не изменится.

Если а : b = с, то

(аm) : (bm) = с.

Если а : b = с, то

(а : m) : (b : m) = с.

Это свойство называют основным свойством частного.

ПРИМЕР:

32 : 16 = 8 =

(32 × 2) : (16 × 2) = 2.

32 : 16 = 8 =

(32 : 4) : (16 : 4) = 2.

Порядок выполнения совместных действий.

При выполнении нескольких действий результат зависит от данных чисел и от порядка их выполнения.

ПРИМЕР:

4 – 2 + 1 = 3, если производить действия в порядке их записи.

Если же сначала сложить 2 и 1 и вычесть полученную сумму из 4, то получим 1.

Для предупреждения недоразумений вводятся соглашения, в каком порядке следует выполнять действия и выражения, записанном без скобок.

Сложение и вычитание называют действиями первой ступени, умножение и деление – действиями второй ступени.

Если в выражении (без скобок) встречаются только действия сложения и вычитания (действия первой ступени), то их принято выполнять в том порядке, в каком они написаны, слева на право.

ПРИМЕР:

10 – 3 + 4 + 2 =

7 + 4 + 2 =

11 + 2 = 13.

Если в выражении (без скобок) встречаются только действия умножения и деления (действия второй ступени), то их принято выполнять в том порядке, в каком они написаны, слева на право.

ПРИМЕР:

40 × 2 : 4 × 5 =

80 : 4 × 5 =

20 × 5 = 100.

Если в выражении встречаются действия сложения, вычитания, умножения и деления, то сначала принято выполнять действия умножения и деления, а потом действия сложения и вычитания.

ПРИМЕР:

15 + 10 × 4 – 27 – 9 : 3

= 15 + 40 – 27 – 3 = 25.

Скобки.

При решении примеров, содержащих скобки, действия нужно проводить в таком порядке:

сначала выполнить действия, заключённые в скобки,

потом остальные согласно принятым правилам.

ПРИМЕР:

9 + 16 : 4 – 2(16 – 2 × 7 + 4) + 6(2 + 5).

Сначала выполняем действия в скобках:

16 – 2 × 7 + 4 = 16 – 14 + 4 = 6;

2 + 5 = 7.

Затем выполняем остальные действия:

9 + 16 : 4 – 2 × 6 + 6 × 7

= 9 + 4 – 12 + 42 = 43.

Часто для указания порядка действий необходимо заключить в скобки такие выражения, которые уже сами содержат скобки. Тогда кроме обычных круглых скобок ( ) применяют скобки квадратные [ ]. Если в скобки нужно заключить выражение, содержащее уже круглые и квадратные скобки, пользуются фигурными скобками { }. Вычисление подобных выражений проводится в следующем порядке: сначала – вычисление внутри всех круглых скобок в указанной выше последовательности; затем вычисление внутри всех квадратных скобок по тем же правилам; далее – вычисление внутри фигурных скобок; наконец выполняются остальные действия.

ПРИМЕР:

5 + 2 × [14 – 3 × (8 – 6)] + 32 : (10 – 2 × 3).

Выполним действия в круглых скобках:

8 – 6 =2;

10 – 2 × 3 =

10 – 6 = 4.

Действия в квадратных скобках дают

14 – 3 × 2 = 8.

Выполняя остальные действия, находим

5 + 2 × 8 + 32 : 4

= 5 + 16 + 8 = 29.

Проверка деления умножением.

Деление можно проверить умножением на том основании, что делимое является произведением, а делитель и частное – сомножителями. Поэтому для проверки деления следует умножить делитель на частное. Если результат будет равен делимому, то действие сделано правильно.

ПРИМЕР:

5535 : 45 = 123.

ПРОВЕРКА:

123 × 45 = 5535.

Проверка деления делением.

Так как делимое является произведением делителя на частное, то от деления делимого на частное должен получится делитель. Поэтому в целях проверки деления можно делимое разделить на частное.

ПРИМЕР:

13104 : 56 = 234.

ПРОВЕРКА:

13104 : 234 = 56.

СПОСОБЫ БЫСТРОГО ДЕЛЕНИЯ

Умножение на 5, 25, 125.

Чтобы умножить число на 5, 25, 125, достаточно разделить его соответственно на 2, 4, 5 и результат умножить на 10, 100, 1000.

ПРИМЕР:

2486 × 5 = 12430,

так как

2486 : 2 = 1243.

8084 × 25 = 202100,

так как

8084 : 4 = 2021.

Деление на 5, 25, 125.

Чтобы разделить число на 5, 25, 125, достаточно умножить его соответственно на 2, 4, 8 и разделить на 10, 100, 1000.

ПРИМЕР:

235 : 5 = 47,

так как

235 × 2 = 470.

1175 : 25 = 47,

так как

1175 × 4 = 4700.

Использование свойств умножения и деления.

ПРИМЕР:

93 × 8 × 125 =

93 × (8 × 125)

= 93000;

36 × 18 : 9 =

36 × (18 : 9)

= 36 × 2 = 72;

26 × 235 : 13 =

36 × (26 : 13) × 235

= 470.

Задания к уроку 6:

ДРУГИЕ УРОКИ

Уроки математики и физики для школьников и родителей

воскресенье, 22 июня 2014 г.