Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

понедельник, 20 января 2020 г.

Урок 26. Графики функций y = tg x и y = ctg x

ВИДЕО УРОК

График функции  y = tg x.

Для построения графика функции  y = tg x  составим таблицу значений  tg x  для значений  х, равных

–3π/8, –π/4, –π/8, 0, π/8, π/4, 3π/8.
Построим теперь в прямоугольной системе координат точки, соответствующие полученным значениям абсцисс  х  и ординат  tg x.
Соединяя построенные точки плавной линией, получим график функции  y = tg x, называемый тангенсоидой.
По мере приближения аргумента  х  к  π/2  график функции  y = tg x поднимается вверх, неограниченно приближаясь к прямой, параллельной оси  Оу  и отстоящей от неё вправо на  π/2. При  х, убывающем от  0  и стремящемся к –π/2, график опускается вниз, неограниченно приближаясь к прямой, параллельной к  Оу  и проходящей через точку с абсциссой – π/2.

Так как функция  tg x  периодическая с периодом, равным  π (180°), то график её состоит из ряда отдельных одинаковых ветвей, на которые он распадается вследствие разрывов, испытываемых этой функцией при прохождении аргумента через значения

х = ± π/2, ± 3π/2, ± 5π/2, …  и так далее.

Ветви кривой разделены прямыми, параллельными оси  Оу, на расстояния  π  одна от другой, начиная от  π/2  влево и вправо. Тангенсоида пересекает ось  Ох  в точках с абсциссами  х = kπ,

где  k – любое целое число.
График функции  y = tg x  может быть также построен геометрически.
Рассмотрим ещё один способ построения графика  у = tg x.

Возьмём контрольные точки

(0; 0), (π/4; 1), (π/3; √͞͞͞͞͞3),

построим график функции  у = tg x  на отрезке  [0; π/2].
Воспользовавшись нечётностью функции  у = tg x, построим график на интервале  (–π/2; π/2).
Наконец, воспользовавшись периодичностью функции  у = tg x, построим график на всей области определения.
Некоторые свойства функции  y = tg x.

1. Область определения и непрерывность.

Функция  y = tg x  определена при

x ≠ π/2 (2n + 1)  (n = 0; ±1; ±2; …)

или на промежутках

π/2 (2n – 1) < x < π/2 (2n + 1).

В точках  x = π/2 (2n + 1)  функция  tg x  не существует

(tg π/2 (2n + 1) = ±∞),

и говорят, что в этих точках она терпит разрыв, то есть функция  tg x  не является непрерывной. Её график сплошной (непрерывный) только на промежутках её определения, а не на всей числовой оси.

2. Область значений – вся числовая прямая.

3. Функция периодическая с основным периодом  π.

4. Функция  tg x – нечётная, и её график симметричный относительно начала координат.

5. tg x – функция неограниченная; наибольшего и наименьшего значения не имеет.

6. Нулевые значения.

tg x = 0,

если  х = πn (n = 0; ±1; ±2; …).

7. Функция  tg x  на всех промежутках возрастает.

Из графика тригонометрической функции  у =  tg х
видно и из её определения следует, что при изменении  х  от  – π/2  до  +π/2  функция  tg x  возрастает от  –∞  до  +∞, принимая все действительные значения. Это означает, что;

– если

– π/2 < х1 < х2 < π/2,

то

tg х1 < tg х2.

– всякому числу  р  соответствует единственное значение  х, удовлетворяющее неравенствам  – π/2 < х < +π/2, такое, что  tg x = р.

Период функции  tg x  равен  π. Поэтому можно к границам рассматриваемого промежутка прибавить по  kπ  (k – любое целое число)

Функция  tg x  возрастает при изменении  х  от

– π/2 + kπ < х < +π/2 + kπ,

принимая все действительные значения.

График функции  y = сtg x.

Для построения графика функции  y = сtg x  воспользуемся таблицей, составленной при построении графика функции  y = tg x, учитывая, что

сtg x = tg (90° – x)

сtg (180° – x) = – сtg x,

получаем такую таблицу:
Точки, соответствующие парам значений абсцисс  х  и ординат  сtg x, соединяем плавной линией, получим часть графика функции  y = сtg x.
При  х, убывающем от  π/2  до  0, функция  сtg x  неограниченно возрастает, точки кривой поднимаются вверх, стремясь приблизиться как угодно близко к оси  Оу.

При  х, возрастающем от  π/2  до  π, ординаты графика отрицательны, по абсолютной величине они растут неограниченно, точки кривой опускаются вниз, стремясь приблизиться как угодно близко к прямой, параллельной оси  Оу  и отстоящей от неё вправо на  π. В силу периодичности функции  сtg x  такие же ветви будут повторяться через промежутки изменения  х, равные  π  как влево, так и вправо.

График функции  y = сtg  (котангенсоида) изображён на чертеже.
С осью  Ох  котангенсоида пересекается в точках с абсциссами

х =  π/2 + kπ,

где  k – любое целое число.

График функции  y = ctg x  можно получить из графика функции  y = tg x, пользуясь формулой.

ctg x = –tg (x + π/2).

График функции  y = ctg x  получается из графика функции  y = tg x    сдвигом последнего влево в направлении оси абсцисс на  π/2  и последующего отображения  его (перевёртывания) относительно этой оси.
Некоторые свойства функции  y = сtg x.

1. Область определения и непрерывность.

Функция  y = сtg x  определена при

x ≠ πn (n = 0; ±1; ±2; …)

то есть в промежутках

πn < x < π (n + 1)

(n = 0; ±1; ±2; …).

В точках  x = πn  функция  сtg x  не существует

(сtg πn = ±∞),

и говорят, что она в этих точках терпит разрыв.

2. Область значений – вся числовая прямая.

3. Функция периодическая с основным периодом  π.

4. Функция  сtg x – нечётная, и её график симметричный относительно начала координат.

5. Функция  сtg x  неограниченная и наибольшего или наименьшего значения не имеет.

6. Нулевые значения.

сtg x = 0,

если  х = π/2 (2n + 1)  (n = 0; ±1; ±2; …).

7. На всех промежутках определения  сtg x  убывает.

Из графика тригонометрической функции  у =  сtg x
видно и из её определения следует, что при изменении  х  от  0  до  π  функция  сtg x  убывает от  +∞  до  –∞, принимая все действительные значения. Это означает, что;

– если

0 < х1 < х2 < π,

то

сtg х1 ˃ сtg х2.

– всякому числу  q  соответствует единственное значение  х, удовлетворяющее неравенствам  0 < х < π, такое, что  ctg x = q.

Период функции  сtg x  равен  π. Поэтому можно к границам рассматриваемого промежутка прибавить по  kπ  (k – любое целое число)

Функция  сtg x  убывает при изменении  х  от

kπ < х < π + kπ

и принимает все действительные значения.

Задания к уроку 26

ДРУГИЕ УРОКИ

на

Комментариев нет:

Отправить комментарий