Урок 5. Линейные неравенства

ВИДЕО УРОК

Основные понятия, связанные с решением неравенств с одной переменной.

Пусть дано неравенство

f(x) ˃ g(x).

Всякое значение переменной  х, при котором данное неравенство, обращается в верное числовое неравенство, называют решением неравенства.

Решить неравенство с переменной– значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными.

Неравенства, не имеющие решений, также считаются равносильными.

При решении неравенств обычно заменяют данное неравенство другим, более простым, но равносильным данному неравенству. Затем полученное неравенство снова заменяют более простым, равносильным данному неравенству и так далее.

Линейные неравенства с одной переменной.

Линейным неравенством с одной переменной называется неравенство вида 

ах > b  (или соответственно  ах < b, ах ≥ b, ах ≤ b),

где  а ≠ 0  и  b – числа.

Решением неравенства с одной переменной называется множество таких значений переменной, которые обращают его в верное числовое неравенство.

– если  а > 0, то решение неравенства  ах > b  имеет вид

– если  а < 0, то решение неравенства  ах ≥ b  имеет вид

– если  а = 0, то неравенство  ах > b  принимает вид 

0 ∙ х > b,

то есть оно не имеет решения при  b ≥ 0  и верно при любых  х, если 

b < 0.

В линейных неравенствах коэффициент при переменной не равен нулю. Может случиться, что при решении неравенства может получиться неравенство вида 

0 × х > b  или  0 × х < b.

Неравенство такого вида, а значит, и соответствующее исходное неравенство либо не имеет решений, либо их решением является любое число.

Многие неравенства в процессе преобразований сводятся к линейным неравенствам.

Свойства неравенств.

– если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

– если обе части умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

– если обе части умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

ПРИМЕР:

Неравенство

5х – 11 ˃ 3

при одних значениях переменной  х  обращается в верное числовое неравенство, а при других нет. Если вместо  х  подставить число  4, то получится верное неравенство

5 × 4 – 11 ˃ 3,

а если  подставить число  2, то получится неравенство

5 × 2 – 11 ˃ 3,

которое не является верным. Говорят, что число  4  является решением неравенства

5х – 11 ˃ 3

или удовлетворяет этому неравенству. Решением неравенства являются, например, числа

100; 180; 100.

Числа

2; 0,5; –5

не являются решениями этого неравенства.

ПРИМЕР:

Неравенство

18 + 6х ˃ 0

равносильно неравенству

6х ˃ –18,

а неравенство

6х ˃ –18

равносильно неравенству

х ˃ –3.

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

16х ˃ 13х + 45.

РЕШЕНИЕ:

Перенесём слагаемое  13х  с противоположным знаком в левую часть неравенства:

16х – 13х ˃ 45.

Приведём подобные члены:

3х ˃ 45.

Разделим обе две части неравенства на  3:

х ˃ 15.

Множество решений неравенства состоит из всех чисел, больших  15. Это множество представляет собой числовой промежуток

(15; +∞),

изображённый на рисунке.

ОТВЕТ:  (15; +∞)

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

15х – 23(х + 1) > 2х + 1.

РЕШЕНИЕ:

Раскроем скобки в левой части неравенства:

15х – 23х – 23 > 2х + 1.

Перенесём с противоположными знаками слагаемое  2х  из правой части неравенства в левую часть, а слагаемое –23  из левой части в правую и приведём подобные члены:

15х – 23х – 2х > 23 + 11,

–10х > 34.

Разделим обе части на  –10, при этом изменим знак неравенства на противоположный:

х < –3,4.

Множество решений неравенства представляет собой промежуток

(–∞; –3,4)

ОТВЕТ:  (–∞; –3,4).

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

2(х  – 3) + 5(1 – х) ≥ 3(2х – 5).

РЕШЕНИЕ:

Раскрыв скобки, получим:

2х  – 6 + 5 – 5х ≥ 6х – 15,

–3х – 1 ≥ 6х – 15,

–3х – 6х ≥ –15 + 1,

–9х ≥ –14.

Разделим обе части неравенства на отрицательное число  –9  и изменим знак неравенства.

Получим следующее неравенство, равносильное первоначальному неравенству:

х ≤ ¹⁴/₉.

Множество решений заданного неравенства будет луч:

(–∞; ¹⁴/₉].

ОТВЕТ:  (–∞; ¹⁴/₉]

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

2(х + 8) – 5х < 4 – 3х.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

2х + 16 – 5х < 4 – 3х,

2х – 5х + 3х < 4 – 16.

Приведём подобные члены в левой части неравенства и запишем результат в виде  0 × х:

0 × х < – 12.

Полученное неравенство не имеет решений, так как при любом значении  х  оно обращается в числовое неравенство  0 < – 12, не являющееся верным. Значит, не имеет решений и равносильно ему заданное неравенство.

ОТВЕТ:  решений нет

ПРИМЕР:

Решите неравенство:

7(2 – х) ≤ 3х + 44.

РЕШЕНИЕ:

–7х – 3х ≤ –14 + 44,

–10х  ≤  30,

х  ≥  –3.

ОТВЕТ:

Неравенству удовлетворяет каждое число, не меньше –3. Множества решений неравенств удобно записывать в виде промежутков:

[–3; ∞),

или

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

РЕШЕНИЕ:

Умножим обе две части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, входящих в неравенство, т. е. на  6. Получим:

2х – 3х < 12.

Отсюда

– х < 12,

х ˃ –12.

ОТВЕТ:  (–12; +∞)

ПРИМЕР:

Решить неравенство:

РЕШЕНИЕ:

Приводим к общему знаменателю:

Приводим подобные слагаемые в числителе:

ОТВЕТ:

ПРИМЕР:

Найдите сумму натурального наибольшего и натурального наименьшего решения неравенства

ОТВЕТ: 

Наименьшее решение – число – 5,

наибольшее – 7, а их сумма равна  12.

ПРИМЕР:

Найдите наименьшее целое решение неравенства:

РЕШЕНИЕ:

Перенесём правую часть неравенства в левую:

Преобразуем левую часть неравенства следующим образом:

Приведём дроби к общему знаменателю и раскроем скобки:

Приведём подобные члены в числителе:

Умножим левую и правую часть неравенства на  6. Получим следующее неравенство и решим его.

–5х – 23 < 0,

–5х < 23,

х ˃ –²³/₅.

ОТВЕТ:

Найменшее целое решение неравенства  х = 4.

ПРИМЕР:

Сколько целых чисел содержит множество решений неравенства ?

РЕШЕНИЕ:

–9 ≤ 3 – 2х ≤ 3,

–9 – 3 ≤ –2х ≤ 3 – 3,

–12 ≤ –2х ≤ 0,

–6 ≤ –х ≤ 0,

6 ≥ х ≥ 0,

0 ≤ х ≤ 6.

ОТВЕТ:

Множество решений неравенства содержит следующие целые числа:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 – всего  7  чисел.

Совокупность неравенств с одной переменной.

Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность неравенств, если ставится задача найти все такие значения переменной, каждое из которых является решением хотя бы одного из данных неравенств.

Значение переменной, при котором хотя бы одно из неравенств, образующих совокупность, обращается в верное числовое неравенство, называют решением совокупности неравенств.

ПРИМЕР:

Решить совокупность неравенств:

РЕШЕНИЕ:

Преобразовав каждое из неравенств, получим совокупность, равносильную заданной:

х < ⁴/₁₁,

х < ⁶/₇.

С помощью числовой прямой находим, что решением заданной совокупности является промежуток

(–∞; ⁶/₇).

(объединение заштрихованных на рисунке промежутков).

ОТВЕТ:  (–∞; ⁶/₇)

Задания к уроку 5

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

• Урок 1. Числовые неравенства
• Урок 2. Свойства числовых неравенств
• Урок 3. Сложение и умножение числовых неравенств
• Урок 4. Числовые промежутки
• Урок 6. Системы линейных неравенств
• Урок 7. Нелинейные неравенства
• Урок 8. Системы нелинейных неравенств
• Урок 9. Дробно-рациональные неравенства
• Урок 10. Решение неравенств с помощью графиков
• Урок 11. Неравенства с модулем
• Урок 12. Иррациональные неравенства
• Урок 13. Неравенства с двумя переменными
• Урок 14. Системы неравенств с двумя переменными
• Урок 15. Приближённые вычисления
• Урок 16. Абсолютная и относительная погрешность