Уроки математики и физики (RU + UA)

четверг, 14 апреля 2016 г.

Урок 5. Пропорціональний поділ

ВІДЕОУРОК

Поділ числа на частини прямо пропорціонально даним числам.

Щоб поділити деяке число на частини пропорціонально даним числам, треба поділити його на суму цих чисел і знайдену частку послідовно помножити на кожне з цих чисел.

ЗАДАЧА:

Поділити число  100  на дві частини прямо пропорційно до чисел  2  і  3.

РОЗВЯЗАННЯ:

Цю задачу слід розуміти так:
поділити  100  на дві частини, щоб перша відносилась до другої, як  2  до  3. Якщо позначити шукані числа буквами  х1  і  х2, то цю задачу можна сформулювати так. Знайти  х1  і  х2  такі, щоб

х1 +  х2 = 100,

х1 :  х2 = 2 : 3.
ВІДПОВІДЬ:

40  і  60.

ЗАДАЧА:

Двоє робітників заробили  9000 грн. Один працював  2 тижні, а інший  8 тижнів. Скільки грошей заробив кожен ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Виходячи з умови завдання, можна знайти як оплачується один тиждень такої роботи:

9000 : (8 + 2) = 900 грн за тиждень.

Тепер можна розрахувати, скільки заробив кожен робітник пропорційно до часу витраченого кожним з них на роботу:

900 2 = 1800 грн – перший робітник,

900 8 = 7200 грн – другий робітник.

ВІДПОВІДЬ:  1800 грн, 7200 грн

ЗАДАЧА:

Два шматки однакової тканини коштують  360 грн. В одному з них  5 м, а в іншому  4 м. Скільки коштує кожен шматок тканини ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Складемо короткий запис до завдання у вигляді таблиці.
Оскільки в задачі вказано однакову тканину, значить, і ціна у неї однакова. Потрібно дізнатися про вартість кожного шматка тканини. Щоб знайти вартість шматка тканини, треба знати ціну та кількість метрів тканини. У цьому завдання відома ціна тканини. Щоб знати ціну, потрібно дізнатися вартість та кількість тканини.

Ми знаємо вартість  2 шматків тканини – 360 грн.

Отже, можемо дізнатися, за скільки метрів заплатили  360 грн.
5 + 4 = 9 (м).

Тепер знайдемо, скільки коштує  1 м тканини.

360 : 9 = 40 (грн).

Потім знайдемо вартість кожного шматка тканини, тому що вже знаємо кількість тканини та вартість  1 м.

40 5 = 200 (грн),

40 4 = 160 (грн).

ВІДПОВІДЬ:  200 грн, 160 грн

ЗАДАЧА:

В одному мішку було  56 кг  борошна, а в іншому – 24 кг  борошна. Це борошно розфасували в  40 пакетів порівну. Скільки потрібно пакетів для розфасовки борошна з кожного мішка ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Складемо короткий запис у вигляді таблиці.
У задачі сказано, що борошно розфасували порівну, отже, у кожному пакеті однакова кількість кілограмів. Відомо, що борошно розфасували у  40 пакетів. Щоб дізнатися, скільки потрібно пакетів для розфасовки борошна з кожного мішка, спочатку потрібно дізнатися масу одного пакета. Щоб дізнатися масу одного пакета, потрібно знати масу всього борошна та кількість всіх пакетів.
Знайдемо масу всього борошна.
56 + 24 = 80 (кг).

Тепер знайдемо скільки борошна знаходиться в одному пакеті.

80 : 40 = 2 (кг).

Так як в одному пакеті  2 кг  борошна, а в першому мішку  56 кг, то для розфасовки  56 кг  борошна необхідно  28 пакетів.

56 : 2 = 28.

А для розфасовки  24 кг  муки необхідно  12 пакетів.

24 : 2 = 12.

ВІДПОВІДЬ:  24 пакети, 12 пакетів

ЗАДАЧА:

Двоє робітників разом заробили  12500 грн, один робітник працював  4 дні, а інший працював  6 днів. Як вони мають розділити зароблені гроші ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Насамперед, встановлюється якась залежність між цими величинами. Вона прямо пропорційна.

Перший робітник повинен взяти  4  такі частини загального заробітку, яких другий робітник візьме  6, тобто заробіток першого робітника, відноситься до заробітку другого робітника, як

4 : 6.

Якщо позначити

х1 заробіток першого робітника, а

х2 заробіток другого робітника,

то можна записати:

х1 : х2 = 4 : 6 = 2 : 3.

Так як

х1 = 12500 – х2, то

(12500 – х2) : х2 = 2 : 3, або

(12500 – х2) 3 = 2 х2,

37500 – 3х2 = 2х2

х2 = 37500 : 5 = 7500 (грн),

х1 = 12500 – 7500 = 5000 (грн).

ВІДПОВІДЬ:  7500 грн, 5000 грн

Розглянемо завдання розподілу числа прямо пропорційно трьом і більше числам.

ЗАДАЧА:

Щоб приготувати борщ зі свіжої капусти, беруть м'ясо, свіжу капусту, помідори та олію щодо

25 : 25 : 10 : 2.

Скільки треба взяти цих продуктів, якщо м'яса взяли  300 г ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Позначимо величину однієї частини – х, тоді

25х (г) – капуста,

25х (г) – м'ясо,

10х (г) – помідори,

2х (г) – олія.

Оскільки м'яса взяли  300 г, то вага однієї частини дорівнюватиме:

25х = 300, х = 12.

Обчисливши вагу однієї частини, можна знайти масу кожного із продуктів:

25 12 = 300 (г) – капуста,

10 12 = 120 (г) – помідори,

2 12 = 24 (г) – олія.

ВІДПОВІДЬ:

300 г, 300 г, 120 г, 24 г

ЗАДАЧА:

У туго плавкому склі міститься кремнезем, вапно і поташ щодо

9 : 1,7 : 1,3.

Визначте вагу колби, зробленої з цього скла, якщо вона містить кремнезему на  385 г  більше, ніж поташу.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

кремнезем : вапно: поташ =

= 9 : 1,7 : 1,3 = 90 : 17 : 13.

хкоефіцієнт пропорційності, тоді

90х кремнезем,

17х вапно,

13х поташ.

Відомо, що кремнезему на  385 (г)  або  (90х – 13х) (гбільше, ніж поташу, значить 

77х = 385,

х = 5.

тоді вага колби дорівнюватиме:

90х + 17х + 13х =

= х(90 + 17 + 13) =

= 5 120 = 600 (г).

ВІДПОВІДЬ:  600 г

ЗАДАЧА:

Розділіть  38  груш на три частини так, щоб:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Записати відносини у вигляді одного ряду неможливо, тому що в першому та другому відношенні  II частина виражена різними числами, тому спочатку звільняємося від дробів:

I : II = 32 : 15,

II : III = 1 : 7.

А потім перетворимо відносини так, щоб в обох рядках  II  частина була виражена однаковим числом, бажано найменшим, тобто цим числом є

НОК (1:15) = 15.

Отримуємо

I : II = 32 : 15,

II : III = 15 : 105,

звідки

I : II : III = 32 : 15 : 105.

х – коефіцієнт пропорційності, тоді:

32х – I частина груш,

15х – II частина груш,

105х – III частина груш,

Усього  38 груш, або

32х + 15х + 105х = 152х,

152х = 38,
32х = 1/4 32 = 8 (груш),

15х = 1/4 15 = 33/4 (груш),

105х = 1/4 105 = 261/4 (груш),

ВІДПОВІДЬ:  8 груш, 33/4 груш, 261/4 груш

Аналогічно ділять числа на три і більше частин пропорційно до даних чисел.

ЗАДАЧА:

Поділити  780  на чотири частини пропорційно до чисел

1,5,  0,75,  0,4,  1,25.

РОЗВЯЗАННЯ:

Цю задачу слід розуміти так: якщо позначити шукані числа через  х1х2,  х3  и  х4, то:
Помноживши кожний із знаменників на  100  і скориставшись з  властивості рівних відношень, одержимо:
Звідки:

х1 = 300,   х2 = 150,  
х3 = 80,     х4 = 250. 

Поділ числа на частини обернено пропорціональне даним числам.

Щоб поділити число на частини обернено пропорціонально даним числам, требо це число поділити прямо пропорціонально оберненим числам.

ПРИКЛАД:

4 : 5  відношення чисел, а зворотне відношення  5 : 4, причому

5 : 4 = 1/4 : 1/5,

тобто, зворотне відношення двох чисел дорівнює відношенню чисел, обернених даним.

ЗАДАЧА:

Поділити число  52  на три частини обернено пропорційно до чисел  46  і  8.

РОЗВЯЗАННЯ:

Числа, обернені до даних:

1/41/6  і  1/8.

Отже,
х1 = 1/4 × 96 = 24,  
х2 = 1/6 × 96 = 16,   
х3 = 1/8 × 96 = 12.

ВІДПОВІДЬ:  24, 16, 12.

ЗАДАЧА:

Розділити число  200  обернено пропорційно  3  і  5.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Тут інше формулювання вимоги: розділити  200  щодо, зворотному  3  і  5, тобто, у першому з чисельних чисел має бути п'ять таких частин, яких у другому три.

Значить:

х1 : х2 = 5 : 3,

х1 = 200/8 5 = 125,

х2 = 200/8 3 = 75.

ЗАДАЧА:

Розділити число  130  обернено пропорційно  2, 3  і  4.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

х1 : х2 = 3 : 2 = 6 : 4,

х2 : х3 = 4 : 3.

Можна звести обернено пропорційний поділ до поділу прямо пропорційному, тобто перейти до одного ряду співвідношень:

х1 : х2 : х3 = 6 : 4 : 3,

звідки:

х1 = 60, х2 = 40, х3 = 30.

ЗАДАЧА:

Розділити число  680  обернено пропорційно  1/2, 3/4, 5/6.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

х1 : х2 = 3/4 : 1/2 = 3 : 2 = 15 : 10,

х2 : х3 = 5/6 : 3/4 = 10 : 9.

х1 : х2 : х3 = 15 : 10 : 9.

звідки:

х1 = 300, х2 = 200, х3 = 180.

ЗАДАЧА:

Розділити число  420  обернено пропорційно  3, 5  і  6.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

х1 : х2 = 5 : 3 = 10 : 6,

х2 : х3 = 6 : 5.

х1 : х2 : х3 = 10 : 6 : 5.

Звідки:

х1 = 420/21 10 = 200,

х2 = 420/21 6 = 120.

х3 = 420/21 5 = 100.

Але якщо  420  розділити прямо пропорційно

1/3, 1/5, 1/6, то

х1 : х2 : х3 = 1/3 : 1/5 : 1/6 = 10 : 6 : 5,

тобто результат обчислення вийде такий самий.

ЗАДАЧА:

Один робітник виконує норму за  6 год, інший за  5 год, а третій за 4,5 год. Працюючи разом, вони виготовили  795 деталей. Скільки деталей виготовив кожен робітник ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Час роботи обернено пропорційно кількості виготовлених деталей.

х1кількість деталей, виготовлених першим робітником,

х2кількість деталей, виготовлених другим робітником,

х3кількість деталей, виготовлених третім робітником,

х1 : х2 : х3 = 1/6 : 1/5 : 1/4,5 = 15 : 18 : 20.

Звідки:

х1 = 795/53 15 = 225,

х2 = 795/53 18 = 270.

х3 = 795/53 20 = 300.

ВІДПОВІДЬ:

225 деталей, 270 деталей, 300 деталей

Завдання до уроку 5
Інші уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий