Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

суббота, 24 июля 2021 г.

Урок 4. Натуральні тригонометричні таблиці

ВІДЕО УРОК

При вирішенні трикутників доводиться знаходити значення тригонометричних функцій заданих кутів, а також відшукувати величини кутів по наявним значенням тригонометричних функцій цих кутів. Обидві ці завдання вирішуються за допомогою таблиць значень тригонометричних функцій, так званих натуральних таблиць.

Як користуватися таблицею Брадіса ?

Дамо короткий опис пристрою таких таблиць, наявних в книзі В. Брадіса << Чотиризначні математичні таблиці >>, і пояснимо, як ними користуватися. У книзі В. Брадіса таблиці значень тригонометричних функцій поміщені під номерами  VIII, IX, X.

За допомогою таблиці  VIII  можна знаходити значення синусів і косинусів всіх гострих кутів, що містять ціле число градусів і хвилин, а також вирішувати зворотну задачу, тобто відшукувати кут за даним значенням його синуса або косинуса з точністю до однієї хвилини.

У цій таблиці в першому зліва стовпчику під літерою  А (Arkus (Аркус) – по латині означає дуга) поміщені числа градусів, що містяться у вугіллі, а в першій верхньому рядку вказані числа хвилин у вугіллі.

Назва << синуси >> (вгорі сторінки) пов'язане з першим лівим стовпчиком таблиці і її першої верхнім рядком. Це показано на зображеної тут частини рамки таблиці  VIII.

Покажемо на прикладах, як користуватися таблицями.

ПРИКЛАД:

Знайти  sin 25°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

На перетині рядка, що починається з  25°, і стовпчика з позначкою 0'  читаємо  4226.

Це – число десятитисячних. Число ж цілих (в даному випадку  0) відзначено тільки в першій колонці кожного п'ята рядка. Тому маємо:

sin 25° ≈ 0,4226.

ВІДПОВІДЬ:  sin 25° ≈ 0,4226

Тут і в подібних випадках слід ставити знак  ≈, так як таблиці дають взагалі наближені значення тригонометричних функцій.

Так само просто знаходяться синуси кутів, що виражаються цілим числом градусів і числом хвилин, кратним  6.

ПРИКЛАД:

Знайти  sin 25°42'.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Це число знаходиться на перетині рядка з позначкою  25° зліва і стовпці з позначкою  42' зверху.

ВІДПОВІДЬ:  sin 25°42' ≈ 0,4337

З розглянутої таблиці значень синусів слід, що функція  sin α  при зміні кута  α  змінюється нерівномірно. Але якщо кут  α  змінюється не більше ніж на  6', то можна припустити, що приріст значення  sin α  пропорційно збільшенню значення кута  α, тобто застосувати так звану лінійну інтерполяцію. Можна довести, що помилка в остаточному результаті, відбувається завдяки такому допущенню, менш  0,0001, а при відшукання значення кута  α  за даним значенням  sin α  ця помилка не перевищує кута в  1'.

Таким чином, за таблицями В. Брадіса ми можемо вести обчислення з точністю до  4-го знака, а при знаходженні кута – з точністю до кута в 1'.

Якщо потрібна велика точність, то доводиться звертатися до інших таблиць.

ПРИКЛАД:

Знайти  sin 25°20'.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знаходимо в таблиці синусів кутів найближчого меншого і найближчого більшого, ніж даний кут.
Маємо:

sin 25°18' ≈ 0,4274,

sin 25°24' ≈ 0,4289.

Збільшенню кута на  6'  відповідає таблична різниця в

0,0015 (0,4289 – 0,4274),

а збільшенню кута в  2'  відповідає приріст синуса, рівне
Цю поправку в 0,0005 треба додати до значення синуса кута  sin 25°18', так як більшому куту, тобто куту  sin 25°20', відповідає більший синус.
 Тому отримаємо:
ВІДПОВІДЬ:  sin 25°20' ≈ 0,4279

У таблицях В. Брадіса є поправки для  sin α, коли  α  змінюється на 1', 2'  і  3'. Ці поправки дані числом одиниць останнього розряду. Вони поміщені справа в останніх трьох колонках таблиці.

У наведеному вище прикладі в колонці поправок під позначкою  2', в рядку  25°, читаємо  5. Це і є та поправка, яку ми отримали шляхом обчислень.

ПРИКЛАД:

Знайти  sin 14°47'.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

В даному випадку слід взяти з таблиці синус найближчого великого кута, тобто кута  14°48'.
Тоді маємо:
ПРИКЛАД:

Знайти  sin 70°36ʹ.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знаходимо число градусів в крайньому лівому стовпчику таблиці, число хвилин – у верхній частині таблиці. На перетині відповідного рядка і стовпчика знаходимо шукане число  0,9432.
ВІДПОВІДЬ:

sin 70°36ʹ = 0,9432.

ПРИКЛАД:

Знайти  sin 74°55ʹ.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

У таблиці знаходимо синус кута, найближчого до даного:

sin 74°54ʹ = 0,9655.
Потім в стовпчиках поправок (в правій частині таблиці) знаходимо поправку на  1'. Ця поправка дорівнює  0,0001. З огляду на, що з ростом кута від  0°  до  90°  синус також зростає, знайдену поправку додаємо. Отже, маємо:

sin 74°55ʹ = 0,9655 + 0,0001 = 0,9656.

ВІДПОВІДЬ:

sin 74°55ʹ = 0,9656.

Точно також влаштована таблиця тангенсів кутів від  0°  до  76°. (Таблиця  IX) і такий же порядок користування нею.

У таблиці тангенсів, починаючи з  60°, число цілих дається для тангенса кожного кута.

Таблиця значень косинусів кутів від  0°  до  90°  (таблиця VIII) побудована так: назва << косинуси >> вміщено внизу сторінки. До цієї назви відносяться правий (4-й від краю) стовпець з буквою  А внизу (стовпець градусів) і нижня рядок з позначками хвилин. Це показано на зображеної частини рамки таблиці  VIII:
ПРИКЛАД:

Знайти  cos 24°18'.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Це число знаходиться на перетині рядка з позначкою  24°  праворуч і стовпці з позначкою  18'  знизу.
ВІДПОВІДЬ:  cos 24°18' ≈ 0,9114

При знаходженні косинусів кутів, які не містяться в таблиці, обчислення ведуться трохи інакше, ніж у випадку знаходження синуса кута, так як косинус гострого кута - функція спадна. В силу цього при збільшенні кута на  1', 2', 3'  відповідну поправку для косинуса слід віднімати від знайденого в таблицях значення косинуса. Пояснимо це на прикладі.

ПРИКЛАД:

Знайти  cos 40°25'.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ПРИКЛАД:

Знайти  cos 62°10'.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

В даному випадку беремо з таблиці косинус найближчого більшого кута, тобто кута  62°12'.
Тоді маємо:
ПРИКЛАД:

Знайти  соs 16°12ʹ.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Число градусів шукаємо в правій частині таблиці (в стовпчику А), число хвилин – в нижній частині таблиці. На перетині відповідного рядка і стовпчика знаходимо шукане число  0,9603.
ВІДПОВІДЬ:

соs 16°12ʹ = 0,9603.

ПРИКЛАД:

Знайти  соs 18°50ʹ.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

За таблицями знаходимо значення косинуса кута, найближчого до даного куту.
соs 18°48ʹ = 0,9466.

У стовпчику поправок знаходимо поправку на  2'. Ця поправка дорівнює  0,0002. З огляду на, що з ростом аргументу від  0°  до  90°  значення косинуса спадають, знайдену поправку треба відняти. Отже, маємо:

соs 18°50ʹ = 0,9466 – 0,0002 = 0,9464.

ВІДПОВІДЬ:

соs 18°50ʹ = 0,9464.

Точно так же, як таблиця значень косинусів, побудована таблиця значень котангенсів кутів від  14°  до  90°  (таблиця IX). Такий же і порядок користування нею.

Рішення оберненої задачі, тобто відшукання кута по заданому значенню тригонометричної функції цього кута, проводиться за допомогою тих же таблиць.

ПРИКЛАД:

Знайти кут  α, якщо дано, що

sin α = 0,9037.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знаходимо за таблицями число, найбільш близьке до даного,
і відповідає цьому числу кут:

sin 64°36' ≈ 0,9033.

Даний синус на  4  одиниці останнього розряду більше знайденого в таблицях. Проти поправки  4, що стоїть в останній колонці рядка  64°, вгорі читаємо  3'. На підставі цього записуємо:
Отже  α = 64°39'.

ВІДПОВІДЬ:  α = 64°39'

ПРИКЛАД:

Знайти кут  α, якщо дано, що

соs α = 0,4501.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Отже  α = 63°15'.

ВІДПОВІДЬ:  α = 63°15'

ПРИКЛАД:

Знайти кут  α, якщо дано, що

tg α = 1,4542.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

У таблиці  IX  найближче до даного значення тангенса число  1,4550, більше числа  1,4542.
У такому випадку маємо:
Отже  α = 55°29'.

ВІДПОВІДЬ:  α = 55°29'

Таблиця  X  дозволяє знаходити значення тангенсів кутів від  76° до 89° 59'  і котангенсів від  0°1'  до  14°  безпосередньо, без інтерполяції (при зміні кута в зазначених межах лінійна інтерполяція вносить помилку вже в  4-й знак, ось чому необхідно в цих випадках користуватися таблицею  X). Також за допомогою цієї таблиці вирішується і зворотна задача – відшукання кута по заданому значенню тангенса або котангенс цього кута.

ПРИКЛАД:

Знайти sin 1,2610.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Користуючись таблицею, знаходимо градусне вираз кута, що містить  1,2610  радіана. Це кут  72°15'.
Тоді маємо:

sin 1,2610 = sin 72°15' = 0,9524.

ПРИКЛАД:

Знайти sin 0,0419  и  tg 0,0419.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо:

sin 0,0419 = sin 2°24' = 0,0419,

tg 0,0419 = tg 2°24' = 0,0419,

Результати показують, що кут  2°24'  настільки малий, що синус і тангенс цього кута мають однакові перші чотири десяткових знака з радіанної мірою цього кута..

ПРИКЛАД:

Дано:

соs х = 0,7600.

Знайти в радіанах кут  х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спочатку знаходимо по таблиці, що  х = 40°32', а потім по таблиці

х = 0,7075.
ПРИКЛАД:

Обчислити

sin 1.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо:

sin 1 ≈ 57°18' ≈ 0,8415.

ПРИКЛАД:

Обчислити
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
 Маємо:
Завдання до уроку 4
Інші уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий