Урок 5. Пропорціональний поділ

ВІДЕОУРОК

Поділ числа на частини прямо пропорціонально даним числам.

Щоб поділити деяке число на частини пропорціонально даним числам, треба поділити його на суму цих чисел і знайдену частку послідовно помножити на кожне з цих чисел.

ЗАДАЧА:

Поділити число  100  на дві частини прямо пропорційно до чисел  2  і  3.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Цю задачу слід розуміти так:

поділити  100  на дві частини, щоб перша відносилась до другої, як  2  до  3. Якщо позначити шукані числа буквами  х₁  і  х₂, то цю задачу можна сформулювати так. Знайти  х₁  і  х₂  такі, щоб

х₁ +  х₂ = 100,

х₁ :  х₂ = 2 : 3.

ВІДПОВІДЬ:

40  і  60.

ЗАДАЧА:

Двоє робітників заробили  9000 грн. Один працював  2 тижні, а інший  8 тижнів. Скільки грошей заробив кожен ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Виходячи з умови завдання, можна знайти як оплачується один тиждень такої роботи:

9000 : (8 + 2) = 900 грн за тиждень.

Тепер можна розрахувати, скільки заробив кожен робітник пропорційно до часу витраченого кожним з них на роботу:

900 ∙ 2 = 1800 грн – перший робітник,

900 ∙ 8 = 7200 грн – другий робітник.

ВІДПОВІДЬ:  1800 грн, 7200 грн

ЗАДАЧА:

Два шматки однакової тканини коштують  360 грн. В одному з них  5 м, а в іншому  4 м. Скільки коштує кожен шматок тканини ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Складемо короткий запис до завдання у вигляді таблиці.

Оскільки в задачі вказано однакову тканину, значить, і ціна у неї однакова. Потрібно дізнатися про вартість кожного шматка тканини. Щоб знайти вартість шматка тканини, треба знати ціну та кількість метрів тканини. У цьому завдання відома ціна тканини. Щоб знати ціну, потрібно дізнатися вартість та кількість тканини.

Ми знаємо вартість  2 шматків тканини – 360 грн.

Отже, можемо дізнатися, за скільки метрів заплатили  360 грн.

5 + 4 = 9 (м).

Тепер знайдемо, скільки коштує  1 м тканини.

360 : 9 = 40 (грн).

Потім знайдемо вартість кожного шматка тканини, тому що вже знаємо кількість тканини та вартість  1 м.

40 ∙ 5 = 200 (грн),

40 ∙ 4 = 160 (грн).

ВІДПОВІДЬ:  200 грн, 160 грн

ЗАДАЧА:

В одному мішку було  56 кг  борошна, а в іншому – 24 кг  борошна. Це борошно розфасували в  40 пакетів порівну. Скільки потрібно пакетів для розфасовки борошна з кожного мішка ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Складемо короткий запис у вигляді таблиці.

У задачі сказано, що борошно розфасували порівну, отже, у кожному пакеті однакова кількість кілограмів. Відомо, що борошно розфасували у  40 пакетів. Щоб дізнатися, скільки потрібно пакетів для розфасовки борошна з кожного мішка, спочатку потрібно дізнатися масу одного пакета. Щоб дізнатися масу одного пакета, потрібно знати масу всього борошна та кількість всіх пакетів.
Знайдемо масу всього борошна.

56 + 24 = 80 (кг).

Тепер знайдемо скільки борошна знаходиться в одному пакеті.

80 : 40 = 2 (кг).

Так як в одному пакеті  2 кг  борошна, а в першому мішку  56 кг, то для розфасовки  56 кг  борошна необхідно  28 пакетів.

56 : 2 = 28.

А для розфасовки  24 кг  муки необхідно  12 пакетів.

24 : 2 = 12.

ВІДПОВІДЬ:  24 пакети, 12 пакетів

ЗАДАЧА:

Двоє робітників разом заробили  12500 грн, один робітник працював  4 дні, а інший працював  6 днів. Як вони мають розділити зароблені гроші ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Насамперед, встановлюється якась залежність між цими величинами. Вона прямо пропорційна.

Перший робітник повинен взяти  4  такі частини загального заробітку, яких другий робітник візьме  6, тобто заробіток першого робітника, відноситься до заробітку другого робітника, як

4 : 6.

Якщо позначити

х₁ – заробіток першого робітника, а

х₂ – заробіток другого робітника,

то можна записати:

х₁ : х₂ = 4 : 6 = 2 : 3.

Так як

х₁ = 12500 – х₂, то

(12500 – х₂) : х₂ = 2 : 3, або

(12500 – х₂) ∙ 3 = 2 ∙ х₂,

37500 – 3х₂ = 2х₂

х₂ = 37500 : 5 = 7500 (грн),

х₁ = 12500 – 7500 = 5000 (грн).

ВІДПОВІДЬ:  7500 грн, 5000 грн

Розглянемо завдання розподілу числа прямо пропорційно трьом і більше числам.

ЗАДАЧА:

Щоб приготувати борщ зі свіжої капусти, беруть м'ясо, свіжу капусту, помідори та олію щодо

25 : 25 : 10 : 2.

Скільки треба взяти цих продуктів, якщо м'яса взяли  300 г ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Позначимо величину однієї частини – х, тоді

25х (г) – капуста,

25х (г) – м'ясо,

10х (г) – помідори,

2х (г) – олія.

Оскільки м'яса взяли  300 г, то вага однієї частини дорівнюватиме:

25х = 300, х = 12.

Обчисливши вагу однієї частини, можна знайти масу кожного із продуктів:

25 ∙ 12 = 300 (г) – капуста,

10 ∙ 12 = 120 (г) – помідори,

2 ∙ 12 = 24 (г) – олія.

ВІДПОВІДЬ:

300 г, 300 г, 120 г, 24 г

ЗАДАЧА:

У туго плавкому склі міститься кремнезем, вапно і поташ щодо

9 : 1,7 : 1,3.

Визначте вагу колби, зробленої з цього скла, якщо вона містить кремнезему на  385 г  більше, ніж поташу.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

кремнезем : вапно: поташ =

= 9 : 1,7 : 1,3 = 90 : 17 : 13.

х – коефіцієнт пропорційності, тоді

90х – кремнезем,

17х – вапно,

13х – поташ.

Відомо, що кремнезему на  385 (г)  або  (90х – 13х) (г)  більше, ніж поташу, значить 

77х = 385,

х = 5.

тоді вага колби дорівнюватиме:

90х + 17х + 13х =

= х(90 + 17 + 13) =

= 5 ∙ 120 = 600 (г).

ВІДПОВІДЬ:  600 г

ЗАДАЧА:

Розділіть  38  груш на три частини так, щоб:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Записати відносини у вигляді одного ряду неможливо, тому що в першому та другому відношенні  II частина виражена різними числами, тому спочатку звільняємося від дробів:

I : II = 32 : 15,

II : III = 1 : 7.

А потім перетворимо відносини так, щоб в обох рядках  II  частина була виражена однаковим числом, бажано найменшим, тобто цим числом є

НОК (1:15) = 15.

Отримуємо

I : II = 32 : 15,

II : III = 15 : 105,

звідки

I : II : III = 32 : 15 : 105.

х – коефіцієнт пропорційності, тоді:

32х – I частина груш,

15х – II частина груш,

105х – III частина груш,

Усього  38 груш, або

32х + 15х + 105х = 152х,

152х = 38,

32х = ¹/₄ ∙ 32 = 8 (груш),

15х = ¹/₄ ∙ 15 = 3³/₄ (груш),

105х = ¹/₄ ∙ 105 = 26¹/₄ (груш),

ВІДПОВІДЬ:  8 груш, 3³/₄ груш, 26¹/₄ груш

Аналогічно ділять числа на три і більше частин пропорційно до даних чисел.

ЗАДАЧА:

Поділити  780  на чотири частини пропорційно до чисел

1,5,  0,75,  0,4,  1,25.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Цю задачу слід розуміти так: якщо позначити шукані числа через  х₁,  х₂,  х₃  и  х₄, то:

Помноживши кожний із знаменників на  100  і скориставшись з  властивості рівних відношень, одержимо:

Звідки:

х₁ = 300,   х₂ = 150,  

х₃ = 80,     х₄ = 250. 

Поділ числа на частини обернено пропорціональне даним числам.

Щоб поділити число на частини обернено пропорціонально даним числам, требо це число поділити прямо пропорціонально оберненим числам.

ПРИКЛАД:

4 : 5  відношення чисел, а зворотне відношення  5 : 4, причому

5 : 4 = ¹/₄ : ¹/₅,

тобто, зворотне відношення двох чисел дорівнює відношенню чисел, обернених даним.

ЗАДАЧА:

Поділити число  52  на три частини обернено пропорційно до чисел  4, 6  і  8.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Числа, обернені до даних:

¹/₄,  ¹/₆  і  ¹/₈.

Отже,

х₁ = ¹/₄ × 96 = 24,  

х₂ = ¹/₆ × 96 = 16,   

х₃ = ¹/₈ × 96 = 12.

ВІДПОВІДЬ:  24, 16, 12.

ЗАДАЧА:

Розділити число  200  обернено пропорційно  3  і  5.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Тут інше формулювання вимоги: розділити  200  щодо, зворотному  3  і  5, тобто, у першому з чисельних чисел має бути п'ять таких частин, яких у другому три.

Значить:

х₁ : х₂ = 5 : 3,

х₁ = ²⁰⁰/₈ ∙ 5 = 125,

х₂ = ²⁰⁰/₈ ∙ 3 = 75.

ЗАДАЧА:

Розділити число  130  обернено пропорційно  2, 3  і  4.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

х₁ : х₂ = 3 : 2 = 6 : 4,

х₂ : х₃ = 4 : 3.

Можна звести обернено пропорційний поділ до поділу прямо пропорційному, тобто перейти до одного ряду співвідношень:

х₁ : х₂ : х₃ = 6 : 4 : 3,

звідки:

х₁ = 60, х₂ = 40, х₃ = 30.

ЗАДАЧА:

Розділити число  680  обернено пропорційно  ¹/₂, ³/₄, ⁵/₆.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

х₁ : х₂ = ³/₄ : ¹/₂ = 3 : 2 = 15 : 10,

х₂ : х₃ = ⁵/₆ : ³/₄ = 10 : 9.

х₁ : х₂ : х₃ = 15 : 10 : 9.

звідки:

х₁ = 300, х₂ = 200, х₃ = 180.

ЗАДАЧА:

Розділити число  420  обернено пропорційно  3, 5  і  6.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

х₁ : х₂ = 5 : 3 = 10 : 6,

х₂ : х₃ = 6 : 5.

х₁ : х₂ : х₃ = 10 : 6 : 5.

Звідки:

х₁ = ⁴²⁰/₂₁ ∙ 10 = 200,

х₂ = ⁴²⁰/₂₁ ∙ 6 = 120.

х₃ = ⁴²⁰/₂₁ ∙ 5 = 100.

Але якщо  420  розділити прямо пропорційно

¹/₃, ¹/₅, ¹/₆, то

х₁ : х₂ : х₃ = ¹/₃ : ¹/₅ : ¹/₆ = 10 : 6 : 5,

тобто результат обчислення вийде такий самий.

ЗАДАЧА:

Один робітник виконує норму за  6 год, інший за  5 год, а третій за 4,5 год. Працюючи разом, вони виготовили  795 деталей. Скільки деталей виготовив кожен робітник ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Час роботи обернено пропорційно кількості виготовлених деталей.

х₁ – кількість деталей, виготовлених першим робітником,

х₂ – кількість деталей, виготовлених другим робітником,

х₃ – кількість деталей, виготовлених третім робітником,

х₁ : х₂ : х₃ = ¹/₆ : ¹/₅ : ¹/_4,5 = 15 : 18 : 20.

Звідки:

х₁ = ⁷⁹⁵/₅₃ ∙ 15 = 225,

х₂ = ⁷⁹⁵/₅₃ ∙ 18 = 270.

х₃ = ⁷⁹⁵/₅₃ ∙ 20 = 300.

ВІДПОВІДЬ:

225 деталей, 270 деталей, 300 деталей

Завдання до уроку 5

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Відношення величин
• Урок 2. Пропорції
• Урок 3. Величини прямо пропорціональні
• Урок 4. Величини обернено пропорціональні
• Урок 6. Відсотки
• Урок 7. Знаходження процентів даного числа (задачі)
• Урок 8. Знаходження числа за його процентами (задачі)
• Урок 9. Знаходження процентного відношення двох чисел
• Урок 10. Прості та складні відсотки
• Урок 11. Задачі на час
• Урок 12. Задачі на знаходження двох чисел за їх сумою і різницею
• Урок 13. Задачі на знаходження двох чисел за їх сумою або різницею і відношенням
• Урок 14. Середнє арифметичне
• Урок 15. Середнє арифметичне (задачі)
• Урок 16. Масштаб на планах та картах
• Урок 17. Визначення відстані на місцевості
• Урок 18. Визначення відстані на карти або плані
• Урок 19. Задачі на зустрічний рух
• Урок 20. Задачі на рух в одному напрямі
• Урок 21. Задачі на рух у протилежних напрямках
• Урок 22. Задачі на рух по воді
• Урок 23. Задачі на спільну роботу