Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

пятница, 23 июля 2021 г.

Урок 4. Натуральные тригонометрические таблицы

ВИДЕО УРОК

При решении треугольников приходится находить значения  тригонометрических функций заданных углов, а также отыскивать величины углов по имеющимся значениям тригонометрических функций этих углов. Обе эти задачи решаются с помощью таблиц значений тригонометрических функций, так называемых натуральных таблиц.

Как пользоваться таблицей Брадиса ?

Дадим краткое описание устройства таких таблиц, имеющихся в книге В. Брадиса <<Четырёхзначные математические таблицы>>, и объясним, как ими пользоваться. В книге В. Брадиса таблицы значений тригонометрических функций помещены под номерами  VIII, IX, X.

С помощью таблицы  VIII  можно находить значения синусов и косинусов всех острых углов, содержащих целое число градусов и минут, а также решать обратную задачу, то есть отыскивать угол по данному значению его синуса или косинуса с точностью до одной минуты.

В этой таблице в первом слева столбце под буквой  А (Arkus (аркус) – по латыни означает дуга) помещены числа градусов, содержащихся в угле, а в первой верхней строке указаны числа минут в угле.

Название <<синусы>> (вверху страницы) связано с первым левым столбцом таблицы и её первой верхней строкой. Это показано на изображённой здесь части рамки таблицы  VIII.
Покажем на примерах, как пользоваться таблицами.

ПРИМЕР:

Найти  sin 25°.

РЕШЕНИЕ:

На пересечении строки, начинающейся с  25°, и столбца с пометкой  0'  читаем  4226.
 Это – число десятитысячных. Число же целых (в данном случае  0) отмечено только в первой колонке каждого пятка строк. Поэтому имеем:

sin 25° ≈ 0,4226.

ОТВЕТ:  sin 25° ≈ 0,4226

Здесь и в подобных случаях следует ставить знак  ≈, так как таблицы дают вообще приближённые значения тригонометрических функций.

Так же просто находятся синусы углов, выражающихся целым числом градусов и числом минут, кратным  6.

ПРИМЕР:

Найти  sin 25°42'.

РЕШЕНИЕ:

Это число находится на пересечении строки с пометкой  25°  слева и столбца с пометкой  42'  сверху.
 ОТВЕТ:  sin 25°42' ≈ 0,4337

Из рассмотренной таблицы значений синусов следует, что функция  sin α  при изменении угла  α  изменяется неравномерно. Но если угол  α  изменяется не более чем на  6', то можно допустить, что приращение значения  sin α  пропорционально приращению значения угла  α, то есть применить так называемую линейную интерполяцию. Можно доказать, что ошибка в окончательном результате, происходящая благодаря такому допущению, менее  0,0001, а при отыскания значения угла  α  по данному значению  sin α  эта ошибка не превосходит угла в  1'.

Таким образом, по таблицам В. Брадиса мы можем вести вычисления с точностью до  4-го  знака, а при отыскании угла – с точностью до угла в  1'.

Если нужна  большая точность, то приходится обращаться к другим таблицам.

ПРИМЕР:

Найти  sin 25°20'.

РЕШЕНИЕ:

Находим в таблице синусы углов ближайшего  меньшего и ближайшего большего, чем данный угол.
 Имеем:

sin 25°18' ≈ 0,4274,

sin 25°24' ≈ 0,4289.

Приращению угла на  6'  соответствует табличная разность в

0,0015 (0,4289 – 0,4274),

а приращению угла в  2'  соответствует приращение синуса, равное
Эту поправку в  0,0005  надо прибавить к значению синуса угла  sin 25°18', так как большему углу, то есть углу  sin 25°20', соответствует больший синус.
 Поэтому получим:
ОТВЕТ:  sin 25°20' ≈ 0,4279

В таблицах В. Брадиса имеются поправки для  sin α, когда  α  изменяется на  1', 2'  и  3'. Эти поправки даны числом единиц последнего разряда. Они помещены справа в последних трёх колонках таблицы.

В приведённом выше примере в колонке поправок под пометкой  2', в строке  25°, читаем  5. Это и есть та поправка, которую мы получили путём вычислений.

ПРИМЕР:

Найти  sin 14°47'.

РЕШЕНИЕ:

В данном случае следует взять из таблицы синус ближайшего большого угла, то есть угла  14°48'.
Тогда имеем:
ПРИМЕР:

Найдите

sin 70°36ʹ.

РЕШЕНИЕ:

Находим число градусов в крайнем левом столбике таблицы, число минут – в верхней части таблицы. На пересечении соответствующей строки и столбика находим искомое число  0,9432.
ОТВЕТ:

sin 70°36ʹ = 0,9432.

ПРИМЕР:

Найдите

sin 74°55ʹ.

РЕШЕНИЕ:

В таблице находим синус угла, ближайшего к данному:

sin 74°54ʹ = 0,9655.
Потом в столбиках поправок (в правой части таблицы) находим поправку на  1ʹ. Эта поправка равняется  0,0001. Учитывая, что с ростом угла от  0°  до  90°  синус также растет, найденную поправку добавляем. Следовательно, имеем:

sin 74°55ʹ = 0,9655 + 0,0001 = 0,9656.

ОТВЕТ:

sin 74°55ʹ = 0,9656.

Точно также устроена таблица тангенсов углов от  0°  до  76°. (таблица  IX) и таков же порядок пользования ею.

В таблице тангенсов, начиная с  60°, число целых даётся для тангенса каждого угла.

Таблица значений косинусов углов от  0°  до  90°  (таблица  VIII) построена так: название <<косинусы>> помещено внизу страницы. К этому названию относятся правый (4-й от края) столбец с буквой  А  внизу (столбец градусов) и нижняя строка с пометками минут. Это показано на изображённой части рамки таблицы  VIII:
ПРИМЕР:

Найти  cos 24°18'.

РЕШЕНИЕ:

Это число находится на пересечении строки с пометкой  24°  справа и столбца с пометкой  18'  снизу.
 ОТВЕТ:  cos 24°18' ≈ 0,9114

При отыскании косинусов углов, не содержащихся в таблице, вычисления ведутся несколько иначе, чем в случае нахождения синуса угла, так как косинус острого угла – функция убывающая. В силу этого при увеличении угла на  1', 2', 3'  соответствующую поправку для косинуса следует вычитать из найденного в таблицах значения косинуса. Поясним это на примере.

ПРИМЕР:

Найти  cos 40°25'.

РЕШЕНИЕ:   
 ПРИМЕР:

Найти  cos 62°10'.

РЕШЕНИЕ:

В данном случае берём из таблицы косинус ближайшего большего угла, то есть угла  62°12'.
Тогда имеем:
ПРИМЕР:

Найдите

соs 16°12ʹ.

РЕШЕНИЕ:

Число градусов ищем в правой части таблице (в столбике  А), число минут – в нижней части таблицы. На пересечении соответствующего рядка и столбика находим искомое число  0,9603.
ОТВЕТ:

соs 16°12ʹ = 0,9603.

ПРИМЕР:

Найдите

соs 18°50ʹ.

РЕШЕНИЕ:

За таблицами находим значение косинуса угла, ближайшего к данному углу.
соs 18°48ʹ = 0,9466.

В столбике поправок находим поправку на  2ʹ. Эта поправка равняется  0,0002. Учитывая, что с ростом аргумента от  0°  до  90°  значения косинуса спадают, найденную поправку надо отнять. Следовательно, имеем:

соs 18°50ʹ = 0,9466 – 0,0002 = 0,9464.

ОТВЕТ:

соs 18°50ʹ = 0,9464.

Точно так же, как таблица значений косинусов, построена таблица значений котангенсов углов  от  14°  до  90°  (таблица  IX). Таков же и порядок пользования ею.

Решение обратной задачи, то есть отыскание угла по заданному значению тригонометрической функции этого угла, производится с помощью тех же таблиц.

ПРИМЕР:

Найти угол  α, если дано, что

sin α = 0,9037.

РЕШЕНИЕ:

аходим по таблицам число, наиболее близкое к данному,и соответствующий этому числу угол:

sin 64°36' ≈ 0,9033.

Данный синус на  4  единицы последнего разряда больше найденного в таблицах. Против поправки  4, стоящей в последней колонке строки  64°, вверху читаем  3'. На основании этого записываем:
Следовательно  α = 64°39'.

ОТВЕТ:  α = 64°39'

ПРИМЕР:

Найти угол  α, если дано, что

соs α = 0,4501.

РЕШЕНИЕ:
 Следовательно  α = 63°15'.

ОТВЕТ:  α = 63°15'

ПРИМЕР:

Найти угол  α, если дано, что

tg α = 1,4542.

РЕШЕНИЕ:

В таблице  IX  наиболее близко к данному значению тангенса число  1,4550, большее числа  1,4542.

В таком случае имеем:
Следовательно  α = 55°29'.

ОТВЕТ:  α = 55°29'

Таблица  X  позволяет находить значения тангенсов углов  от  76°  до  89°59'  и котангенсов  от  0°1'  до  14°  непосредственно, без интерполяции (при изменении угла в указанных пределах линейная интерполяция вносит ошибку уже в  4-й знак, вот почему необходимо в этих случаях пользоваться таблицей  X). Также с помощью этой таблицы решается и обратная задача – отыскание угла по заданному значению тангенса или котангенса этого угла.

ПРИМЕР:

Найти  sin 1,2610.

РЕШЕНИЕ:

Пользуясь таблицей, находим градусное выражение угла, содержащего  1,2610 радиана. Это угол  72°15'.
Тогда имеем:

sin 1,2610 = sin 72°15' = 0,9524.

ПРИМЕР:

Найти  sin 0,0419  и  tg 0,0419.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

sin 0,0419 = sin 2°24' = 0,0419,

tg 0,0419 = tg 2°24' = 0,0419,

Результаты показывают, что угол  2°24'  настолько мал, что синус и тангенс этого угла имеют одинаковые первые четыре десятичных знака с радианной мерой этого угла.

ПРИМЕР:

Дано:

соs х = 0,7600.

Найти в радианах угол  х.

РЕШЕНИЕ:

Сначала находим по таблице, что  х = 40°32', а затем по таблице

х = 0,7075.
ПРИМЕР:

Вычислить 

sin 1.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

sin 1 ≈ 57°18' ≈ 0,8415.

ПРИМЕР:

Вычислить
РЕШЕНИЕ:
 Имеем:
Задания к уроку 4

ДРУГИЕ УРОКИ
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий