Уроки математики и физики (RU + UA)

среда, 23 января 2019 г.

Урок 11. Основные тригонометрические тождества

ВИДЕО УРОК

Формулы тригонометрии – это соотношения между основными тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом.

Выражение, в котором переменная содержится под знаками тригонометрических функций, называют тригонометрическим.

Для преобразования тригонометрических выражений используют свойства тригонометрических функций и формулы тригонометрии.

Тригонометрическим тождеством называется равенство, в которое входят тригонометрические функции и которое удовлетворяется произвольным допустимым значением угла – аргумента тригонометрических функций, но не удовлетворяется, если каждую в отдельности тригонометрическую функцию заменить произвольной величиной.

Основные тригонометрические тождества.
Из пяти основных тождеств вытекают три дополнительные.

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла.

Введём на плоскости прямоугольную систему координат  хОу. Пусть  α – произвольный угол, а  ОМ – соответствующий этому углу радиус единичной окружности, так что угол, составленный с осью  Ох  этим радиусом  ОМ, равен  α.
1. Проведём через точку  М  прямую, перпендикулярную к оси  Ох, и пуст  Р – точка, в которой эта прямая пересечёт ось  Ох. Длины отрезков  ОР  и  РМ  равны абсолютным величинам координат точки  М:

ОР = |х|, РМ = |у|,

а длина отрезка  ОМ  равна единице:

ОМ = 1.

Из прямоугольного треугольника  ОРМ  имеем:

 ОР2 + РМ2 = ОМ2,

или

|х|2 + |у|2 = 1,

или

х2 + у2 = 1.

Но 

х = sin α,

у = cos α,

а поэтому

sin2 α + cos2 α = 1.

Если точка  М  совпадает с одной из точек
то одна из координат точки  М  равна  +1  или  –1, другая нулю, то есть формула

х2 + у2 = 1,

а следовательно, и формула

sin2 α + cos2 α = 1

верны и в этом случае.

2. Из формул

х = cos α, у = sin α,

tg α = у/х, сtg α = х/у

находим
3. Так как
Разделив обе части тождества

sin2 α + cos2 α = 1

один раз на  cos2 α, другой раз на  sin2 α, получим:
или

sec2 α = 1 + tg2 α,

cosec2 α = 1 + ctg2 α.

Формула

sin2 α + cos2 α = 1

верна при всех значениях  α.

Формулы
верны при всех значениях  α  кроме тех, при которых не определены (не существуют) функции  tg α  и  sec α, то есть значения

α = (2k + 1) π/2,

где  k – любое целое число.

Формулы
верны при всех значениях  α  кроме  α = ,

где  k – любое целое число, так как, если  α = , то функция  ctg α  и  cosec α  не определены (не существуют).

Наконец, формула

tg αctg α = 1

верна при всех значениях α   кроме тех, при которых не определена хотя бы одна из функций  tg α  и  ctg α, то есть при всех значениях α   кроме

α = /2,

где  k – любое целое число.

Формулы

sec2 α = 1 + tg2 α,

cosec2 α = 1 + ctg2 α

позволяют на чертеже
 
увидеть  sec α  и  cosec α.

sec α – гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами  1  и  tg α, а  соsec α – гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами  1  и  ctg α.

Все восемь формул
могут быть получены на чертеже.
Каждая из формул, связывающих квадраты двух функций

sin2 α + cos2 α = 1,

sec2 α = 1 + tg2 α,

cosec2 α = 1 + ctg2 α,

получается из соответствующего прямоугольника на основании теоремы Пифагора. Остальные же формулы получаются из рассмотрения трёх пар подобных треугольников. Поэтому, чтобы написать ту или другую из восьми формул, достаточно воспроизвести следующий чертёж.
ПРИМЕР:

Упростите выражение:

(1 – cos2 x)tg2 x.

РЕШЕНИЕ:

(1 – cos2 x)tg2 x = sin2 x tg2 x =
ОТВЕТ:

ПРИМЕР:

Упростите выражение:

(cos2 α – 1)сtg2 α.

РЕШЕНИЕ:

Воспользуемся формулами:
получим:
ОТВЕТ:   cos2 α

ПРИМЕР:

Упростите выражение:

(1 + tg2 x)cosx.

РЕШЕНИЕ:

(1 + tg2 x)cos2 x  =
cos2 x + tg2 x cos2 x
= cos2 x + sinx = 1.

ОТВЕТ:  1.

ПРИМЕР:

Вычислите:
cos xесли  
sin = 0,8,
π/2 < х < π.

РЕШЕНИЕ:

sin = 0,8,  
sin2 x + cos2 = 1,
cos2 x = 1 – sin2x =
1 – 0,64 = 0,36.
cos x = 0,6  або  cos x = –0,6.

Так как аргумент принадлежит второй четверти
(π/2 < х < π)то

cos x < 0, cos x = –0,6.

ОТВЕТ:  cos x = –0,6.

ПРИМЕР:

Найдите значение выражения
:
если  ctg x = 1/3.

РЕШЕНИЕ:

Поделим числитель и знаменатель дроби на  
sin x. Так как  ctg x = 1/3, то  sin x  не принимает значение нуль.
ОТВЕТ:  11/13.

ПРИМЕР:

Упростить выражение:
РЕШЕНИЕ:

Имеем
:

ОТВЕТ:
Формулы, которые выражают зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же острого угла, представляют собой пример тригонометрических тождеств. Они справедливы независимо от величины угла.
Для доказательства тригонометрического тождества можно или левую часть тождества преобразовать к правой, или правую часть преобразовать к левой, или каждую из частей тождества преобразовать к одному и тому же выражению.

ПРИМЕР:

Доказать тождество:

tg2 αsin2 α = tg2 α sin2 α.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Преобразуем левую часть этого равенства:
ПРИМЕР:

Доказать справедливость тождества
:
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Первый способ.

Преобразуем правую часть:
Второй способ.

Преобразуем левую часть:

ПРИМЕР:

Доказать справедливость тождества:

cos4 αsin4 α = cos2 α (1 – tg α)(1 + tg α).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Первый способ.

Преобразуем правую часть:

cos2 α (1 – tg α)( 1 + tg α) =

cos2 α (1 – tg2 α) =

cos2 α – sin2 α.

Второй способ.

Преобразуем левую часть:

cos4 αsin4 α =

(cos2 αsin2 α)(cos2 α + sin2 α) =

cos2 αsin2 α.

Правая и левая части данного равенства преобразованы в одно и то же выражение

cos2 αsin2 α.

Отсюда заключаем, что данное тождество справедливо.

ПРИМЕР:

Доказать тождество

3(sin4 α + cos4 α) – 2(sin6 α + cos6 α) = 1.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Преобразуем вначале левую часть равенства, а затем, используя формулу
находим

3(sin4 α + cos4 α) – 2(sin6 α + cos6 α) =
3(sin4 α + cos4 α) – 2(sin2 α + cos2 α) (sin4 α – sin2 α cos2 α + cos4 α)
= 3sin4 α + 3cos4 α – 2sin4 α + 2sin2 α cos2 α – 2cos4 α =
sin4 α + 2sin2 α cos2 α + cos4 α = (sin2 α + cos2 α)2 = 1.

ПРИМЕР:

Доказать тождество

sin3 α (1 + ctg α) + cos3 α (1 + tg α) = sin α + cos α.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

sin3 α (1 + ctg α) + cos3 α (1 + tg α) =
= sin2 α (sin α + cos α) + cos2 α (cos α + sin α)
= (sin α + cos α) (sin2 α + cos2 α) = (sin α + cos α).

Задания к уроку 11

ДРУГИЕ УРОКИ

Комментариев нет:

Отправить комментарий