Урок 15. Вписана і описана піраміда

понедельник, 22 января 2018 г.

Урок 15. Вписана і описана піраміда

ВІДЕОУРОК

Піраміда, вписана у конус.

Пірамідою, вписаною в конус, називається така піраміда, основа якої є багатокутник, що вписаний в окружність основи конуса, а вершиною є вершина конуса.

При цьому конус називають описаним навколо піраміди. Бокові ребра піраміди, вписаної в конус, є твірними конуса.

Для того, щоб навколо піраміди можна було описати конус, необхідно і достатньо, щоб бічні ребра піраміди мали однакову довжину.

Властивості піраміди, вписаної у конус, такі:

– конус можна описати навколо піраміди, якщо її основою є многокутник, навколо якого можна описати коло, а висота піраміди проходить через центр цього кола;

– радіус основи конуса дорівнює радіусу кола R, описаного навколо основи піраміди, а висота конуса Н дорівнює висоті піраміди.

Піраміда, описана навколо конуса.

Дотичною площиною до конуса називається площина, що проходить через твірну конуса й перпендикулярна площині осьового перерізу, що містить цю твірну.

Пірамідою, описаною навколо конуса, називається піраміда, у якої основою служить багатогранник, описаний біля основи конуса, а вершина спів падає з вершиною конуса.

При цьому конус називають вписаним у піраміду. Площини бокових граней описаної піраміди є дотичними площинами конуса.

Для того, щоб в піраміду можна було вписати конус, необхідно і достатньо, щоб в піраміди можна було вписати коло, а основа висоти піраміди була центром цього кола.

Виходячи з означення, маємо властивості піраміди, описаної навколо конуса:

– конус можна вписати в піраміду, якщо її основою є многокутник, в який можна вписати коло, а висота піраміди проходить через центр цього кола;

– радіус основи конуса дорівнює радіусу кола r, вписаного в основу піраміди, а висота конуса Н дорівнює висоті піраміди.

ЗАДАЧА:

В трикутної піраміди сторони основи дорівнюють 13, 20 і 21, а кожне бічне ребро дорівнює 36. Знайти бічну поверхню конуса, описаного навколо піраміди.

Бічна поверхня конуса

S_бічн= πRL.

Твірна конуса дорівнює бічному ребру вписаної в нього піраміди, тобто L = 36. Радіус основи конуса R дорівнює радіусу кола, описаного навколо основи піраміди.

За відомою з планіметрії формулою знаходимо

Тоді

S_бічн= πRL = 390π.

ВІДПОВІДЬ:

S_бічн= 390π ≈ 1225,22 (кв. од.)

ЗАДАЧА:

Навколо конуса, висота якого дорівнює 10 см, описано піраміду, основою якої є ромб є висотою 20 см і гострим кутом 30°. Знайти кут між твірною конуса і площиною його основи и площу бічної поверхні піраміди.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Оскільки піраміду описано навколо конуса, то всі її бічні грані мають рівні висоти і нахилені до основи під однаковими кутами.

Проведемо МN (твірну конуса, або висоту бічної грані піраміди): МN ⊥ АВ, ОN – її проекція, отже ОN ⊥ АВ (за теоремою про три перпендикуляри). ОN – радіус кола, вписаного в ромб, дорівнює половині висоти ромба. ОN = 10 см.
∠ MNO – кут між твірною і основою,

∠ MNO = 60°, ∠ NМO = 30°,

MN = 20 cм, АD = 2 ∙ 2r = 40 (cм).

Площа бічної поверхні піраміди:

S_б = 4S_АМВ = 2 ∙ AB ∙ MN =

= 2 ∙ 40 ∙ 20 = 1600 (см²).

ЗАДАЧА:

Навколо піраміди, сторони основи якої дорівнюють 10 см, 10 см, 12 см, а висота 8 см, описано конус. Знайти площу осьового перерізу конуса.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай радіус основи дорівнює R, а висота – Н. Тоді площа осьового перерізу конуса

S_п = ¹/₂∙ 2R ∙ H = RH.

Висота конуса дорівнює висоті піраміди, тому Н = 8 см.

Радіус конуса знайдемо як радіус кола, описаного навколо трикутника зі сторонами 10 см, 10 см, 12 см. Використаємо формулу:

де а, b, с – сторони трикутника, S – його площа.
За формулою Герона.
Маємо
Тоді
Тоді

S_пер = 6,25 ∙ 8 = 50 (см²).

ЗАДАЧА:

В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з катетами 6 см і 8 см, а двогранні кути при основі піраміди дорівнюють 60°. Знайти висоту конуса, вписаного у піраміду.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай у трикутну піраміду з основою АВС і вершиною S вписано конус. Основа висоти конуса точка О – центр кола, вписаного в ∆ АВС.
Нехай точка М – точка дотику кола, вписаного в ∆АВС, до сторони АВ. Позначимо ОМ = R – радіус кола, вписаного в ∆ АВС, і також радіус основи конуса.

ОМ ⊥ АВ, за теоремою про три перпендикуляри SМ ⊥ АВ, тому ∠ SМО лінійній кут двогранного кута при ребрі основи піраміди. За умовою ∠ SМО = 60°.

За відомою формулою радіус кола, вписаного у прямокутний трикутник, знаходиться за формулою
де а, b – катети, с – гіпотенуза.
За умовою АВ = 6 см, ВС = 8 см – катети. Тоді гіпотенуза:

SО – висота піраміди і конуса.

В ∆OSM (∠O = 90°):

тоді

ОS = 2tg 60° = 2√͞͞͞͞͞3 (см).

ЗАДАЧА:

У правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює α. Знайдіть площу повної поверхні вписаного конуса, якщо площа основи піраміди дорівнює Q.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

У правильній чотирикутній піраміді SАВСD плоский кут при вершині дорівнює α, тобто ∠ DSС = α.
В її основі лежить квадрат АВСD, площа якого, за умовою, дорівнює Q. З формули для обчислення площі квадрата знайдемо його сторону

СD = √͞͞͞͞͞Q.

Точка О – центр основи конуса, вписаного в дану піраміду, тоді ОМ – радіус конуса, тому ОМ ⊥ СD, звідси за теоремою про три перпендикуляри SМ ⊥ СD. Виходячи з цього, в ∆ SDС висота SМ є його бісектрисою і медіаною, звідси DМ = МС, ∠ СSМ = ^α/₂. За властивістю правильних чотирикутників, описаних навколо кола, маємо, що
тоді
З ∆ SMC (∠ SMC = 90°):

Площа повної поверхні конуса обчислюється за формулою:

S_{пов. кон.} = S_осн. + S_{бічн.
кон}_.,

S_{пов. кон.} = π ∙ OM² + π ∙ OM ∙ SM,
ВІДПОВІДЬ: ^π^Q/₄ (ctg ^α/₂ + 1)

ЗАДАЧА:

Навколо конуса з радіусом основи 6 см і висотою 8 см описано правильну трикутну піраміду. Знайдіть площу бічної поверхні цієї піраміди.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай на малюнку зображено даний конус,
SО – відрізок осі, S – вершина, О – центр основи, r = 6 см, SО = 8 см. Навколо конуса описано правильну трикутну піраміду SАВС, ∆ АВС – правильний, описаний навколо кола основи конуса, О – центр трикутника, SО є висотою піраміди, а всі грані конуса є дотичними до поверхні конуса. Позначимо сторону трикутника а. Проведемо апофему бічної грани SАС:
SN – висота і медіана ∆ АSС, N – середина АС, ON – радіус кола, вписаного в трикутник, – радіус конуса.
a = 12√͞͞͞͞͞3 см, AC = 12√͞͞͞͞͞3 см.

SN² = SO² + ON²,

SN² = 8² + 6² = 100,

SN = 10 см.

S_б = 3∙ ¹/₂AC∙ SN =

= ³/₂∙12√͞͞͞͞͞3 ∙10 = 180√͞͞͞͞͞3 см².

ВІДПОВІДЬ: 180√͞͞͞͞͞3 см²

Завдання до уроку 15

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

понедельник, 22 января 2018 г.