Урок 14. Зрізаний конус

воскресенье, 21 января 2018 г.

Урок 14. Зрізаний конус

ВІДЕОУРОК

Розглянемо довільний конус і проведемо площину паралельну до основи конуса. Ця площина перетинається з конусом по кругу і розбиває конус на дві частини. Одна з цих частин є конусом, а іншу називають зрізаним конусом.

Зрізаним конусом називається частина конуса, що лежить між його основою і січною площиною, паралельною до основи.

Основами зрізаного конуса називається основа повного конуса, з якого одержано зрізаний, і частина січної площини, обмежена конічною поверхнею (круг).

Твірною зрізаного конуса називається частина твірної повного конуса, що лежить між основами зрізаного конуса.

Висотою зрізаного конуса називається віддаль між його основами.

Переріз зрізаного конуса площиною, який проходить через його вісь, називають осьовим перерізом зрізаного конуса.

Осьовий переріз зрізаного конуса – рівнобічна трапеція, основи якої – діаметри основ конуса, бічні сторони – твірні зрізаного конуса, висота цієї трапеції дорівнює висоті зрізаного конуса.

Бічна і повна поверхні зрізаного конуса.

За величину бічної поверхні зрізаного конуса приймається границя, до якої наближається величина бічної поверхні правильної вписаної в нього (або описаної навколо нього)зрізаної піраміди при необмеженому збільшенні числа її бічних граней.

Бічна поверхня зрізаного конуса дорівнює добуткові суми довжин кіл основ на половину твірної.

S_бічн = πL(R + r),

де R і r – радіуси основ зрізаного конуса, а – довжина твірної.

Щоб знайти площу повної поверхні зрізаного конуса необхідно до площі його бічної поверхні додати площі двох його основ.

Повна поверхня зрізаного конуса дорівнює сумі бічної поверхні і площ основ.

S_повн = πL(R + r) + πR² + πr².

Бічна поверхня зрізаного конуса дорівнює добутку висоти тіла на довжину кола, радіус якого є перпендикуляром, поставленим до твірної з її середини до перетину з віссю.

Бічна поверхня зрізаного конуса дорівнює

S_бічн = 2π × ОА × О₁О₂.

Розгортка зрізаного конуса.

Якщо поверхню зрізаного конуса розрізати по твірній і колах основ і розгорнути її так, щоб бічна поверхня разом з основами лежала в одній площині, то на площині одержимо фігуру, яка називається розгорткою зрізаного конуса.

Подібні циліндри і конуси.

Два циліндри, конуси або зрізані конуси називаються подібними, якщо подібні їх осьові перерізи.

Бічні і повні поверхні подібних циліндрів, конусів і зрізаних конусів відносяться, як квадрати їх відповідних лінійних елементів. (радіусів основ, висот, твірних).

ЗАДАЧА:

Визначити бічну поверхню зрізаного конуса, якщо його твірна утворює з площиною основи кут 60°, а площа осьового перерізу дорівнює S.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай дано зрізаний конус СА з площею осьового перерізу S і ∠ ABO = 60°. Знайти бічну поверхню S_x зрізаного конуса.

У рівнобічній трапеції ВАС з вершини А на основу СВ опустимо АМ ⊥ СВ. Позначимо

АВ = L, ОВ = R, О₁А = r.

У прямокутному ∆ АМВ за умовою ∠ МАВ = 30°, тому

За умовою задачі площа осьового перерізу

(R + r)H = S,

або

Помноживши обидві частини останньої рівності на число π, одержимо

Враховуючи, що бічна поверхня зрізаного конуса

S_x = πL(R + r),

знаходимо

ВІДПОВІДЬ:

ЗАДАЧА:

Твірна зрізаного конуса дорівнює 2а і нахилена до основи піл кутом 60°. Радіус однієї основи вдвічі більше радіуса другої основи. Знайти кожний радіус.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай твірна зрізаного конуса АВ = 2а, а кут нахилу твірної до площини основи конуса ∠ ВАО₁ = 60°.

Користуючись умовою

АО₁ = 2ВО,

Опустимо з точки В в площину нижньої основи перпендикуляр

ВК ⊥ АО₁ тоді

ВО = КО₁ = АК.

З ∆ АВК АК = АВ cos∠ ВАК

АК = 2а cos 60° = а.

Тоді

АК = КО₁ = ВО = а, АО₁ = 2а.

ВІДПОВІДЬ: а, 2а.

Завдання до уроку 14

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

воскресенье, 21 января 2018 г.