Урок 9. Правильна піраміда

вторник, 9 января 2018 г.

Урок 9. Правильна піраміда

ВІДЕОУРОК

Правильна піраміда.

Піраміда називається правильною, якщо її основа – правильний многокутник і висота піраміди проходить через центр цього многокутника.

Апофемою правильної піраміди називається висота її бічної грані.

Площа бічної поверхні піраміди (S_бічн) – це сума площ її бічних граней. Для обчислення площі бічної поверхні правильної піраміди є зручна формула:

де P – периметр основи, h_бічн– апофема привільної піраміди. Ця формула читається так:

Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему піраміди.

ПРИКЛАД:

Розглянемо розгортку чотирикутної піраміди, основою якої є квадрат, а бічними гранями – чотири рівні рівнобедрені трикутники.

Площа бічної поверхні такої піраміди дорівнює сумі площ чотирьох трикутників. Оскільки вони рівні між собою, то, знайшовши площу одного трикутника і помноживши її на 4, матимемо площу бічної поверхні.

Площа повної поверхні піраміди обчисляється за формулою:

S_пір = S_бічн + S_осн

Правильна чотирикутна піраміда.

Правильна трикутна піраміда.

Правильна шестикутна піраміда.

ЗАДАЧА:

Знайдіть бічну поверхню піраміди, у якої площа основи Q, а двограннім кути при основі φ.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай A₁A₂ … A_n – многокутник в основі піраміди.

Проведемо висоту піраміди МО. За теоремою

Площа ортогональної проекції многокутника на площину дорівнює добутку його площі на косинус кута між площиною многокутника і площиною проекції.

Аналогічно дістанемо:

і т. д.
Додавши ці рівності почленно, у лівій частині матимемо бічну поверхню піраміди, а в правій – площу основи Q, поділену на cos φ. Отже, площа бічної поверхні піраміди дорівнює:

ЗАДАЧА:

Бічне ребро правильної трикутної піраміди нахилене до площини основи під кутом α. Знайдіть двогранний кут при ребрі основи піраміди.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай SАВС – задана правильна піраміда,
∠ SСК = α, SО – висота. Позначимо АВ = а. Проведемо SК ⊥ АВ, СК ⊥ АВ. Отже ∠ SСК – шуканий двогранний кут.

З ∆ SОК (∠О = 90°):

Оскільки ∆ ABC – рівносторонній, то
тоді
Отже,

Звідки

∠ SKO = arctg(2tgα).

ВІДПОВІДЬ: arctg(2tgα)

ЗАДАЧА:

Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди нахилене до площини основи під кутом α. Знайдіть двогранний кут при ребрі основи піраміди.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай SАВСD – задана правильна чотирикутна піраміда,
SО – її висота, ОА – проекція SА на площину основи. Тому ∠ SАO – кут нахилу бічного ребра SА до площини основи, ∠ SАO = α. Проведемо SК ⊥ DС. За теоремою про три перпендикуляри ОК ⊥ DС. Тоді ∠ SКO – кут нахилу бічної грані до площини основи. Позначимо АD = а. Оскільки АВСD – квадрат, то

ОК = ¹/₂ АD = ¹/₂ а.

Оскільки АС і ВD – діагоналі квадрата, то АС ⊥ ВD.

З рівнобедреного ∆ АОD (∠О = 90°):
Звідки

∠ SKO = arctg(√͞͞͞͞͞2 tgα).

ВІДПОВІДЬ: arctg(√͞͞͞͞͞2 tgα)

ЗАДАЧА:

Висота правильної трикутної піраміди дорівнює 15 см, а апофема – 17 см. Обчисліть площу бічної поверхні піраміди.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай SАВСD – правильна піраміда,
SO ⊥ (ABС), SO = 15 см, SE ⊥ AС,
SE = 17 см, AS = SC, тому AE = EC.
Точка О – центр рівностороннього трикутника.
Площа бічної поверхні:

ВІДПОВІДЬ: 408√͞͞͞͞͞3 (см²)

ЗАДАЧА:

Сторона основі правильної чотирикутної піраміди дорівнює 2 см, а висота піраміди – 2√͞͞͞͞͞2 см. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

SABCD – правильна чотирикутна піраміда, АВСD – квадрат,
АВ = 2 см, SO ⊥ (ABС), SО = 2√͞͞͞͞͞2 см, SN ⊥ СD,
CN = ND = ON = ¹/₂ AB = ¹/₂∙ 2 = 1 (см).

Площа бічної поверхні:

ВІДПОВІДЬ: 12 (см²)

ЗАДАЧА:

Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4 см, а бічна грань нахилена до площини основи під кутом 60°. Знайдіть площу повної поверхні піраміди.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

SABCD – правильна піраміда, SO – висота,
сторона основи дорівнює 4 см. Проведемо SK ⊥ DC. За теоремою про три перпендикуляри OK ⊥ DC. Тоді ∠SKO – кут нахилу бічної грані до площини основи. За умовою,
∠SKO = 60°, OK = ¹/₂ AD = 2 (см).

ВІДПОВІДЬ: 48 (см²)

ЗАДАЧА:

Бічне ребро правильної трикутної піраміди дорівнює 4 см і утворює з площиною основи кут 30°. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

SABCD – правильна піраміда,
SA = 4 см, SO ⊥ (ABС). ∠SAO = 30°,

З ∆ AOS (∠О = 90°):

AO = SA cos ∠SAO = 4 cos 30° = 2√͞͞͞͞͞3 (см).

SO = ¹/₂ SA = ¹/₂ ∙ 4 = 2 (см).

SE ⊥ BС, оскільки SB = SC, то

BE = EC і AE ⊥ BС,

AE = AO : 2 ∙ 3 = 2√͞͞͞͞͞3 : 2 ∙ 3 = 3√͞͞͞͞͞3 (см).

Площа бічної поверхні:

S_б = 3 ∙ ¹/₂ BC ∙ SE = ³/₂∙6 ∙√͞͞͞͞͞7 = 9√͞͞͞͞͞7 (см²).

ВІДПОВІДЬ: 9√͞͞͞͞͞7 см²

Завдання до уроку 9

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

вторник, 9 января 2018 г.