Урок 3. Основные тригонометрические функции

ВИДЕО УРОК

Тригонометрические функции любого аргумента.

Введём прямоугольную систему координат  хОу. Оси координат делят всю плоскость на четыре части. Эти части называются четвертями. Четверть, в которой обе координаты положительны, называется первой четвертью. Далее нумерация идёт против часовой стрелки, то есть:

во второй четверти  х < 0, у ˃ 0,

в третьей четверти  х < 0, у ˃ 0,

в четвёртой четверти  х ˃ 0, у < 0.

Точки, лежащие на самих осях, не будем относить ни к какой четверти.

Назовём подвижным радиусом отрезок  ОМ, началом которого является начало координат, а концом – произвольная точка плоскости  М(х, у).

Будем рассматривать всякий угол  α  как поворот от оси  Ох  до некоторого подвижного радиуса и будем говорить, что подвижной радиуса  ОМ  составляет (образует) с осью  Ох  угол  α.

В зависимости от того, в какой четверти будет находиться конец  М подвижного радиуса  ОМ, образующего с осью  Ох  угол  α, будем говорить, что угол  α  оканчивается в соответствующей четверти. Так, если конец  М  подвижного радиуса лежит в  I  четверти, угол  α  оканчивается в  I  четверти, если конец подвижного радиуса лежит во  II  четверти, угол  α  оканчивается во  II  четверти и так далее. На чертеже

конец  М  подвижного радиуса лежит в  III  четверти, мы говорим, что угол  α  оканчивается в  III  четверти.

Углы, кратные  ^π/₂, не оканчиваются ни в какой четверти.

Тригонометрические функции угла  α.

Синусом угла  α, образованного осью  Ох  и произвольным радиусом-вектором

называется отношение проекции этого вектора на ось  Оу  к его длине:

Косинусом угла  α, образованного осью  Ох  и произвольным радиусом-вектором

называется отношение проекции этого вектора на ось  Ох  к его длине:

Тангенсом угла  α, образованного осью  Ох  и произвольным радиусом-вектором

называется отношение проекции этого вектора на ось  Оу  к его проекции на ось  Ох:

Котангенсом угла  α, образованного осью  Ох  и произвольным радиусом-вектором

называется отношение проекции этого вектора на ось  Ох  к его проекции на ось  Оу:

Кроме перечисленных четырёх функций, иногда рассматриваются ещё две тригонометрические функции.
Секансом угла  α, образованного осью  Ох  и произвольным радиусом-вектором

называется отношение длины этого вектора к его проекции на ось  Ох:

Косекансом угла  α, образованного осью  Ох  и произвольным радиусом-вектором

называется отношение длины этого вектора к его проекции на ось  Оу:

Из сравнения функций  sec α  и  cosec α  соответственно с функциями  cos α  и  sin α  заключаем, что

Функции  sec α  и  cosec α  при решении задач применяются значительно реже, чем первые четыре тригонометрические функции, а потому в дальнейшем в основном изучаются лишь функции

sin α, cos α, tg α, ctg α.

На чертеже

видно, что отношения

не зависят от выбора длины подвижного радиуса.

В самом деле, пусть  М' – любая точка, лежащая на подвижном радиусе  ОМ  или на его продолжении за точку  М.

Тогда из подобия треугольников

ОМР  и  ОМ'М'

где  х', у' – координаты точки  М', а  М' – длина подвижного радиуса  ОМ'.

Таким образом

sin α, cos α, tg α, ctg α

определяются углом  α. Их значения не зависят от длины подвижного радиуса.

Поэтому

sin α, cos α, tg α, ctg α

называются тригонометрическими функциями угла  α.

В записях  sin α, cos α  и так далее под  α  можно понимать угол  α  и дугу  α. Термины <<угол>> и <<дуга>> в выражениях тригонометрических функций равносильны.

Тригонометрические функции можно рассматривать и как функции числа  α.

Тригонометрической функцией числа  α  будем называть тригонометрическую функцию угла в  α  радианов.

В частности, когда под знаком тригонометрической функции стоят выражения, представляющие собою, например, степень аргумента (sin² α, tg³ α и тому подобное), то в этом случае мы имеем дело именно с тригонометрической функцией числа, так как углы, рассматриваемые как геометрические образы, нельзя возводить в степень.

В дальнейшем аргумент тригонометрических функций мы нередко будем называть углом или дугой, подразумевая, однако, под этими терминами не самый угол или дугу, а число, их измеряющее.

В тригонометрических функциях значок градусов пишется всегда.

Например, sin 35°. Это синус  35 градусов.

А значок радианов (рад) – не пишется! Он подразумевается. Если внутри синуса – котангенса нет никаких значков, то угол – в радианах!

Например, cos 3 – это косинус трёх радианов.

Единичная окружность.

Назовём единичной окружностью окружность радиуса единица с центром в начале координат.

Для удобства принимают длину радиуса-вектора равной единице, то есть

В этом случае

Окружность, описанную концом  А  радиуса-вектора

называют единичной.
Точки  Е₁  и  Е₂, в которых единичная окружность пересекает положительные полуоси координат, назовём единичными точками.

Единичная точка  Е₁  имеет координаты  х = 1, у = 0, а единичная точка  Е₂  имеет координаты  х = 0, у = 1.

Касательную к единичной окружности в единичной точке  Е₁(1,0)  назовём осью тангенсов, а касательную к единичной окружности в единичной точке  Е₂(0,1)  назовём осью котангенсов.

Если конец  М  подвижного радиуса  ОМ  выбрать на единичной окружности, то длина  ОМ = r  подвижного радиуса будет равна единице, а потому

sin α = ^у/₁ = у, то есть

Синус угла  α, образованного с осью  Ох  подвижным радиусом  ОМ  единичной окружности, есть ордината конца этого радиуса.

Из того же чертежа имеем:

соs α = ^х/₁ = х, то есть

Косинус угла  α, образованного с осью  Ох  подвижным радиусом  ОМ  единичной окружности, есть абсцисса конца этого радиуса.

Если конец  М  подвижного радиуса выбрать на оси тангенсов, то абсцисса  х  точки  М  будет равна единице, а потому

tg α = ^у/₁ = у, то есть

Тангенс угла  α, образованного с осью  Ох  подвижным радиусом, есть ордината  у  точки  М  пересечения продолжения этого радиуса с осью тангенсов.

Если конец  М  подвижного радиуса выбрать на оси котангенсов, то ордината  у  точки  М  будет равна единице, а потому

сtg α = ^х/₁ = х, то есть

Котангенс угла  α, образованного с осью  Ох  подвижным радиусом, есть абсцисса  х  точки  М  пересечения продолжения этого радиуса с осью котангенсов.

На чертеже

Показаны тригонометрические функции угла  α  в  I  четверти единичной окружности.
Если не указано, сколько оборотов совершил вектор

вокруг точки  О  в плоскости  хОу, то положение вектора определяет угол с точностью до целого оборота, то есть углу c начальной стороной  Ох  и конечной стороной

соответствует бесчисленное множество углов, которые выражаются формулой

360° ∙ n + α,

где  n = 0; ±1; ±2; ±3; ±4; …

для всех этих углов величины  а_х, а_у  и  а  остаются неизменными, то

sin (α + 360° ∙ n) = sin α;

cos (α + 360° ∙ n) = cos α;

tg (α + 360° ∙ n) = tg α;

ctg (α + 360° ∙ n) = ctg α;

sec (α + 360° ∙ n) = sec α;

cosec (α + 360° ∙ n) = cosec α.

Числовая окружность.

Пусть дана окружность радиуса  1. Поставим в соответствие каждому действительному числу  t  точку окружности по следующему правилу:

1) если  t = 0, то ему соответствует точка  А – правый конец горизонтального диаметра;

2) если  t ˃ 0, то, отправляясь из точки  А  в направление против часовой стрелки (положительное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длины  t. Конец этого пути и будет искомой точкой  М(t).

2) если  t < 0, то, отправляясь из точки  А  в направлении по часовой стрелке, опишем по окружности путь длины  |t|. Конец этого пути и будет искомой точкой  М(t).

Каждому действительному числу соответствует единственная точка окружности.

Единичную окружность с установленным соответствием называют числовой окружностью.

Если точка  М  соответствует числу  t, то она соответствует любому числу вида

t + 2πk,

где  2π – длина единичной окружности, а  k – целое число (k ∈ Z), показывающее количество полных обходов окружности в положительном или отрицательном направлении.

На рисунках

 представлены два основных макета числовой окружности.

ПРИМЕР:

Какое число больше ?

Или, что меньше ?

сos 4°

или

cos 4 ?

В самом первом синусе четко указано, что угол – в градусах! Стало быть, заменять "Пи" на 180° – нельзя! "Пи" градусов – это примерно 3,14°. Следовательно, можно записать:В самом первом синусе четко указано, что угол – в градусах! Стало быть, заменять "Пи" на 180° – нельзя! "Пи" градусов – это примерно 3,14°. Следовательно, можно записать:

Во втором синусе обозначений никаких нет. Значит, там – радианы! Вот здесь замена "Пи" на  180°  вполне правильна. Переводим радианы в градусы, как написано выше, получаем:

Осталось сравнить эти два синуса. С помощью тригонометрического круга. Рисуем круг, рисуем примерные углы в  60°  и  1,05°. Смотрим, какие синусы у этих углов. На круге (даже самом кривом!) будет чётко видно, что  sin 60°  существенно больше, чем  sin 1,05°.
Совершенно аналогично поступим и с косинусами. На круге нарисуем углы примерно  4 градуса и  4 радиана (не забыли, чему примерно равен 1 радиан?). Конечно, cos 4  меньше  cos 4°.

Задания к уроку 3

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

• Урок 1. Градусное измерение угловых величин
• Урок 2. Радианное измерение угловых величин
• Урок 4. Натуральные тригонометрические таблицы
• Урок 5. Периодичность тригонометрических функций
• Урок 6. Область определения и область значения тригонометрических функций
• Урок 7. Знаки тригонометрических функций
• Урок 8. Чётность и нечётность тригонометрических функций
• Урок 9. Тригонометрические функции некоторых углов
• Урок 10. Построение угла по данному значению его тригонометрической функции
• Урок 11. Основные тригонометрические тождества
• Урок 12. Выражение всех тригонометрических функций через одну из них
• Урок 13. Решение прямоугольных и равнобедренных треугольников с помощью тригонометрических функций
• Урок 14. Теорема синусов
• Урок 15. Теорема косинусов
• Урок 16. Решение косоугольных треугольников
• Урок 17. Примеры решения задач по планиметрии с применением тригонометрии
• Урок 18. Решение практических задач с помощью тригонометрии
• Урок 19. Формулы приведения (1)
• Урок 20. Формулы приведения (2)
• Урок 21. Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций
• Урок 22. Формулы двойных и тройных углов (аргументов)
• Урок 23. Формулы половинного аргумента
• Урок 24. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение  
• Урок 25. Графики функций  y = sin x и y = cos x
• Урок 26. Графики функций y = tg x и y = ctg x
• Урок 27. Обратные тригонометрические функции
• Урок 28. Основные тождества обратных тригонометрических функций
• Урок 29. Выражение одной из аркфункций через другие
• Урок 30. Графики обратных тригонометрических функций
• Урок 31. Построение графиков тригонометрических функций методом геометрических преобразований