Урок 5. Паралелепіпед

понедельник, 25 декабря 2017 г.

Урок 5. Паралелепіпед

ВІДЕОУРОК

Паралелепіпедом називається призма, основами якої є паралелограми.

Прямій паралелепіпед.

Паралелепіпед, бічні ребра якого перпендикулярні до площин основ, називається прямим.

Деякі властивості прямого паралелепіпеда.

– в паралелепіпеді протилежні грані рівні і паралельні;

– діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться в ній пополам;

– сума квадратів всіх діагоналей паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів усіх його ребер;

– точка перетину діагоналей паралелепіпеда і точка перетину діагоналей основ лежать на одній прямій.

Поверхня прямого паралелепіпеда.

Бічною поверхнею прямого паралелепіпеда називається сума площ всіх її бічних граней.

Повною поверхнею прямого паралелепіпеда називається сума її бічної поверхні і площ основ.

Бічна поверхня прямого паралелепіпеда дорівнює добутку периметра перпендикулярного перерізу на бічне ребро.

Бічна поверхня прямого паралелепіпеда дорівнює добутку периметра основи на висоту прямого паралелепіпеда.

ЗАДАЧА:

Основою прямої призми є паралелограм зі сторонами 9 см і 14 см і кутом між ними 30°. Висота призми – 15 см. Обчислите площу повної поверхні призми.

S_п = S_б + 2S_осн.

S_осн = 9 × 14 × sin 30° =
9 × 14 × ¹/₂ = 63 (см²).

Р_осн = 2 × (AB + AD) =
= 2 × (9 + 14) = 46 (см).

S_б = 46 × 15 = 690 (см²).

S_п = 2 × 63 + 690 =
= 126 + 690 = 816 (см²).

ВІДПОВІДЬ: 816 см².

Похилий паралелепіпед.

Паралелепіпед, бічні ребра якого не перпендикулярні до площин основ, називається похилим.

Властивості похилого паралелепіпеда.

– в похилом паралелепіпеді протилежні грані рівні і паралельні;

– діагоналі похилого паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться в ній пополам;

– сума квадратів всіх діагоналей похилого паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів усіх його ребер;

Поверхня похилого паралелепіпеда.

Бічною поверхнею похилого паралелепіпеда називається сума площ всіх її бічних граней.

Повною поверхнею похилого паралелепіпеда називається сума її бічної поверхні і площ основ.

Бічна поверхня похилого паралелепіпеда дорівнює добутку периметра перпендикулярного перерізу на бічне ребро.

ЗАДАЧА:

Основа похилого паралелепіпеда – квадрат зі стороною а. Одна з вершин другої основи проектується в центр цього квадрата. Висота паралелепіпеда дорівнює Н. Знайти бічну поверхню паралелепіпеда.

Нехай основою похилого паралелепіпеда

ABCDA₁B₁C₁D₁

є квадрат ABCD зі стороною АВ = а, О – центр цього квадрата, А₁О = Н – висота паралелепіпеда.

Проведемо ОК ⊥ АD, ОМ ⊥ АВ. Тоді за теоремою про три перпендикуляри

А₁К ⊥ АВ, А₁M ⊥ АВ,

тобто А₁К іА₁M – висоти бічних граней

ADD₁A₁ та ABB₁A₁

відповідно. Прямокутні трикутники A₁OK та A₁OM рівні (A₁O – спільний катет і ОК = ОМ = ^a/₂), звідки A₁K = A₁M . Оскільки, крім того, AD = AB, то

З ∆ A₁OM (∠ O = 90°).

Отже,

ВІДПОВІДЬ:

ЗАДАЧА:

В основі похилого паралелепіпеда лежить прямокутник. Бічне ребро утворює із суміжними сторонами основи кути, кожний з яких дорівнює по 60°. Знайти кут, який утворює це бічне ребро з площиною основи паралелепіпеда.

Нехай ABCDA₁B₁C₁D₁ – заданий похилий паралелепіпед. ABCD – прямокутник,

∠ A₁AD = ∠ A₁AB = 60°,
A₁K – висота паралелепіпеда.

Проведемо КN ⊥ АD і KM ⊥ АВ. ∆ A₁NA (∠ N = 90°).

∠ AA₁N = 90° – 60° = 30°.

Отже, AN = ¹/₂AA_1. Аналогічно у

∆ A₁MA ∠ AA₁M = 30°,

тому AM = ¹/₂AA₁. Оскільки
AN = AM = ¹/₂AA₁, то
AMNK – квадрат і прямокутний трикутник ANK – рівнобедрений.

З ∆ A₁KA (∠ K = 90°),

Отже, ∠ A₁АM = 45°.

ВІДПОВІДЬ: 45°.

Завдання до уроку 5

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

понедельник, 25 декабря 2017 г.