Уроки математики и физики (RU + UA)

воскресенье, 28 июля 2019 г.

Урок 9. Тригонометрические функции некоторых углов

ВИДЕО УРОК

Тригонометрические функции углов

0 (0°), π/2 (90°), π (180°), 3π/2 (270°).

Возьмём прямоугольную систему координат. Возьмём точки  Е1(1, 0)  и  Е2(0, 1)
и точки
симметричные точкам  Е1  и  Е2  относительно начала координат.

Возьмём угол  α = 0 (или 0°). Этому углу соответствует подвижный радиус  ОЕ1, так как один из углов, составленных радиусом  ОЕ1  с осью  Ох, равен нулю. Координаты точки  Е1  равны:

х = 1, у = 0,

поэтому

sin 0 = sin 0° = у = 0,

cos 0 = cos 0° = х = 1,

tg 0 = tg 0° = у/х = 0/1 = 0,

сtgили  сtg 0° не существует.

Возьмём угол  α = π/2 (или 90°). Этому углу соответствует подвижной радиус  ОЕ2, так как один из углов, образованных с осью  Ох  подвижным радиусом  ОЕ2, равен  π/2 (или 90°).

Координаты точки  Е2  равны:

х = 0, у = 1,

поэтому

sin π/2 = sin 90° = у = 1,

cos π/2 = cos 90° = х = 0,

tg π/2  или  tg 90° не существует,

сtg π/2 = сtg 90° = х/у = 0/1 = 0.

Возьмём угол  α = π (или 180°). Этому углу соответствует подвижной радиус
так как один из углов, образованных с осью  Ох  подвижным радиусом
равен  π (или 180°).
Координаты точки
равны:

х = –1, у = 0,

поэтому

sin π = sin 180° = у = 0,

cos π = cos 180° = х = –1,

tg π = сtg 180° = у/х = 0/-1 = 0,

сtg π  или  сtg 180° не существует.

Наконец, рассмотрим угол  α = 3π/2 (или 270°). Этому углу соответствует подвижной радиус
так как один из углов, составленных с осью  Ох  подвижным радиусом
равен  3π/2 (или 270°).
Координаты точки
равны:

х = 0, у = –1,

поэтому

sin 3π/2 = sin 270° = у = –1,

cos 3π/2 = cos 270° = х = 0,

tg 3π/2  или  tg 270° не существует,

сtg 3π/2 = сtg 270° = х/у = 0/-1 = 0.

Итог дан в следующей таблице:
В силу того, что функции  sin α  и  cos α  периодические и их периодом является число  2π (или 360°), можно к каждому из рассмотренных углов

0, π/2, π, 3π/2

прибавлять  2kπ, где  k – любое целое число, и от такого прибавления значение соответствующей тригонометрической функции не изменится.

Таким образом:

1. Функция  sin α.

sin 2kπ = 0  или  sin 360° k = 0,

sin (π + 2kπ) = 0  или  sin (180° + 360° k) = 0.

sin kπ = 0  или  sin 180° k = 0,

где  k – любое целое число.

Далее:

sin (π/2 + 2kπ) = 1  или  sin (90° + 360° k) = 0,

sin (3π/2 + 2kπ) = –1  или  sin (270° + 360° k) = –1.

2. Функция  cos α.

cos (π/2 + 2kπ) = 0  или  cos (90° + 360° k) = 0,

cos (3π/2 + 2kπ) = 0  или  cos (270° + 360° k) = 0.

Эти соотношения можно объединить в одно:

cos (π/2 + kπ) = 0  или  cos (90° + 180° k) = 0,

где  k – любое целое число.

Далее:

cos 2kπ = 1  или  cos 360° k = 1,

cos (2kπ + π) = –1  или 

cos (360° k + 180°) = –1.

В силу того, что периодом функций  tg α  и  сtg α  является число  π (или 180°), имеем:

3. Функция  tg α.

tg kπ = 0  или  tg 180° k = 0,

где  k – любое целое число.

4. Функция  сtg α.

сtg (π/2 + kπ) = 0  или  сtg (90° + 180° k) = 0,

сtg kπ  или  сtg 180° k,

где  k – любое целое число, не существует,

Тригонометрические функции углов  30°, 45°  и  60°.

Возьмём угол . Построим прямоугольный треугольник  АВС, один из острых углов которого, например угол  А, равен  30°.
Как известно из геометрии, в прямоугольном треугольнике с острым углом  30°  гипотенуза в два раза больше катета, лежащего против угла  30°. Поэтому, полагая этот катет равным  а, получим, что гипотенуза  с = 2а, а следовательно, другой катет
Находим все тригонометрические функции угла  30°.
Возьмём теперь угол  45°  и опять построим прямоугольный треугольник  АВС, один из острых углов которого равен  45°.
Прямоугольный треугольник, один из углов которого равен  45°, – равнобедренный:

a = b,

а потому из соотношения

c2 = a2 + b2

находим:

c2 = 2a2,

откуда

с = а√͞͞͞͞͞2.

Следовательно,
Но  а = b, поэтому
Далее, так как  а = b, то тангенс и котангенс равны  1.

tg 45° = ctg 45° = 1.

Угол  60°  является дополнительным для угла  30°, поэтому:
Результаты записаны в следующей таблице:
ПРИМЕР:

Вычислить без использования калькулятора и таблиц:

сos 405°.

РЕШЕНИЕ:

сos 405° = сos (360° + 45°) =
ОТВЕТ:
ПРИМЕР:

Вычислить без использования калькулятора и таблиц:

sin 1020°.

РЕШЕНИЕ:

sin 1020° = sin (360° 3 – 60°) =
ОТВЕТ:
ПРИМЕР:

Вычислить без использования калькулятора и таблиц:

tg 930°.

РЕШЕНИЕ:

tg 930° = tg (180° 5 + 30°) =
ОТВЕТ:
ПРИМЕР:

Вычислить:
РЕШЕНИЕ:

Учитывая чётность (нечётность) тригонометрических функций, получим:
ОТВЕТ:  1,5

Задания к уроку 9

ДРУГИЕ УРОКИ

Комментариев нет:

Отправить комментарий