Урок 11. Основні тригонометричні тотожності

ВІДЕО УРОК

Формули тригонометрії – це співвідношення між основними тригонометричними функціями – синусом, косинусом, тангенсом і котангенсом.

Вираз, в якому змінна втримується під знаками тригонометричних функцій, називають тригонометричним.

Для перетворення тригонометричних виразів використовують властивості тригонометричних функцій і формули тригонометрії.

Тригонометричною тотожністю називається рівність, до якої входять тригонометричні функції і яка задовольняється довільним допустимим значенням кута – аргументу тригонометричних функцій, але не задовольняється, якщо кожну тригонометричну функцію зокрема замінити довільною величиною.

Основні тригонометричні тотожності.

З п’яти основних тотожностей випливають три допоміжні.

Співвідношення між тригонометричними функціями одного і того ж кута.

Введемо на площині прямокутну систему координат  хОу. Нехай  α – довільний кут, а  ОМ – відповідає цьому кутку радіус одиничному колі, так що кут, складений з віссю  Ох  цим радіусом  ОМ, дорівнює  α.

1. Проведемо через точку  М  пряму, перпендикулярну до осі  Ох, і нехай  Р – точка, в якій ця пряма перетне вісь  Ох. Довжини відрізків  ОР  і  РМ  рівні абсолютних величин координат точки  М:

ОР = |х|, РМ = |у|,

а довжина відрізка  ОМ  дорівнює одиниці:

ОМ = 1.

З прямокутного трикутника  ОРМ  маємо:

 ОР² + РМ² = ОМ²,

або

|х|² + |у|² = 1,

або

х² + у² = 1.

Але

х = sin α,

у = cos α,

а тому

sin² α + cos² α = 1.

Якщо точка  М  збігається з однією з точок

то одна з координат точки  М  дорівнює  +1  або  –1, інша нулю, тобто формула

х² + у² = 1,

а отже, і формула

sin² α + cos² α = 1

вірні і в цьому випадку.

2. З формул

х = cos α, у = sin α,

tg α = ^у/_х, сtg α = ^х/_у

знаходимо:

3. Так як

Розділивши обидві частини тотожності

sin² α + cos² α = 1

один раз на  cos² α, іншим разом на  sin² α, отримаємо:

або

sec² α = 1 + tg² α,

cosec² α = 1 + ctg² α.

Формула

sin² α + cos² α = 1

вірна при всіх значеннях  α.

Формули

вірні при всіх значеннях  α  крім тих, при яких не визначені (не існує) функції  tg α  і  sec α, тобто значення

α = (2k + 1) ^π/₂,

де  k – будь-яке ціле число.

Формули

вірні при всіх значеннях  α  крім  α = kπ,

де  k – будь-яке ціле число, так як, якщо  α = kπ, то функція  ctg α  і  cosec α  не визначені (не існує).

Нарешті, формула

tg α ∙ ctg α = 1

вірна при всіх значеннях  α  крім тих, при яких не визначена хоча б одна з функцій  tg α  і  ctg α, тобто при всіх значеннях  α  крім

α = ^kπ/₂,

де  k – будь-яке ціле число.

Формули

sec² α = 1 + tg² α,

cosec² α = 1 + ctg² α

дозволяють на кресленні

побачити  sec α  і  cosec α.

sec α – гіпотенуза прямокутного трикутника з катетами  1  і  tg α, а  соsec α – гіпотенуза прямокутного трикутника з катетами  1  і  ctg α.

Всі вісім формул

можуть бути отримані на кресленні.

Кожна з формул, що пов'язують квадрати двох функцій

sin² α + cos² α = 1,

sec² α = 1 + tg² α,

cosec² α = 1 + ctg² α,

виходить з відповідного прямокутника на підставі теореми Піфагора. Решта ж формули виходять з розгляду трьох пар подібних трикутників. Тому, щоб написати ту чи іншу з восьми формул, досить відтворити наступний креслення.

ПРИКЛАД:

Спростити вираз:

(1 – cos² x)tg² x.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

(1 – cos² x)tg² x = sin² x tg² x =

ВІДПОВІДЬ:

ПРИКЛАД:

Спростити вираз:

(cos² α – 1)сtg² α.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Скориставшись формулами:

дістанемо:

ВІДПОВІДЬ:   –cos² α

ПРИКЛАД:

Спростити вираз:

(1 + tg² x)cos² x.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

(1 + tg² x)cos² x  =

cos² x + tg² x cos² x

= cos² x + sin² x = 1.

ВІДПОВІДЬ:  1.

ПРИКЛАД:

Обчисліть:

cos x, якщо  

sin x = 0,8,

^π/₂ < х < π.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

sin x = 0,8,  

sin² x + cos² x = 1,

cos² x = 1 – sin² x =

1 – 0,64 = 0,36.

cos x = 0,6  або  cos x = –0,6.

Оскільки аргумент належить другій чверті

(^π/₂ < х < π), то

cos x < 0, cos x = –0,6.

ВІДПОВІДЬ:  cos x = –0,6.

ПРИКЛАД:

Знайдіть значення виразу:

якщо  ctg x = ¹/₃.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Поділимо чисельник і знаменник дробу на  sin x. Оскільки  ctg x = ¹/₃, то  sin x  не приймає значення нуль.

ВІДПОВІДЬ:  ¹¹/_13.

ПРИКЛАД:

Спростимо вираз:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо:

ВІДПОВІДЬ:

Формули, які виражають залежність між тригонометричними функціями одного і того ж гострого кута, є приклад тригонометричних тотожностей. Вони справедливі незалежно від величини кута.

Для доказу тригонометричного тотожності можна або ліву частину тотожності перетворити до правої, або праву частину перетворити до лівої, або кожну з частин тотожності перетворити до одного і того ж висловом.

ПРИКЛАД:

Доведемо тотожність:

tg² α – sin² α = tg² α sin² α.

ДОВЕДЕННЯ:

Перетворимо ліву частину цієї рівності:

ПРИКЛАД:

Довести справедливість тотожності:

ДОВЕДЕННЯ:

Перший спосіб.

Перетворимо праву частину:

Другий спосіб.

Перетворимо ліву частину:

ПРИКЛАД:

Довести справедливість тотожності:

cos⁴ α – sin⁴ α = cos² α (1 – tg α)(1 + tg α).

ДОВЕДЕННЯ:

Перший спосіб.

Перетворимо праву частину:

cos² α (1 – tg α)( 1 + tg α) =

cos² α (1 – tg² α) =

cos² α – sin² α.

Другий спосіб.

Перетворимо ліву частину:

cos⁴ α – sin⁴ α =

(cos² α – sin² α)(cos² α + sin² α) =

cos² α – sin² α.

Права і ліва частини даного рівності перетворені в один і той же вираз

cos² α – sin² α.

Звідси робимо висновок, що дане тотожність справедливо.

ПРИКЛАД:

Довести тотожність

3(sin⁴ α + cos⁴ α) – 2(sin⁶ α + cos⁶ α) = 1.

ДОВЕДЕННЯ:

Перетворимо спочатку ліву частину рівності, а далі, скориставшись формулою

знайдемо

3(sin⁴ α + cos⁴ α) – 2(sin⁶ α + cos⁶ α) =

3(sin⁴ α + cos⁴ α) – 2(sin² α + cos² α) (sin⁴ α – sin² α cos² α + cos⁴ α)

= 3sin⁴ α + 3cos⁴ α – 2sin⁴ α + 2sin² α cos² α – 2cos⁴ α =

sin⁴ α + 2sin² α cos² α + cos⁴ α = (sin² α + cos² α)² = 1.

ПРИКЛАД:

Довести тотожність

sin³ α (1 + ctg α) + cos³ α (1 + tg α) = sin α + cos α.

ДОВЕДЕННЯ:

sin³ α (1 + ctg α) + cos³ α (1 + tg α) =

= sin² α (sin α + cos α) + cos² α (cos α + sin α) = (sin α + cos α) (sin² α + cos² α) = (sin α + cos α).

Завдання до уроку 11

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Градусний вимір кутових величин
• Урок 2. Радіанне вимірювання кутових величин
• Урок 3. Основні тригонометричні функції
• Урок 4. Натуральні тригонометричні таблиці
• Урок 5. Періодичність тригонометричних функції
• Урок 6. Область визначення і область значення тригонометричних функцій
  
• Урок 7. Знаки тригонометричних функцій
• Урок 8. Парність і непарність тригонометричних функцій
• Урок 9. Тригонометричні функції деяких кутів
• Урок 10. Побудова кута за даним значенням його тригонометричної функції
• Урок 12. Вирази всіх тригонометричних функцій через одну з них
• Урок 13. Розв'язання прямокутних і рівнобедрених трикутників за допомогою тригонометричних функцій
• Урок 14. Теорема синусів
• Урок 15. Теорема косинусів
• Урок 16. Рішення косокутних трикутників
• Урок 17. Приклади рішення завдань з планіметрії із застосуванням тригонометрії
• Урок 18. Рішення практичних завдань за допомогою тригонометрії
• Урок 19. Формули зведення (1)
• Урок 20. Формули зведення (2)
• Урок 21. Формули додавання і віднімання аргументів тригонометричних функцій
• Урок 22. Формули подвійних і потрійних кутів (аргументів)
• Урок 23. Формули половинного аргументу
• Урок 24. Формули перетворень суми тригонометричних функцій в добуток
• Урок 25. Графіки функції y = sin x і y = cos x
• Урок 26. Графіки функції y = tg x і ctg x
• Урок 27. Обернені тригонометричні функції
• Урок 28. Основні тотожності зворотних тригонометричних функцій
• Урок 29. Вираз одній з аркфункцій через інші
• Урок 30. Графіки зворотних тригонометричних функцій
• Урок 31. Побудова графіків тригонометричних функцій методом геометричних перетворень