Урок 19. Задачі на зустречний рух

ВІДЕОУРОК

До арифметичних задач на рух належать такі, у яких на підставі залежності між часу, швидкістю і відстанню при рівномірному русі треба знайти одну з цих величин. Для вирішення завдань руху використовують різні моделі рішень. При цьому всі значення величин слід виражати у відповідних одиницях виміру. У завданнях руху зазвичай використовують такі величини:

швидкість, час руху та пройдений шлях

Швидкістю називають шлях, пройдений за одиницю часу.

Кожна з цих величин має одиниці виміру.

Основні одиниці виміру шляху:

кілометр, метр, дециметр, сантиметр, міліметр.

Основні одиниці виміру часу:

годину, хвилину, секунду.

Основні одиниці виміру швидкості:

км/год (кілометр на годину), м/хв (метри за хвилину), м/сек (метри за секунду).

Якщо час дано у годинах, а відстань у кілометрах, то швидкість потрібно виражати у кілометрах на годину.

Позначення:

S – це пройдений шлях, або відстань,

v – швидкість руху,

t – час руху.

Відстань – це добуток швидкості на час руху:

S = v∙ t,

Швидкість – це частка від ділення відстані на час руху:

v = S : t,

Час – це окреме від поділу відстані на швидкість руху:

t = S : v.

Швидкість зближення.

Швидкість зближення – це відстань, пройдена двома об'єктами назустріч один одному за одиницю часу.

Щоб знайти швидкість зближення потрібно скласти швидкості об'єктів.

Наприклад, якщо з двох пунктів назустріч один одному вирушать два пішоходи, причому швидкість першого буде  100 м/хв, а другого – 105 м/хв, то швидкість зближення становитиме

100 + 105 = 205 (м/хв).

Це означає, що щохвилини відстань між пішоходами зменшуватиметься на  205 метрів.

Припустимо, що пішоходи зустрілися за три хвилини після початку руху. Знаючи, що вони зустрілися за три хвилини, ми можемо дізнатися відстань між двома пунктами.

Щохвилини пішоходи долали відстань рівну двохсот п'яти метрам. За 3 хвилини вони зустрілися. Отже, помноживши швидкість зближення на час руху можна визначити відстань між двома пунктами:

205 ∙ 3 = 615 (м).

Можна й інакше визначити відстань між пунктами. Для цього слід знайти відстань, яку пройшов кожен пішохід до зустрічі.

Так, перший пішохід йшов зі швидкістю  100 м/хв. Зустріч відбулася через три хвилини, отже, за  3 хвилини він пройшов

100 ∙ 3 = 300 (м).

А другий пішохід йшов зі швидкістю  105 м/хв. За три хвилини він пройшов

105 ∙ 3 = 315 (м).

Тепер можна скласти отримані результати і таким чином визначити відстань між двома пунктами:

300 м + 315 м = 615 м.

ЗАДАЧА:

З двох населених пунктів назустріч один одному виїхали одночасно двоє велосипедистів. Швидкість першого велосипедиста  10 км/год, а швидкість другого – 12 км/год. За  2 години вони зустрілися. Визначте відстань між населеними пунктами.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знайдемо швидкість зближення велосипедистів:

10 км/год + 12 км/год = 22 км/год.

Визначимо відстань між населеними пунктами. Для цього швидкість зближення помножимо на час руху:

22 ∙ 2 = 44 (км).

Розв'яжемо це завдання другим способом. Для цього знайдемо відстані, пройдені велосипедистами, та складемо отримані результати.

Знайдемо відстань, пройдену першим велосипедистом:

10 ∙ 2 = 20 (км).

Знайдемо відстань, пройдену другим велосипедистом:

12 ∙ 2 = 24 (км).

Складемо отримані відстані.

20 км + 24 км = 44 км.

ВІДПОВІДЬ:  44 км

ЗАДАЧА:

З двох населених пунктів, відстань між якими  60 км, назустріч один одному виїхали одночасно двоє велосипедистів. Швидкість першого велосипедиста  14 км/год, а швидкість другого – 16 км/год. Через скільки годин вони зустрілися ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знайдемо швидкість зближення велосипедистів:

14 км/год + 16 км/год = 30 км/год.

За одну годину відстань між велосипедистами зменшується на  30 км. Щоб визначити, через скільки годин вони зустрінуться, потрібно відстань між населеними пунктами поділити на швидкість зближення:

60 км : 30 км/год = 2 год.

ВІДПОВІДЬ:  2 год

ЗАДАЧА:

З двох населених пунктів, відстань між якими  56 км, назустріч один одному виїхали одночасно двоє велосипедистів. За дві години вони зустрілися. Перший велосипедист їхав зі швидкістю  12 км/год, Визначити швидкість другого велосипедиста.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Визначимо відстань, пройдену першим велосипедистом. Як і другий велосипедист, він провів  2 години. Помноживши швидкість першого велосипедиста на  2 години, зможемо дізнатися скільки кілометрів він проїхав до зустрічі.

12 ∙ 2 = 24 (км).

За дві години перший велосипедист проїхав  24 км.

Віднімемо із загальної відстані (56 км) відстань, пройдену першим велосипедистом (24 км). Так визначимо, скільки кілометрів пройшов другий велосипедист.

56 км – 24 км = 32 км.

Другий велосипедист, як і перший, провів у дорозі  2 години. Якщо ми розділимо пройдену ним відстань на  2 години, то дізнаємося, з якою швидкістю він рухався:

32 : 2 = 16 (км/год).

ВІДПОВІДЬ:  16 (км/год).

ЗАДАЧА:

Із двох міст, відстань між якими дорівнює  588 км, виїхали назустріч один одному два автомобілі, які зустрілися через  6 год  після початку руху. Швидкість одного автомобіля становила  46 км/год. Знайдіть швидкість другого автомобіля.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

588 : 6 = 96 (км) – на стільки зменшується відстань між ними щогодини.

98 – 46 = 52 (км/год) – швидкість другого автомобіля.

ВІДПОВІДЬ:  52 км/год

ЗАДАЧА:

Від двох пристаней одночасно назустріч один одному відійшли два катери, які зустрілися через  5 год  після початку руху. Один із катерів рухався зі швидкістю  28 км/год, а другий – зі швидкістю  36 км/год. Знайдіть відстань між пристанями.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

28 + 36 = 64 (км) – на стільки зближувались катери щогодини.

64 ∙ 5 = 320 (км) – відстань між пристанями.

ВІДПОВІДЬ:  320 км

ЗАДАЧА:

З міста  А  об  11 год  вийшла легкова машина і рухається з швидкістю  50 км/год у напрямі до міста  В. за  30 хв  назустріч їй з міста  В  вийшла вантажна машина з середньою швидкістю  35 км/год. О котрій годині вони зустрінуться, якщо відстань між містами дорівнює  195 км ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Яку віддаль пройде легкова машина до виходу вантажної ?

50 × 0,5 = 25 (км).

Які віддалі пройдуть до зустрічі при одночасному русі легкова і вантажна машини ?

195 – 25 = 170 (км).

На скільки кілометрів зблизяться за одну годину легкова і вантажна машини ?

 50 + 35 = 85 (км).

Через скільки годин після виходу вантажної машини вони зустрінуться ?

170 : 85 = 2 (год),

О котрій годині зустрінуться машини ?

11 год + 30 хв + 2 год = 13 год 30 хв.

ВІДПОВІДЬ:

О в  13 год 30 хв.

ЗАДАЧА:

З двох пунктів, відстань між якими  37 км, вийшли одночасно назустріч один до одного два туристи. Перший проходив за годину на  0,5 км  більше ніж другий. З якою швидкістю йшов кожний турист, якщо через  2,5 год  після виходу віддаль між ними була  18,25 км ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Обидва туристи пройшли за  2,5 год  віддаль:

37 – 18,25 = 18,75 (км).

За годину вони пройшли:

18,75 : 2,5 = 7,5 (км).

Якби би швидкість першого туриста була така сама, як и другого, вони за годину пройшли б:

7,5 – 0,5 = 7 (км).

Тоді другий турист за годину проходив:

7 : 2 = 3,5 (км),

а перший –

3,5 + 0,5 = 4 (км).

ВІДПОВІДЬ:

4 км  і  3,5 км.

ЗАДАЧА:

Від двох пристаней одночасно назустріч один одному відійшли два теплоходи, і за 6 годину вони зустрілися. Яку відстань до зустрічі пройшов кожен теплохід і яку відстань між пристанями, якщо один теплохід йшов зі швидкістю  21 км/год, а інший – зі швидкістю  24 км/час ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Визначимо відстань, пройдену першим теплоходом. Для цього помножимо його швидкість на час руху до зустрічі:

21 ∙ 6 = 126 (км).

Визначимо відстань, пройдену другим теплоходом. Для цього помножимо його швидкість на час руху до зустрічі:

24 ∙ 6 = 144 (км).

Визначимо відстань між пристанями. Для цього складемо відстані, пройдені першим та другим теплоходами:

126 км + 144 км = 270 км.

ВІДПОВІДЬ:  126 км, 144 км, 270 км

ЗАДАЧА:

Від двох пристаней, відстань між якими  75 км, назустріч один одному одночасно відійшли два моторні човни. Одна йшла зі швидкістю  16 км/годину, а швидкість іншої становила  75% швидкості першого човна. Яка відстань буде між човнами через  2 час ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знайдемо швидкість другого човна. Вона становить  75%  швидкості першого човна. Тому, щоб знайти швидкість другого човна, потрібно знайти  75%  від  16 км/час.

16 ∙ 0,75 = 12 (км/год).

Знайдемо швидкість зближення човнів:

16 км/год + 12 км/год = 28 км/год.

З кожною годиною відстань між човнами зменшуватиметься на  28 км. Через  2 години воно зменшиться на

28 ∙ 2 = 56 (км).

Щоб дізнатися, яка буде відстань між човнами в цей момент, потрібно з  75 км  відняти  56 км:

75 – 56 = 19 (км).

ВІДПОВІДЬ:  19 км

ЗАДАЧА:

З двох міст назустріч один одному одночасно вийшли два поїзди  і через  18 год, зустрілись. Визначити швидкості поїздів, знаючи, що їх різниця дорівнює  10 км/год, а відстань між містами становить  1620 км.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

На скільки кілометрів більше пройшов поїзд з більшою швидкістю, ніж поїзд з меншою швидкістю ?

10 км ∙ 18 = 180 км.

Який шлях пройшли б ці поїзди разом за  18 год, якби їх швидкості були однакові і дорівнювали меншій швидкості ?

1620 – 180 = 1440 (км).

Скільки кілометрів становить шлях, пройдений поїздом з меншою швидкістю ?

1440 : 2 = 720 (км).

Які були швидкості поїздів ?

720 км : 18 год = 40 км/год,

40 км/год + 10 км/год = 50 км/год.

ВІДПОВІДЬ:  40 км/год, 50 км/год

ЗАДАЧА:

Одночасно з Москви та Уфи вийшли два поїзди. За  16 годину вони зустрілися. Московський поїзд йшов зі швидкістю  51 км/год. З якою швидкістю йшов поїзд, що вийшов з Уфи, якщо відстань між Москвою та Уфою  1520 км ? Яка відстань була між поїздами через  5 годин після їхньої зустрічі ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Визначимо, скільки кілометрів до зустрічі пройшов поїзд, що вийшов із Москви. Для цього помножимо його швидкість на  16 час.

51 ∙ 16 = 826 (км).

Дізнаємось, скільки кілометрів до зустрічі пройшов поїзд, що вийшов із Уфи. Для цього з відстані між Москвою та Уфою віднімемо відстань, пройдену поїздом, що вийшов із Москви.

1520 – 816 = 704 (км).

Визначимо швидкість, з якою йшов поїзд, що вийшов з Уфи. Для цього відстань, яку він пройшов до зустрічі, потрібно розділити на  16 час.

704 : 16 = 44 км/год.

Визначимо відстань, яка буде між поїздами через  5 годин після їхньої зустрічі. Для цього знайдемо швидкість видалення поїздів та помножимо цю швидкість на  5.

51 км/год + 44 км/год = 95 км/год.

95 ∙ 5 = 475 (км).

ВІДПОВІДЬ:  44 км/год, 475 км

ЗАДАЧА:

Відстань від Ростова-на-Дону до Москви  1230 км. З Москви та Ростова назустріч один одному вийшли два потяги. Потяг із Москви йде зі швидкістю  63 км/год, а швидкість ростовського поїзда становить  ²⁰/₂₁  швидкості московського поїзда. На якій відстані від Ростова зустрінуться потяги ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знайдемо швидкість ростовського поїзда. Вона становить  ²⁰/₂₁  швидкості московського поїзда. Тому, щоб визначити швидкість ростівського поїзда, потрібно знайти  ²⁰/₂₁  от  63 км.

63 ∙ ²⁰/₂₁ = 60 (км/год).

Знайдемо швидкість зближення поїздів:

63 км/год + 60 км/год = 123 км/год.

Визначимо, за скільки годин поїзди зустрінуться.

1230 : 123 = 10 (год).

Дізнаємось, на якій відстані від Ростова зустрінуться потяги. Для цього достатньо знайти відстань, пройдену ростовським поїздом до зустрічі.

60 ∙ 10 = 600 (км).

ВІДПОВІДЬ:  600 км

Завдання до уроку 19

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Відношення величин
• Урок 2. Пропорції
• Урок 3. Величини прямо пропорціональні
• Урок 4. Величини обернено пропорціональні
• Урок 5. Пропорціональний поділ
• Урок 6. Відсотки
• Урок 7. Знаходження процентів даного числа (задачі)
• Урок 8. Знаходження числа за його процентами (задачі)
• Урок 9. Знаходження процентного відношення двох чисел
• Урок 10. Прості та складні відсотки
• Урок 11. Задачі на час
• Урок 12. Задачі на знаходження двох чисел за їх сумою і різницею
• Урок 13. Задачі на знаходження двох чисел за їх сумою або різницею і відношенням
• Урок 14. Середнє арифметичне
• Урок 15. Середнє арифметичне (задачі)
• Урок 16. Масштаб на планах та картах
• Урок 17. Визначення відстані на місцевості
• Урок 18. Визначення відстані на карти або плані
• Урок 20. Задачі на рух в одному напрямі
• Урок 21. Задачі на рух у протилежних напрямках
• Урок 22. Задачі на рух по воді
• Урок 23. Задачі на спільну роботу