Урок 11. Основные тригонометрические тождества

ВИДЕО УРОК

Формулы тригонометрии – это соотношения между основными тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом.

Выражение, в котором переменная содержится под знаками тригонометрических функций, называют тригонометрическим.

Для преобразования тригонометрических выражений используют свойства тригонометрических функций и формулы тригонометрии.

Тригонометрическим тождеством называется равенство, в которое входят тригонометрические функции и которое удовлетворяется произвольным допустимым значением угла – аргумента тригонометрических функций, но не удовлетворяется, если каждую в отдельности тригонометрическую функцию заменить произвольной величиной.

Основные тригонометрические тождества.

Из пяти основных тождеств вытекают три дополнительные.

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла.

Введём на плоскости прямоугольную систему координат  хОу. Пусть  α – произвольный угол, а  ОМ – соответствующий этому углу радиус единичной окружности, так что угол, составленный с осью  Ох  этим радиусом  ОМ, равен  α.

1. Проведём через точку  М  прямую, перпендикулярную к оси  Ох, и пуст  Р – точка, в которой эта прямая пересечёт ось  Ох. Длины отрезков  ОР  и  РМ  равны абсолютным величинам координат точки  М:

ОР = |х|, РМ = |у|,

а длина отрезка  ОМ  равна единице:

ОМ = 1.

Из прямоугольного треугольника  ОРМ  имеем:

 ОР² + РМ² = ОМ²,

или

|х|² + |у|² = 1,

или

х² + у² = 1.

Но 

х = sin α,

у = cos α,

а поэтому

sin² α + cos² α = 1.

Если точка  М  совпадает с одной из точек

то одна из координат точки  М  равна  +1  или  –1, другая нулю, то есть формула

х² + у² = 1,

а следовательно, и формула

sin² α + cos² α = 1

верны и в этом случае.

2. Из формул

х = cos α, у = sin α,

tg α = ^у/_х, сtg α = ^х/_у

находим

3. Так как

Разделив обе части тождества

sin² α + cos² α = 1

один раз на  cos² α, другой раз на  sin² α, получим:

или

sec² α = 1 + tg² α,

cosec² α = 1 + ctg² α.

Формула

sin² α + cos² α = 1

верна при всех значениях  α.

Формулы

верны при всех значениях  α  кроме тех, при которых не определены (не существуют) функции  tg α  и  sec α, то есть значения

α = (2k + 1) ^π/₂,

где  k – любое целое число.

Формулы

верны при всех значениях  α  кроме  α = kπ,

где  k – любое целое число, так как, если  α = kπ, то функция  ctg α  и  cosec α  не определены (не существуют).

Наконец, формула

tg α ∙ ctg α = 1

верна при всех значениях α   кроме тех, при которых не определена хотя бы одна из функций  tg α  и  ctg α, то есть при всех значениях α   кроме

α = ^kπ/₂,

где  k – любое целое число.

Формулы

sec² α = 1 + tg² α,

cosec² α = 1 + ctg² α

позволяют на чертеже

 увидеть  sec α  и  cosec α.

sec α – гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами  1  и  tg α, а  соsec α – гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами  1  и  ctg α.

Все восемь формул

могут быть получены на чертеже.

Каждая из формул, связывающих квадраты двух функций

sin² α + cos² α = 1,

sec² α = 1 + tg² α,

cosec² α = 1 + ctg² α,

получается из соответствующего прямоугольника на основании теоремы Пифагора. Остальные же формулы получаются из рассмотрения трёх пар подобных треугольников. Поэтому, чтобы написать ту или другую из восьми формул, достаточно воспроизвести следующий чертёж.

ПРИМЕР:

Упростите выражение:

(1 – cos² x)tg² x.

РЕШЕНИЕ:

(1 – cos² x)tg² x = sin² x tg² x =

ОТВЕТ:

ПРИМЕР:

Упростите выражение:

(cos² α – 1)сtg² α.

РЕШЕНИЕ:

Воспользуемся формулами:

получим:

ОТВЕТ:   –cos² α

ПРИМЕР:

Упростите выражение:

(1 + tg² x)cos² x.

РЕШЕНИЕ:

(1 + tg² x)cos² x  =

cos² x + tg² x cos² x

= cos² x + sin² x = 1.

ОТВЕТ:  1.

ПРИМЕР:

Вычислите:

cos x, если  

sin x = 0,8,

^π/₂ < х < π.

РЕШЕНИЕ:

sin x = 0,8,  

sin² x + cos² x = 1,

cos² x = 1 – sin²x =

1 – 0,64 = 0,36.

cos x = 0,6  або  cos x = –0,6.

Так как аргумент принадлежит второй четверти

(^π/₂ < х < π), то

cos x < 0, cos x = –0,6.

ОТВЕТ:  cos x = –0,6.

ПРИМЕР:

Найдите значение выражения:

если  ctg x = ¹/₃.

РЕШЕНИЕ:

Поделим числитель и знаменатель дроби на  sin x. Так как  ctg x = ¹/₃, то  sin x  не принимает значение нуль.

ОТВЕТ:  ¹¹/₁₃.

ПРИМЕР:

Упростить выражение:

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

ОТВЕТ:

Формулы, которые выражают зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же острого угла, представляют собой пример тригонометрических тождеств. Они справедливы независимо от величины угла.
Для доказательства тригонометрического тождества можно или левую часть тождества преобразовать к правой, или правую часть преобразовать к левой, или каждую из частей тождества преобразовать к одному и тому же выражению.

ПРИМЕР:

Доказать тождество:

tg² α – sin² α = tg² α sin² α.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Преобразуем левую часть этого равенства:

ПРИМЕР:

Доказать справедливость тождества:

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Первый способ.

Преобразуем правую часть:

Второй способ.

Преобразуем левую часть:

ПРИМЕР:

Доказать справедливость тождества:

cos⁴ α – sin⁴ α = cos² α (1 – tg α)(1 + tg α).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Первый способ.

Преобразуем правую часть:

cos² α (1 – tg α)( 1 + tg α) =

cos² α (1 – tg² α) =

cos² α – sin² α.

Второй способ.

Преобразуем левую часть:

cos⁴ α – sin⁴ α =

(cos² α – sin² α)(cos² α + sin² α) =

cos² α – sin² α.

Правая и левая части данного равенства преобразованы в одно и то же выражение

cos² α – sin² α.

Отсюда заключаем, что данное тождество справедливо.

ПРИМЕР:

Доказать тождество

3(sin⁴ α + cos⁴ α) – 2(sin⁶ α + cos⁶ α) = 1.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Преобразуем вначале левую часть равенства, а затем, используя формулу

находим

3(sin⁴ α + cos⁴ α) – 2(sin⁶ α + cos⁶ α) =

3(sin⁴ α + cos⁴ α) – 2(sin² α + cos² α) (sin⁴ α – sin² α cos² α + cos⁴ α)

= 3sin⁴ α + 3cos⁴ α – 2sin⁴ α + 2sin² α cos² α – 2cos⁴ α =

sin⁴ α + 2sin² α cos² α + cos⁴ α = (sin² α + cos² α)² = 1.

ПРИМЕР:

Доказать тождество

sin³ α (1 + ctg α) + cos³ α (1 + tg α) = sin α + cos α.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

sin³ α (1 + ctg α) + cos³ α (1 + tg α) =

= sin² α (sin α + cos α) + cos² α (cos α + sin α)

= (sin α + cos α) (sin² α + cos² α) = (sin α + cos α).

Задания к уроку 11

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

• Урок 1. Градусное измерение угловых величин
• Урок 2. Радианное измерение угловых величин
• Урок 3. Основные тригонометрические функции
• Урок 4. Натуральные тригонометрические таблицы
• Урок 5. Периодичность тригонометрических функций
• Урок 6. Область определения и область значения тригонометрических функций
• Урок 7. Знаки тригонометрических функций
• Урок 8. Чётность и нечётность тригонометрических функций
• Урок 9. Тригонометрические функции некоторых углов
• Урок 10. Построение угла по данному значению его тригонометрической функции
• Урок 12. Выражение всех тригонометрических функций через одну из них
• Урок 13. Решение прямоугольных и равнобедренных треугольников с помощью тригонометрических функций
• Урок 14. Теорема синусов
• Урок 15. Теорема косинусов
• Урок 16. Решение косоугольных треугольников
• Урок 17. Примеры решения задач по планиметрии с применением тригонометрии
• Урок 18. Решение практических задач с помощью тригонометрии
• Урок 19. Формулы приведения (1)
• Урок 20. Формулы приведения (2)
• Урок 21. Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций
• Урок 22. Формулы двойных и тройных углов (аргументов)
• Урок 23. Формулы половинного аргумента
• Урок 24. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение  
• Урок 25. Графики функций  y = sin x и y = cos x
• Урок 26. Графики функций y = tg x и y = ctg x
• Урок 27. Обратные тригонометрические функции
• Урок 28. Основные тождества обратных тригонометрических функций
• Урок 29. Выражение одной из аркфункций через другие
• Урок 30. Графики обратных тригонометрических функций
• Урок 31. Построение графиков тригонометрических функций методом геометрических преобразований