Урок 4. Правильна призма

ВІДЕОУРОК

Пряма призма називається правильною, якщо її основи – правильні багатокутники.

Властивості правильній призми.

– бічні ребра перпендикулярні до основи;

– усі бічні грані – рівні прямокутники;

– бічне ребро є висотою призми.

Поверхня правильній призми.

Бічною поверхнею правильній призми називається сума площ всіх її бічних граней.

Повною поверхнею правильній призми називається сума її бічної поверхні і площ основ.

Бічна поверхня правильній призми дорівнює добутку периметра основи на бічне ребро.

Правильна трикутна призма.

Правильна шестикутна призма.

ЗАДАЧА:

Знайти площу бічної поверхні правильної шестикутної призми, якщо сторона її основи дорівнює  8 см, а висота – 9 см.

S_б = P_осн× H,

P_осн = 6a = 6 × 8 = 48 (см),

H = BB₁ = 9 см.

S_б = 48×9 = 432 (см²).

ВІДПОВІДЬ:  432 см²

ЗАДАЧА:

Кожне ребро правильної трикутної призми дорівнює  а. через сторону основи і середину осі проведено площину. Знайти площу цього перерізу і обчислити її при  а = 7,6 см.

Дано правильну призму, всі ребра якої   

АА₁ = АВ = ВС = СА = а.

Через ребро основи  ВС  і середину  D  осі  ОО₁ проводимо площину, яка перетинає основу  А₁В₁С₁  по прямій, паралельний до  В₁С₁. Точки перетину цієї прямої з ребрами  А₁В₁  і  А₁С₁  відповідно позначимо через  М  і  N. Сполучивши точки  М  і  В, N  і  С, дістанемо переріз  ВМNС. Оскільки  МN ∥ ВС, то  ВМNС – трапеція і її висотою буде відрізок  PQ (LP ⊥ BC, отже, і  QP ⊥ BC). Тоді площа перерізу  ВMNС

За умовою задачі  ВС = а, 

∆ DОP= ∆ DO₁Q (OD = DО₁, 

∠ РDО = ∠ QDО₁  

і ці трикутники прямокутні). Тоді

(як радіус вписаного кола в  ∆ АВС). З прямокутника  LQО₁О  дістанемо

Оскільки  QL = AA₁ = a, то з прямокутного  ∆ QLP  знаходимо

З подібності  ∆ A₁MN  і  ∆ A₁B₁C₁ (MN ∥ B₁C₁)  маємо

MN = ¹/₃B₁C₁ = ¹/₃ a.

Підставляючи знайдені значення  BC, PQ  і  MN  у формулу площі перерізу, знайдемо

ЗАДАЧА:

У правильній трикутній призмі  АВСА₁В₁С₁  сторона основи дорівнює  8 см, а бічне ребро – 2 см. Через сторону  АС  нижньої основи і середину сторони  А₁В₁  верхньої проведено площину. Знайдіть площу утвореного перерізу призми.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

АВСА₁В₁С₁ – правильна трикутна призма,

АВ = 8 см, АА₁ = 2 см. Якщо  М – середина  А₁В₁, то А₁М = 4 см. Переріз  АМNС  проходить через сторону  АС  і точку  М – середину  А₁В₁. Ця площина перетинає паралельні площини основ по паралельних прямих, тому вона перетинає верхню основу по відрізку  МN ∥ А₁С₁. Тоді  МN – середня лінія трикутника  А₁В₁С₁. АМNС – трапеція. МN = ¹/₂ А₁С₁ = 4 (см). У трапеції  АМNС  проведемо висоти  МК  і NF, тоді  KF = 4 см.

З  ∆ AA₁M (∠ A₁ = 90°),

З  ∆ AKM (∠ K = 90°),

ВІДПОВІДЬ:  24 см²

ЗАДАЧА:

Діагональ правильної чотирикутної призми дорівнює  15 см, а діагональ бічної грані – 12 см. Знайдіть площу бічної поверхні призми.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  АВСDА₁В₁С₁D₁ – задана правильна призма,

АС₁ = 15 см, DС₁ = 12 см. 

Оскільки  АD ⊥ (DCС₁), то  АD ⊥ DC₁. 

З  ∆ DD₁C (∠ D₁ = 90°),

Отже,

S_б.п. = 4 ∙ AD ∙ DD₁ = 4 ∙ 9 ∙ 3√͞͞͞͞͞7  = 108√͞͞͞͞͞7 (см²).

ВІДПОВІДЬ:  108√͞͞͞͞͞7 (см²)

ЗАДАЧА:

У правильній чотирикутній призмі  АВСDА₁В₁С₁D₁  сторона основи дорівнює  8√͞͞͞͞͞2 см, а бічне ребро – 3 см. Через діагональ  ВD  нижньої основи і середину сторони  В₁С₁  верхньої проведено площину. Знайдіть площу утвореного перерізу призми.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  АВСDА₁В₁С₁D₁ – правильна чотирикутна призма,

АВСD – квадрат, АD = 8√͞͞͞͞͞2 см, СС₁ = 3 см. Переріз проходить через діагональ  ВD  і точку  М – середину  В₁С₁. Ця площина перетинає паралельні площини основ по паралельних прямих, тому вона перетинає верхню основу по відрізку  МN ∥ BD. Тоді  МN ∥ B₁D₁  і  MN – середня лінія трикутника  В₁С₁D₁.

MN = ¹/₂ B₁D₁ = ¹/₂ BD.

З  ∆ BAD (∠ A = 90°): 

BD = AD√͞͞͞͞͞2 = 16 (см). Тоді

MN = 16 : 2 = 8 (см).

Нехай  F₁ – точка перетину  A₁C₁  і  MN. Проведемо 

F₁F ⊥ AC, F₁F = C₁C = 3 см.

Точка  F –  середина  ОС.

OF = ¹/₂ OC = ¹/₂ AC = 16 : 4 = 4 (см).

З  ∆ OFF₁ (∠ F = 90°):

У рівнобічній трапеції  ВМND  відрізок  F₁O, який сполучає середини основ, є висотою трапеції. Тому

ВІДПОВІДЬ:  60 см²

ЗАДАЧА:

Бічне ребро правильній призмі  АВСDА₁В₁С₁D₁  дорівнює  √͞͞͞͞͞161 см, а діагональ призми – 17 см. Знайдіть площу чотирикутника  АВ₁С₁D.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  АВСDА₁В₁С₁D₁ – задана правильна призма,

АС₁ = 17 см, СС₁ = √͞͞͞͞͞161 см.

Оскільки  АD ⊥ (DCС₁), то  А₁В₁С₁D – прямокутник.

З  ∆ АС₁С (∠ С = 90°):

Шукана площа:

ВІДПОВІДЬ:  120 см²

Вирішення стереометричних задач за допомогою тригонометрії.

ЗАДАЧА:

Сторона основи правильної трикутної призми  АВСА₁В₁С₁  дорівнює  8√͞͞͞͞͞3 см. На ребрі  ВВ₁  позначено точку  К  так, що  

ВК : КВ₁ = 3 : 5. 

Знайти тангенс кута між площинами  АВС  і  АКС, якщо відстань між прямими  ВС  й  А₁С₁  дорівнює  16 см.

Прямі  ВС  і  А₁С₁ – мимобіжні, СС₁ – їх спільний перпендикуляр, бо правильна призма є прямою і її бічне ребро перпендикулярне до площин основ, а отже, і до сторін основ  ВС  і  А₁С₁. Отже,  СС₁ = 16 см. Тоді  

ВВ₁ = СС₁ = 16 см.

Нехай  ВК = 3х см, тоді  КВ₁ = 5х см. Звідки  

3х + 5х = 16, тоді  
х = 2. 
ВК = 3х = 6 (см). 

Позначимо точку D – середину сторони  АС. Очевидно, що  ВD ⊥ АС, а значить, КD ⊥ АС  за теоремою про три перпендикуляри. Оскільки  КD ⊥ АС  і  ВD ⊥ АС, то кут  КDВ – лінійний кут двогранного кута утвореного площинами  АВС  і  АКС.

З рівностороннього трикутника  АВС:

Із прямокутного трикутника  КВD:

Отже, тангенс кута між площинами  АВС  й  АКС  дорівнює  0,5.

ВІДПОВІДЬ:  0,5.

  

Завдання до уроку 4

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Прямі і площині у просторі
• Урок 2. Пряма призма
• Урок 3. Похила призма
• Урок 5. Паралелепіпед
• Урок 6. Прямокутний паралелепіпед
• Урок 7. Куб
• Урок 8. Піраміда
• Урок 9. Правильна піраміда
• Урок 10. Зрізана піраміда
• Урок 11. Циліндр
• Урок 12. Вписана і описана призма
• Урок 13. Конус
• Урок 14. Зрізаний конус
• Урок 15. Вписана і описана піраміда
• Урок 16. Сфера і куля
• Урок 17. Комбінації тіл