Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 9. Тригонометрические функции некоторых углов

ВИДЕО УРОК

Тригонометрические функции углов

0 (0°), ^π/₂ (90°), π (180°), ^3π/₂ (270°).

Возьмём прямоугольную систему координат. Возьмём точки Е₁(1, 0) и Е₂(0, 1)

и точки

симметричные точкам Е₁ и Е₂ относительно начала координат.

Возьмём угол α = 0 (или 0°). Этому углу соответствует подвижный радиус ОЕ₁, так как один из углов, составленных радиусом ОЕ₁ с осью Ох, равен нулю. Координаты точки Е₁ равны:

х = 1, у = 0,

поэтому

sin 0 = sin 0° = у = 0,

cos 0 = cos 0° = х = 1,

tg 0 = tg 0° = ^у/_х = ⁰/₁ = 0,

сtg 0 или сtg 0° не существует.

Возьмём угол α = ^π/₂ (или 90°). Этому углу соответствует подвижной радиус ОЕ₂, так как один из углов, образованных с осью Ох подвижным радиусом ОЕ₂, равен ^π/₂ (или 90°).

Координаты точки Е₂ равны:

х = 0, у = 1,

поэтому

sin ^π/₂ = sin 90° = у = 1,

cos ^π/₂ = cos 90° = х = 0,

tg ^π/₂ или tg 90° не существует,

сtg ^π/₂ = сtg 90° = ^х/_у = ⁰/₁ = 0.

Возьмём угол α = π (или 180°). Этому углу соответствует подвижной радиус

так как один из углов, образованных с осью Ох подвижным радиусом

равен π (или 180°).
Координаты точки

равны:

х = –1, у = 0,

поэтому

sin π = sin 180° = у = 0,

cos π = cos 180° = х = –1,

tg π = сtg 180° = ^у/_х = ⁰/_-1 = 0,

сtg π или сtg 180° не существует.

Наконец, рассмотрим угол α = ^3π/₂ (или 270°). Этому углу соответствует подвижной радиус

так как один из углов, составленных с осью Ох подвижным радиусом

равен ^3π/₂ (или 270°).
Координаты точки

равны:

х = 0, у = –1,

поэтому

sin ^3π/₂ = sin 270° = у = –1,

cos ^3π/₂ = cos 270° = х = 0,

tg ^3π/₂ или tg 270° не существует,

сtg ^3π/₂ = сtg 270° = ^х/_у = ⁰/_-1 = 0.

Итог дан в следующей таблице:

В силу того, что функции sin α и cos α периодические и их периодом является число 2π (или 360°), можно к каждому из рассмотренных углов

0, ^π/₂, π, ^3π/₂

прибавлять 2kπ, где k – любое целое число, и от такого прибавления значение соответствующей тригонометрической функции не изменится.

Таким образом:

1. Функция sin α.

sin 2kπ = 0 или sin 360° ∙ k = 0,

sin (π + 2kπ) = 0 или sin (180° + 360° ∙ k) = 0.

sin kπ = 0 или sin 180° ∙ k = 0,

где k – любое целое число.

sin (^π/₂ + 2kπ) = 1 или sin (90° + 360° ∙ k) = 0,

sin (^3π/₂ + 2kπ) = –1 или sin (270° + 360° ∙ k) = –1.

2. Функция cos α.

cos (^π/₂ + 2kπ) = 0 или cos (90° + 360° ∙ k) = 0,

cos (^3π/₂ + 2kπ) = 0 или cos (270° + 360° ∙ k) = 0.

Эти соотношения можно объединить в одно:

cos (^π/₂ + kπ) = 0 или cos (90° + 180° ∙ k) = 0,

где k – любое целое число.

cos 2kπ = 1 или cos 360° ∙ k = 1,

cos (2kπ + π) = –1 или

cos (360° ∙ k + 180°) = –1.

В силу того, что периодом функций tg α и сtg α является число π (или 180°), имеем:

3. Функция tg α.

tg kπ = 0 или tg 180° ∙ k = 0,

где k – любое целое число.

4. Функция сtg α.

сtg (^π/₂ + kπ) = 0 или сtg (90° + 180° ∙ k) = 0,

сtg kπ или сtg 180° ∙ k,

где k – любое целое число, не существует,

Тригонометрические функции углов 30°, 45° и 60°.

Возьмём угол . Построим прямоугольный треугольник АВС, один из острых углов которого, например угол А, равен 30°.

Как известно из геометрии, в прямоугольном треугольнике с острым углом 30° гипотенуза в два раза больше катета, лежащего против угла 30°. Поэтому, полагая этот катет равным а, получим, что гипотенуза с = 2а, а следовательно, другой катет