Урок 15. Сложение дробей

понедельник, 30 июня 2014 г.

Урок 15. Сложение дробей

ВИДЕО УРОК

Сложение дробей есть действие, состоящее в том, что несколько данных чисел (слагаемых) соединяются в одно целое (сумму), содержащее в себе все единицы и доли единиц слагаемых.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Сначала разберём сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Получить правило сложения дробей нам поможет следующий пример.

ПРИМЕР:

Пусть на тарелку положили три восьмых доли яблока и после этого ещё две восьмых доли такого же яблока.

Эти действия можно записать так:

В результате на тарелке оказалось

3 + 2 = 5 восьмых долей яблока, то есть ⁵/₈. Таким образом, сложение обыкновенных дробей ³/₈ и ²/₈ даёт обыкновенную дробь ⁵/₈.

Из рассмотренного примера можно сделать вывод, что сложение дробей с одинаковыми знаменателями даёт дробь, числитель которой равен сумме числителей складываемых дробей, а знаменатель равен знаменателям исходных дробей.

Суммой дробей с одним и тем же знаменателем называют дробь, имеющую тот же знаменатель, а числитель равный сумме числителей данных дробей.

Запишем это правило сложения дробей с помощью букв. Пусть нам нужно выполнить сложение обыкновенной дроби ^a/_b и обыкновенной дроби ^c/_b. Тогда согласно правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями справедливо равенство:

Это определение можно сформулировать также в виде следующего правила.

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители и оставить тот же знаменатель.

Все законы и свойства сложения натуральных чисел справедливы и для дробных чисел. Их применение во многих случаях значительно упрощает процесс вычисления.

Сумма дробных чисел подчиняется переместительному закону. Сумма дробных чисел подчиняется сочетательному закону. Если какое-нибудь слагаемое увеличим или уменьшим на какое-нибудь число, то и сумма увеличится или уменьшится на то же самое число.

ПРИМЕР:

Сложите обыкновенные дроби:

⁵/₂₃+ ⁷/_23.

РЕШЕНИЕ:

Знаменатели складываемых дробей равны, поэтому в результате сложения будет дробь с таким же знаменателем 23, а её числитель будет равен сумме числителей складываемых дробей, то есть,

5 + 7 = 12.

Итак, сложение дробей ⁵/₂₃и ⁷/₂₃ приводит нас к дроби ¹²/₂₃. Кратко решение записывается так:

ОТВЕТ: ¹²/₂₃

Если сложение дробей даёт сократимую дробь, то нужно провести сокращение дроби. Если при этом полученная дробь неправильная, то нужно выделить из неё целую часть.

ПРИМЕР:

Вычислите сумму обыкновенных дробей:

⁵/₂₈+ ³/_28.

РЕШЕНИЕ:

Применив правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями, получим:

Очевидно, полученная дробь сократима, так как числитель и знаменатель делятся на 2. Выполним сокращение дроби:

Таким образом, сложение дробей ⁵/₂₈и ³/₂₈ даёт ²/₇.

ОТВЕТ: ²/₇

ПРИМЕР:

Выполните сложение обыкновенных дробей:

¹⁵/₆₂+ ¹⁴⁰/_62.

РЕШЕНИЕ:

Проведём решение дробей с одинаковыми знаменателями:

Проверим, можно ли сократить полученную дробь. Для этого вычислим наибольший общий делитель её числителя и знаменателя. Удобнее всего воспользоваться алгоритмом Евклида:

155 = 62 ∙ 2 + 31,

62 = 31 ∙ 2.

Следовательно

НОД (155, 62) = 31.

Таким образом, дробь ¹⁵⁵/₆₂ можно сократить на 31.

Очевидно, дробь ⁵/₂ неправильная. Выполнив выделение целой части из неправильной дроби ⁵/₂, получаем 2¹/_2.
Итак, весь процесс сложения дробей с одинаковыми знаменателями ¹⁵/₆₂и ¹⁴⁰/₆₂ можно записать так:

ОТВЕТ: 2¹/₂

ПРИМЕР:

¹/₉+ ²/₉ + ⁴/₉ + ⁵/₉ = ¹²/₉ = ⁴/₃ = 1¹/₃.

Сложение дробей с разными знаменателями.

Сложение дробей с разными знаменателями можно свести к сложению дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого достаточно складываемые дроби привести к общему знаменателю.

Исходя из этих соображений, получаем следующий порядок сложения дробей с разными знаменателями, которое содержит следующие шаги:

– складываемые дроби приводятся к общему знаменателю (обычно к наименьшему общему знаменателю);

– выполняется сложение полученных дробей с одинаковыми знаменателями.

Иди другими словами:

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нужно предварительно привести их к наименьшему общему знаменателю, сложить их числители и подписать общий знаменатель.

ПРИМЕР:

Сложите обыкновенные дроби:

РЕШЕНИЕ:

Знаменатели складываемых дробей разные, поэтому сначала нужно выполнить приведение дробей к наименьшему общему знаменателю. Для этого находим

НОК (8; 12) = 24.

Затем находим соответствующие дополнительные множители:

24 : 8 = 3,

24 : 12 = 2

дробей

⁵/₈ и ¹/₁₂.

В результате получим:

Теперь складываем дроби

¹⁵/₂₄ и ²/₂₄

Получим:

Таким образом, сложение дробей с разными знаменателями ⁵/₈ и ¹/₁₂ даёт дробь ¹⁷/₂₄. Запишем все решения кратко:

ОТВЕТ: ¹⁷/₂₄

Если при сложении дробей получается сократимая дробь и (или) неправильная дробь, то нужно провести сокращение дроби и при возможности выделить целую часть.

ПРИМЕР:

Выполните сложение дробей с разными знаменателями:

РЕШЕНИЕ:

Для сложения дробей с разными знаменателями, сначала приведём их к наименьшему общему знаменателю:

Теперь сложим дроби

³⁶/₁₅ и ¹⁰/_15,

получим:

Проверим, не является ли полученная дробь сократимой. Для этого вычислим наибольший общий делитель числителя и знаменателя, воспользовавшись способом Евклида:

46 = 15 ∙ 3 + 1,

15 = 1 ∙ 15,

следовательно

НОД (46; 15) = 1.

Но дробь ⁴⁶/₁₅ неправильная, поэтому из неё нужно выделить целую часть. Так как:

46 : 15 = 3

(остаток 1), то

Запишем все решения кратко:

ОТВЕТ: 3¹/₁₅

ПРИМЕР:

Сложить дроби:

РЕШЕНИЕ:

Находим НОК (15,18)

НОК (15,18) = 3 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 = 90.

Находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого наименьший общий делитель делим по очереди на знаменатель каждой дроби.

90 : 15 = 6 – дополнительный множитель для дроби ³/₁₅.

90 : 18 = 5 – дополнительный множитель для дроби ⁴/₁₈.

Полученные числа и будут дополнительными множителями для каждой из дробей. Множители записываем над числителем дроби справа сверху:

Числитель и знаменатель каждой дроби умножаем на свой дополнительный множитель, пользуясь основным свойством дроби. Получившиеся дроби с одинаковым знаменателем, складываем.

Проверяем полученную дробь.

Если в результате получилась неправильная дробь, то результат записываем в виде смешанного числа.

38 < 90, дробь правильная.

Если в результате получилась сократимая дробь, необходимо выполнить сокращение.

Запишем все решения кратко:

ОТВЕТ: ¹⁹/₄₅

ПРИМЕР:

Короче записывают так:

ПРИМЕР:

Сложение обыкновенной дроби и натурального числа.

Сложение натурального числа с правильной обыкновенной дробью не представляет интереса, так как такая сумма по определению есть смешанное число.

ПРИМЕР:

Сложение натурального числа с неправильной обыкновенной дробью можно проводить через сложение двух дробей, если натуральное число заменить дробью.

ПРИМЕР:

Сложение натурального числа и неправильной дроби целесообразнее проводить, выделив из дроби целую часть. В результате сложение натурального числа и дроби сводится к сложению натурального числа и смешанного числа.

ПРИМЕР:

Сложение смешанных чисел.

Сочетательное и перем

естительное свойства сложения позволяют привести сложение смешанных чисел к сложению их целых частей и к сложению их дробных частей.

Чтобы сложить смешанные числа, надо сначала сложить между собой целые числа, а затем дробные.

ПРИМЕР:

Сложить дроби:

РЕШЕНИЕ:

Чтобы сложить смешанные числа нужно:

– отдельно сложить их целые части;

3 + 4 = 7,

– отдельно сложить дробные части (если у дробных частей знаменатели разные, то сначала приводим их к общему знаменателю, а затем складываем);

– сложить полученные результаты (если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, то нужно выделить целую часть из этой дроби и прибавить к полученной целой части);

ПРИМЕР:

ПРИМЕР:

Сложение трёх и большего количества обыкновенных дробей.

Сложение трёх, четырёх и так далее дробей можно производить аналогично сложению трёх и более натуральных чисел.

ПРИМЕР:

Сложите четыре обыкновенные дроби:

РЕШЕНИЕ:

Нам нужно вычислить сумму:

Последовательно заменяя две соседние дроби их суммой, получим:

Осталось лишь сократить полученную дробь, после чего выделить целую часть:

ОТВЕТ: 1²/₃

Аналогично проводится сложение нескольких натуральных чисел и нескольких обыкновенных дробей.

ПРИМЕР:

Вычислите сумму:

РЕШЕНИЕ:

Свойства сложения позволяют провести следующую группировку слагаемых:

Сумма трёх натуральных чисел в скобках равна 14, а сумма дробей:

Таким образом:

ОТВЕТ: 14¹¹/₁₂

Правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями, и правило сложения дробей с разными знаменателями остаются справедливыми для трёх и большего количества складываемых дробей.

ПРИМЕР:

Сложите три дроби с разными знаменателями: