Урок 3. Величини прямо пропорціональні

понедельник, 11 апреля 2016 г.

Урок 3. Величини прямо пропорціональні

ВІДЕОУРОК

Пропорційні змінні.

Якщо для будь-якої пари відповідних значень змінних х і у відношення ^у/_х дорівнює одному й тому ж числу, відмінному від нуля, то змінна у пропорційна змінній х.

Насправді часто буває невідомо, як і залежності перебуває одна змінна з іншого. Щоб встановити, чи ця залежність є прямою пропорційністю, достатньо порівняти відносини їх відповідних значень.

ЗАДАЧА:

15 м тканини коштують 120 грн обчислити вартість цієї тканини для деяких інших кількостей метрів, зазначених у таблиці.

По цій таблиці ми можемо простежити, як поступово зростає вартість товару залежно від збільшення його кількості. У верхньому рядку таблиці стоять числа, що позначають число метрів тканини, під кожним з них написано число, що виражає вартість відповідної кількості товару. Навіть при швидкому огляді цієї таблиці і при порівнянні окремих стовпців виявляється, що в усіх випадках значення другої величини зростає в стільки ж разив, у скільки зростають значення першої, тобто якщо значення першої величини зросте, припустимо в 10 раз, то й значення другої величини збільшиться також у 10 раз. Якщо ми будемо переглядати таблицю справа наліво, то побачимо, що ці значення величин зменшуватимуться в однакове число разів.

ЗАДАЧА:

Лижник вийшов із села В і через х годин опинився на відстані у км від нього. Залежність у від х показана в таблиці:

Чи є ця залежність прямою пропорційністю ?

Для кожної пари значень х і у знайдемо відношення ^у/_х.
Можна зробити висновок, що залежність у них близька до прямої пропорційності. Ставлення ^у/_х характеризує швидкість руху лижника. Практично можна сказати, що лижник йшов із постійною швидкістю.

Пари величин, з якими ми зустрілись, називаються прямо пропорціональними.

Якщо дві величини зв’язані між собою так, що із збільшенням (зменшенням) значення однієї з них у кільки разів значення другої збільшується (зменшується) у стільки ж разів, то такі величини називаються прямо пропорціональними.

Про такі величини говорять також, що вони зв’язані між собою прямо пропорціональною залежністю. У природі і в навколишньому житті зустрічається багато таких величин.

ПРИКЛАД:

Час роботи (день, два дні, три дні і т. д.) і заробіток, одержаний за цей час при поденній оплаті праці.

Коефіцієнт пропорційності.

Нехай змінна у пропорційна змінній х. За визначенням відношення ^у/_х для будь-якої пари відповідних значень дорівнює одному й тому ж числу, відмінному від нуля. Позначимо це число буквою k:

Число k називають коефіцієнтом пропорційності.

У разі пропорційності однорідних величин відношення їх відповідних значень, отриманих при вимірі цих величин однією і тією самою одиницею, а значить коефіцієнт пропорційності, не залежить від того, якими є одиниці виміру. Якщо йдеться про пропорційності різнорідних величин, то відношення їх значень, отже, і коефіцієнт пропорційності, залежить від вибору одиниць виміру.

Якщо змінна у пропорційна змінній х і k – коефіцієнт пропорційності, то залежність у від х виражається формулою:

де k ≠ 0.

Справді, з рівності

^у/_х = k

випливає, що

y = kx.

Навпаки, якщо залежність змінної у від змінної х виражається формулою y = kx, де k – не рівне нулю число, то відношення ^у/_х (при х ≠ 0) постійно: ^у/_х = k, тобто змінна у пропорційна змінній х.

Якщо змінна у пропорційна змінній х і коефіцієнт пропорційності дорівнює k, то і змінна х пропорційна змінній у, причому коефіцієнт пропорційності дорівнює ¹/_k.

Справді, якщо

^у/_х = k (k ≠ 0),

то ^x/_y = ¹/_k,

або х = ¹/_k × у.

ПРИКЛАД:

Якщо ^у/_х = 3,

то ^x/_y = ¹/₃, або

х = ¹/₃ × у.

Властивість прямо пропорціональних величин.

Ми вже знаємо, що коли дві величини прямо пропорціональні, то кожна з них у процесі своєї зміни збільшується в стільки ж разів, у скільки разів збільшується і друга. Звідси зразу виходить, що коли ми візьмемо відношення яких-небудь двох значень першої величини, то воно дорівнюватиме відношенню двох відповідних значень другої величини.

ПРИКЛАД:

6 : 2 = 3;

120 : 40 = 3.

Чому це так ? А тому, що ці величини прямо пропорціональні, тобто коли одна з них збільшилась у 20 разів, то й друга збільшилась у 20 разів.

Отже, ми прийшли до такого висновку: якщо взяти два яких-небудь значення першої величини і поділити їх одне на одне, а потім поділити одне на одне відповідні їм значення другої величини, то в обох випадках дістанемо одне й те саме число, тобто одне й те саме відношення. Значить, два відношення, які ми вище писали, можна сполучити знаком рівності, тобто:

6 : 2 = 120 : 40.

Немає сумніву в тому, що коли б ми взяли не ці відношення, а інші і не в тому порядку, а в оберненому, то також дістали б рівність відношень. Справді, розглядатимемо значення наших величин зліва направо:

2 : 6 = ¹/₃;

40 : 120 = ¹/₃.

Отже, ми можемо написати:

2 : 6 = 40 : 120.

Звідси випливає такий висновок.

Якщо дві величини прямо пропорціональні, то відношення двох довільно взятих значень першої величини дорівнює відношенню двох відповідних значень другої величини.

Правильне і зворотне.

Якщо відношення двох довільних значень однієї змінної дорівнює відношенню відповідних значень іншої, то змінні є пропорційними.

Ця пропозиція виражає ознаку пропорційності змінних. У разі коли йдеться про залежність між змінними, значення яких виражаються позитивними числами, ознака пропорційності можна сформулювати так:

Якщо зі збільшенням (зменшенням) значення однієї змінної у кілька разів відповідні значення іншої збільшуються (зменшуються) у стільки ж разів, то змінні пропорційні.

Задачи на правило трьох.

Найчастіше трапляються арифметичні задачі на так зване просте правило трьох. У цих задачах дано три числа і треба визначити четверте, пропорційне до них.

ЗАДАЧА:

10 болтів важать 4 кг. Скільки важать 25 таких болтів ?

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

ПЕРШІЙ СПОСІБ (способом зведення до одиниці).

Скільки важить один болт ?

4 кг : 10 = 0,4 кг.

Скільки важать 25 болтів ?

0,4 кг × 25 = 10 кг.

ДРУГІЙ СПОСІБ (способом пропорцій)

Оскільки вага болтів прямо пропорційна до їх кількості, то відношення ваг дорівнює відношенню штук (болтів). Позначивши шукану вагу буквою х, одержимо пропорцію:

х : 4 = 25 : 10.

Звідки:

Можна міркувати й так:

25 болтів більше за 10 у 2,5 раза, вони важчі за 4 кг також у 2,5 раза:

4 × 2,5 = 10 (кг).

ВІДПОВІДЬ:

25 болтів важать 10 кг.

ЗАДАЧА:

12 кілограмів коксу замінюють 20 кілограмів кам'яного вугілля. Скільки кілограмів кам'яного вугілля замінять 210 кілограмів коксу ? Або: 12 кг коксу так відносяться до 20 кг вугілля, як 210 кг коксу відносяться до х кг вугілля:

12 : 20 = 210 : х.

Вирішимо цю пропорцію. Щоб знайти х, потрібно добуток середніх членів 20 та 210 розділити на крайній член 12.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Якщо 12 кг коксу замінюють 20 кг вугілля, то нехай 210 кг коксу замінюють х кг вугілля. Складемо пропорцію:

12 кг –––– 20 кг вугілля;

210 кг –––– х кг вугілля.

Або: 12 кг коксу так відносяться до 20 кг вугілля, як 210 кг коксу відносяться до х кг вугілля:

12 : 20 = 210 : х.

Вирішимо цю пропорцію. Щоб знайти х, потрібно добуток середніх членів 20 та 210 розділити на крайній член 12.

Оскільки х = 350 кг, отже, 350 кг кам'яного вугілля замінять 210 кг коксу.

ВІДПОВІДЬ: 350 кг

ЗАДАЧА:

Пекар за 8 годин випік 70 булочок. Скільки булочок він випече за 12 годин ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Якщо 70 булочок пекар пече 8 годин, то нехай х булочок він випече за 12 годин. Складемо пропорцію:

70 булочок –––– 8 годин;

х булочок –––– 12 годин.

Або: 70 булочок так відносяться до 8 годин, як х булочок відносяться до 12 годин:

70 : 8 = х : 12.

Вирішимо цю пропорцію. Щоб знайти х, потрібно добуток крайніх членів 70 та 12 розділити на середній член 8.
Так як х = 105, значить, 105 булочок пекар пече за 12 годин.

ВІДПОВІДЬ: 105 булочок

ЗАДАЧА:

За 8 годин трактор зорав 0,6 га. За скільки годин він зоре 4,2 га ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Якщо за 8 годин трактор зорав 0,6 га, то за х годин трактор зоре 4,2 га. Складемо пропорцію:

8 годин –––– 0,6 га;

х годин –––– 4,2 га.

Або: 8 годин так відносяться до 0,6 га, як х годин відносяться до 4,2 га:

8 : 0,6 = х : 4,2.

Вирішимо цю пропорцію. Щоб знайти х, потрібно добуток крайніх членів 8 та 4,2 розділити на середній член 0,6.
Так як х = 56, значить, за 56 годин трактор зоре 4,2 гектара.

ВІДПОВІДЬ: 56 годин

ЗАДАЧА:

На 20 гектарах поля було посіяно 3,4 т вівса. Скільки зерна знадобиться для засіву 1980 гектарів поля ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Якщо на 20 гектарах поля було посіяно 3,4 т вівса, то х т вівса треба щоб засіяти 1980 гектарів поля. Складемо пропорцію:

3,4 т –––– 20 га;

х т –––– 1980 га.

Або: 3,4 т відносяться до 20 га, як х т відносяться до 1980 га:

3,4 : 20 = х : 1980.

Вирішимо цю пропорцію. Щоб знайти х, потрібно добуток крайніх членів 3,4 та 1980 поділити на середній член 20.
Так як х = 336,6 т, значить, для засіву 1980 га необхідно 336,6 т вівса.

ВІДПОВІДЬ: 336,6 т

ЗАДАЧА:

Токар за 8 годин виготовив 70 деталей. Скільки деталей він виготовить за 12 годин ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Якщо 70 деталей токар виготовить за 8 годин, то нехай х деталей він виготовить за 12 годин. Складемо пропорцію:

70 деталей –––– 8 годин;

х деталей –––– 12 годин.

Або: 70 деталей так відносяться до 8 годин, як х деталей відносяться до 12 годин:

70 : 8 = х : 12.

Вирішимо цю пропорцію. Щоб знайти х, потрібно добуток крайніх членів 70 та 12 розділити на середній член 8.
Так як х = 105, значить, 105 деталей токар виготовить за 12 годин.

ВІДПОВІДЬ: 105 деталей

Завдання на складне потрійне правило.

Для вирішення багатьох типових завдань є спеціальні правила їх вирішення. Завдання на пряму та зворотну пропорційність, у яких за трьома значеннями двох величин потрібно знайти четверте, називаються завданнями на потрійне правило.

Якщо для трьох величин, було дано п'ять значень, і потрібно знайти шосте, правило називається п'ятірним. Аналогічно для чотирьох величин існувало семирічне правило.

Завдання, у яких у даному ряду відповідних один одному значень кількох (більше двох) пропорційних величин потрібно знайти значення однієї з них, відповідне іншому ряду даних значень інших величин, називають завданнями складне потрійне правило.

Складне потрійне правило застосовується під час вирішення завдань, у яких бере участь n (n ˃ 2) величин

x₁, x₂,…, х_n_{– 1}, х_n.

І тут у n – 1 величин x₁, x₂,…, х_n_{– 1} відомі по два значення a₁, a₂, b₁, b₂, …, l₁, l₂, а у х_n відомо лише одне значення k₁, інше – k₂ підлягає визначенню.

Практично складне потрійне правило є послідовне застосування простого потрійного правила.

Щоб отримати шукане число, досить дане значення тієї ж величини помножити послідовно на відносини даних значень інших величин, беручи відношення нового значення до колишнього, якщо величина прямо пропорційна тій, значення якої знаходиться, і колишнього значення до нового, коли величина обернено пропорційна тій, значення якої знаходиться.

ЗАДАЧА:

5 насосів протягом 3 год викачали 1800 відер води. Скільки води викачують 4 такі насоси протягом 4 год ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

1 спосіб.

Спочатку знайдемо, скільки відер води викачав 1 насос протягом 3 год.

1800 : 5 = 360 (відер).

Потім знайдемо, скільки відер води викачав 1 насос протягом 1 години.

3600 : 3 = 120 (відер).

Тепер визначимо, скільки води викачують 4 насоси за 1 годину.

120 ∙ 4 = 480 (відер).

А тепер визначимо, скільки води викачують 4 насоси за 4 години.

480 ∙ 4 = 1920 (відер).

2 спосіб.

Складемо пропорцію:

5 нас. 3 час ---------- 1800 від.

4 нас. 4 час ---------- х від.

Скорочене рішення за числовою формулою:

ЗАДАЧА:

За 18 робочих днів бригада лісорубів у складі 15 чоловік заготовила 972 м³ дров. Скільки дров заготовить 12 чоловік за 25 днів при такій самій продуктивності праці ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

1 спосіб .

Зведення до одиниці.

Скільки кубометрів дров заготовила б 1 людина за 18 робочих днів ?

Скільки кубометрів дров заготовила б 1 людина за 1 робочий день ?

Скільки кубометрів дров заготовила б 12 чоловік за 1 день ?

Скільки кубометрів дров заготовить бригада з 12 чоловік за 25 днів при такій самій продуктивності праці ?

2 спосіб.

Цій спосіб пов’язаний із введенням людино-день і зведення до одиниці.

Скільки людино-днів затрачено, щоб заготовити 972 м³ дров ?

15 ∙ 18 = 270.

Скільки кубометрів заготовлених дров припаде на 1 людино-день ?

Скільки людино-днів витратить друга бригада за 25 днів ?

12 ∙ 25 = 300.

Скільки кубометрів дров заготовить бригада з 12 чоловік за 25 робочих днів при тій самій продуктивності праці ?

3 спосіб.

Цю задачу можна звести до задачі на просте правило трьох, яку можна розв’язати за допомогою пропорції. Це можна здійснити, розв’язавши заздалегідь перше і трете запитання з попереднього способу:

270 ----- 972

300 ----- х,

4 спосіб.

Скорочений запис:

18 ----- 15 ----- 972

25 ----- 12 ----- х

Розв’язування і пояснення.

х₁ = 972 м³

Якщо 15 чоловік працювали 18 днів.

Якщо ж працюватиме 18 днів 1 чоловік, то він виробить у 15 раз менше, тобто
Якщо цей самий період працюватиме 12 чоловіків, то буде вироблено в 12 раз більше:

Ми визначили, скільки кубометрів дров заготовлять 12 чоловіків за 18 днів. Якщо вони працюватимуть один день, то х₄ буде в 18 раз менше, тобто
а якщо 25 днів, то в 25 раз більше, а саме:

Розв’язання 4 способом є найкоротшим і найоперативнішим.

Пояснення розв’язання 2 способом мало б такий вигляд:

Перша бригада на заготовлю 972 м³ дров затратила

15 ∙ 18 = 270 людино-днів.

Отже, на 1 людино-день припадає
Бригада в складі 12 чоловіків за 25 днів виробить

12 ∙ 25 = 300 людино-днів.

Значить, при тій самій продуктивності праці вона заготовить

Завдання до уроку 3

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

понедельник, 11 апреля 2016 г.