Уроки математики и физики (RU + UA)

среда, 23 января 2019 г.

Урок 11. Основні тригонометричні тотожності

ВІДЕО УРОК

Формули тригонометрії – це співвідношення між основними тригонометричними функціями – синусом, косинусом, тангенсом і котангенсом.

Вираз, в якому змінна втримується під знаками тригонометричних функцій, називають тригонометричним.

Для перетворення тригонометричних виразів використовують властивості тригонометричних функцій і формули тригонометрії.

Тригонометричною тотожністю називається рівність, до якої входять тригонометричні функції і яка задовольняється довільним допустимим значенням кута – аргументу тригонометричних функцій, але не задовольняється, якщо кожну тригонометричну функцію зокрема замінити довільною величиною.

Основні тригонометричні тотожності.
З п’яти основних тотожностей випливають три допоміжні.

Співвідношення між тригонометричними функціями одного і того ж кута.

Введемо на площині прямокутну систему координат  хОу. Нехай  α – довільний кут, а  ОМ – відповідає цьому кутку радіус одиничному колі, так що кут, складений з віссю  Ох  цим радіусом  ОМ, дорівнює  α.
1. Проведемо через точку  М  пряму, перпендикулярну до осі  Ох, і нехай  Р – точка, в якій ця пряма перетне вісь  Ох. Довжини відрізків  ОР  і  РМ  рівні абсолютних величин координат точки  М:

ОР = |х|, РМ = |у|,

а довжина відрізка  ОМ  дорівнює одиниці:

ОМ = 1.

З прямокутного трикутника  ОРМ  маємо:

 ОР2 + РМ2 = ОМ2,

або

|х|2 + |у|2 = 1,

або

х2 + у2 = 1.

Але

х = sin α,

у = cos α,

а тому

sin2 α + cos2 α = 1.

Якщо точка  М  збігається з однією з точок
то одна з координат точки  М  дорівнює  +1  або  –1, інша нулю, тобто формула

х2 + у2 = 1,

а отже, і формула

sin2 α + cos2 α = 1

вірні і в цьому випадку.

2. З формул

х = cos α, у = sin α,

tg α = у/х, сtg α = х/у

знаходимо:
3. Так як
Розділивши обидві частини тотожності

sin2 α + cos2 α = 1

один раз на  cos2 α, іншим разом на  sin2 α, отримаємо:
або

sec2 α = 1 + tg2 α,

cosec2 α = 1 + ctg2 α.

Формула

sin2 α + cos2 α = 1

вірна при всіх значеннях  α.

Формули

вірні при всіх значеннях  α  крім тих, при яких не визначені (не існує) функції  tg α  і  sec α, тобто значення

α = (2k + 1) π/2,

де  k – будь-яке ціле число.

Формули
вірні при всіх значеннях  α  крім  α = kπ,

де  k – будь-яке ціле число, так як, якщо  α = kπ, то функція  ctg α  і  cosec α  не визначені (не існує).

Нарешті, формула

tg αctg α = 1

вірна при всіх значеннях  α  крім тих, при яких не визначена хоча б одна з функцій  tg α  і  ctg α, тобто при всіх значеннях  α  крім

α = /2,

де  k – будь-яке ціле число.

Формули

sec2 α = 1 + tg2 α,

cosec2 α = 1 + ctg2 α

дозволяють на кресленні
побачити  sec α  і  cosec α.

sec α – гіпотенуза прямокутного трикутника з катетами  1  і  tg α, а  соsec α – гіпотенуза прямокутного трикутника з катетами  1  і  ctg α.

Всі вісім формул

можуть бути отримані на кресленні.
Кожна з формул, що пов'язують квадрати двох функцій

sin2 α + cos2 α = 1,

sec2 α = 1 + tg2 α,

cosec2 α = 1 + ctg2 α,

виходить з відповідного прямокутника на підставі теореми Піфагора. Решта ж формули виходять з розгляду трьох пар подібних трикутників. Тому, щоб написати ту чи іншу з восьми формул, досить відтворити наступний креслення.
ПРИКЛАД:

Спростити вираз:

(1 – cos2 x)tgx.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

(1 – cos2 x)tgx = sinx tgx =
ВІДПОВІДЬ:

ПРИКЛАД:

Спростити вираз:

(cos2 α – 1)сtg2 α.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Скориставшись формулами:
дістанемо:
ВІДПОВІДЬ:   cos2 α

ПРИКЛАД:

Спростити вираз:

(1 + tg2 x)cosx.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

(1 + tg2 x)cosx  =
cos2 x + tgx cos2 x
= cos2 x + sinx = 1.

ВІДПОВІДЬ:  1.

ПРИКЛАД:

Обчисліть:

cos xякщо  
sin x = 0,8,
π/2 < х < π.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

sin x = 0,8 
sin2 x + cos2 = 1,
cos2 x = 1 – sinx =
1 – 0,64 = 0,36.
cos x = 0,6  або  cos x = –0,6.

Оскільки аргумент належить другій чверті

(π/2 < х < π)то
cos x < 0, cos x = –0,6.

ВІДПОВІДЬ:  cos x = –0,6.

ПРИКЛАД:

Знайдіть значення виразу
:
якщо  ctg x = 1/3.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Поділимо чисельник і знаменник дробу на  
sin x. Оскільки  ctg x = 1/3, то  sin x  не приймає значення нуль.
ВІДПОВІДЬ:  11/13.

ПРИКЛАД:

Спростимо вираз:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо
:
ВІДПОВІДЬ:
Формули, які виражають залежність між тригонометричними функціями одного і того ж гострого кута, є приклад тригонометричних тотожностей. Вони справедливі незалежно від величини кута.

Для доказу тригонометричного тотожності можна або ліву частину тотожності перетворити до правої, або праву частину перетворити до лівої, або кожну з частин тотожності перетворити до одного і того ж висловом.

ПРИКЛАД:

Доведемо тотожність:

tg2 α – sin2 α = tg2 α sin2 α.

ДОВЕДЕННЯ:

Перетворимо ліву частину цієї рівності:
ПРИКЛАД:

Довести справедливість тотожності:
ДОВЕДЕННЯ:

Перший спосіб.

Перетворимо праву частину:

Другий спосіб.

Перетворимо ліву частину:
ПРИКЛАД:

Довести справедливість тотожності:

cos4 α – sin4 α = cos2 α (1 – tg α)(1 + tg α).

ДОВЕДЕННЯ:

Перший спосіб.

Перетворимо праву частину:

cos2 α (1 – tg α)( 1 + tg α) =

cos2 α (1 – tg2 α) =

cos2 α – sin2 α.

Другий спосіб.

Перетворимо ліву частину:

cos4 α – sin4 α =

(cos2 α – sin2 α)(cos2 α + sin2 α) =

cos2 α – sin2 α.

Права і ліва частини даного рівності перетворені в один і той же вираз

cos2 α – sin2 α.

Звідси робимо висновок, що дане тотожність справедливо.

ПРИКЛАД:

Довести тотожність

3(sin4 α + cos4 α) – 2(sin6 α + cos6 α) = 1.

ДОВЕДЕННЯ:

Перетворимо спочатку ліву частину рівності, а далі, скориставшись формулою
знайдемо

3(sin4 α + cos4 α) – 2(sin6 α + cos6 α) =
3(sin4 α + cos4 α) – 2(sin2 α + cos2 α) (sin4 αsin2 α cos2 α + cos4 α)
= 3sin4 α + 3cos4 α – 2sin4 α + 2sin2 α cos2 α – 2cos4 α =
sin4 α + 2sin2 α cos2 α + cos4 α = (sin2 α + cos2 α)2 = 1.

ПРИКЛАД:

Довести тотожність

sin3 α (1 + ctg α) + cos3 α (1 + tg α) = sin α + cos α.

ДОВЕДЕННЯ:

sin3 α (1 + ctg α) + cos3 α (1 + tg α) =
= sin2 α (sin α + cos α) + cos2 α (cos α + sin α) = (sin α + cos α) (sin2 α + cos2 α) = (sin α + cos α).

Завдання до уроку 11
Інші уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий