Урок 3. Основні тригонометричні функції

ВІДЕО УРОК

Тригонометричні функції будь-якого аргументу.

Введемо прямокутну систему координат  хОу. Осі координат ділять всю площину на чотири частини. Ці частини називаються чвертями. Чверть, в якій обидві координати позитивні, називається першою чвертю. Далі нумерація йде проти годинникової стрілки, тобто:

у другій чверті  х < 0, у ˃ 0,

в третій чверті  х < 0, у ˃ 0,

в четвертій чверті  х ˃ 0, у < 0.

Точки, що лежать на самих осях, не будемо відносити ні до якої чверті.

Назвемо рухомим радіусом відрізок  ОМ, початком якого є початок координат, а кінцем – довільна точка площини  М(х, у).

Будемо розглядати всякий кут  α  як поворот від осі  Ох  до деякого рухомого радіусу і будемо говорити, що рухомий радіуса  ОМ становить (утворює) з віссю  Ох  кут  α.

Залежно від того, в якій чверті буде знаходитися кінець  М  рухомого радіуса  ОМ, що утворює з віссю  Ох  кут  α, будемо говорити, що кут  α  закінчується у відповідній чверті. Так, якщо кінець  М рухомого радіусу лежить в  I чверті, кут  α  закінчується в  I  чверті, якщо кінець рухомого радіусу лежить в  II  чверті, кут  α  закінчується в  II чверті і так далі. На кресленні

 кінець  М  рухомого радіусу лежить в  III чверті, ми говоримо, що кут  α  закінчується в  III  чверті.

Кути, рівні  ^π/₂, не закінчуються ні в якій чверті.

Тригонометричні функції кута  α.

Синусом кута  α, утвореного віссю  Ох  і довільним радіусом-вектором

називається відношення проекції цього вектора на вісь  Оу  до його довжини:

Косинусом кута  α, утвореного віссю  Ох  і довільним радіусом-вектором

називається відношення проекції цього вектора на вісь  Ох  до його довжини:

Тангенсом кута  α, утвореного віссю  Ох  і довільним радіусом-вектором

називається відношення проекції цього вектора на вісь  Оу  до його проекції на вісь  Ох:

Котангенсом кута  α, утвореного віссю  Ох  і довільним радіусом-вектором

називається відношення проекції цього вектора на вісь  Ох  до його проекції на вісь  Оу:

Крім перерахованих чотирьох функцій, іноді розглядаються ще дві тригонометричні функції.
Секансом кута  α, утвореного віссю  Ох  і довільним радіусом-вектором

називається відношення довжини цього вектора до його проекції на вісь  Ох:

Косекансом кута  α, утвореного віссю  Ох  і довільним радіусом-вектором

називається відношення довжини цього вектора до його проекції на вісь  Оу:

З порівняння функцій  sec α  і  cosec α відповідно з функціями  cos α  і  sin α  робимо висновок, що

Функції  sec α  і  cosec α  при вирішенні завдань застосовуються значно рідше, ніж перші чотири тригонометричні функції, а тому в подальшому в основному вивчаються лише функції

sin α, cos α, tg α, ctg α.

На кресленні

видно, що відносини

не залежить від вибору довжини рухомого радіуса.

Справді, нехай  М' – будь-яка точка, що лежить на рухомому радіусі  ОМ  або на його продовження за точку  М.

Тоді з подоби трикутників

ОМР  і  ОМ'М'

де  х', у' – координати точки  М', а  М' – довжина рухомого радіуса  ОМ'.

Таким чином

sin α, cos α, tg α, ctg α

визначаються кутом  α. Їх значення не залежать від довжини рухомого радіуса.

Тому

sin α, cos α, tg α, ctg α

називаються тригонометричними функціями кута  α.

У записах  sin α, cos α  і так далі під  α  можна розуміти кут  α  і дугу α. Терміни <<кут>> і <<дуга>> в виразах тригонометричних функцій рівносильні.

Тригонометричні функції можна розглядати і як функції числа  α.

Тригонометричної функцією числа  α  будемо називати тригонометричну функцію кута в  α  радіанів.

Зокрема, коли під знаком тригонометричної функції стоять вирази, що представляють собою, наприклад, ступінь аргументу (sin 2α, tg 3α тощо), то в цьому випадку ми маємо справу саме з тригонометричної функцією числа, так як кути, що розглядаються як геометричні образи, не можна підносити до степеня.

Надалі аргумент тригонометричних функцій ми нерідко будемо називати кутом або дугою, маючи на увазі, однак, під цими термінами не самий кут або дугу, а число, їх вимірює.

У тригонометричних функціях значок градусів пишеться завжди.

Наприклад, sin 35°. Це синус  35 градусів.

А значок радіанів (радий) – не пишеться! Він мається на увазі. Якщо усередині синуса – котангенса немає ніяких значків, то кут – в радіанах!

Наприклад, cos 3 – це косинус трьох радіанів.

Одиничне коло.

Назвемо одиничної колом коло радіуса одиниця з центром на початку координат.

Для зручності приймають довжину радіуса-вектора дорівнює одиниці, тобто

В цьому випадку

Окружність, описану кінцем  А  радіуса-вектора

називають одиничною.
Точки  Е₁  і  Е₂, в яких одиничне коло перетинає позитивні півосі координат, назвемо одиничними точками.

Одинична точка  Е₁  має координати  х = 1, у = 0, а одинична точка  Е₂  має координати  х = 0, у = 1.

Дотичну до одиничної окружності в одиничної точці  Е₁(1,0)  назвемо віссю тангенсів, а дотичну до одиничної окружності в одиничної точці  Е₂(0,1)  назвемо віссю котангенсів.

Якщо кінець  М  рухомого радіуса  ОМ  вибрати на одиничному колі, то довжина  ОМ = r  рухомого радіуса буде дорівнює одиниці, а тому

sin α = ^у/₁ = у, тобто

Синус кута  α, утвореного з віссю  Ох  рухомим радіусом  ОМ  одиничному колі, є ордината кінця цього радіусу.

З того ж креслення маємо:

соs α = ^х/₁ = х, то есть

Косинус кута  α, утвореного з віссю  Ох  рухомим радіусом  ОМ  одиничному колі, є абсциса кінця цього радіусу

Якщо кінець  М  рухомого радіусу вибрати на осі тангенсів, то абсциса  х  точки  М  буде дорівнює одиниці, а тому

tg α = ^у/₁ = у, тобто

Тангенс кута  α, утвореного з віссю  Ох  рухомим радіусом, є ордината у точки  М  перетину продовження цього радіусу з віссю тангенсів.

Якщо кінець  М  рухомого радіусу вибрати на осі котангенсів, то ордината у точки  М  буде дорівнює одиниці, а тому

сtg α = ^х/₁ = х, тобто

Котангенс кута  α, утвореного з віссю  Ох  рухомим радіусом, є абсциса х точки  М  перетину продовження цього радіусу з віссю котангенсів.

на кресленні

Показані тригонометричні функції кута  α  в  I  чверті одиничному колі.
Якщо не вказано, скільки оборотів зробив вектор

навколо точки  О  в площині  хОу, то становище вектора визначає кут з точністю до цілого обороту, тобто розі c початковій стороною  Ох  і кінцевої стороною

відповідає безліч кутів, які виражаються формулою

360° ∙ n + α,

де  n = 0; ±1; ±2; ±3; ±4; …

для всіх цих кутів величини  а_х, а_у  і  а  залишаються незмінними, то

sin (α + 360° ∙ n) = sin α;

cos (α + 360° ∙ n) = cos α;

tg (α + 360° ∙ n) = tg α;

ctg (α + 360° ∙ n) = ctg α;

sec (α + 360° ∙ n) = sec α;

cosec (α + 360° ∙ n) = cosec α.

Числова окружність.

Нехай дана окружність радіуса  1. Поставимо у відповідність кожному дійсному числу  t  точку кола за наступним правилом:

1) якщо  t = 0, то йому відповідає точка  А – правий кінець горизонтального діаметра;

2) якщо  t ˃ 0, то, вирушаючи з точки  А  в напрямок проти годинникової стрілки (позитивний напрямок обходу кола), опишемо по колу шлях довжини  t. Кінець цього шляху і буде шуканої точкою  М(t).

3) якщо  t < 0, то, вирушаючи з точки  А  в напрямку за годинниковою стрілкою, опишемо по колу шлях довжини  |t|. Кінець цього шляху і буде шуканої точкою  М(t).

Кожному дійсному числу відповідає єдина точка окружності.

Одиничну окружність з встановленим відповідністю називають числовий окружністю.

Якщо точка  М  відповідає числу  t, то вона відповідає будь-якому числу виду

t + 2πk,

де  2π – довжина одиничному колі, а  k – ціле число (k ∈ Z), показує кількість повних обходів кола в позитивному або негативному напрямі.

На малюнках

представлені два основних макета числовий окружності.

ПРИКЛАД:

Яке число більше ?

Або, що менше ?

сos 4°

або

cos 4 ?

У найпершому синусі чітко вказано, що кут – в градусах! Отже, замінювати "Пі" на 180° – не можна! "Пі" градусів – це приблизно 3,14°. Отже, можна записати:

У другому синусі позначень ніяких немає. Значить, там – радіани! Ось тут заміна "Пі" на  180°  цілком правильна. Переводимо радіани в градуси, як написано вище, отримуємо:

Залишилося порівняти ці два синуси. За допомогою тригонометричного круга. Малюємо круг, малюємо зразкові кути в  60°  і  1,05°. Дивимося, які синуси у цих кутів. На крузі (навіть най кривішому !) буде чітко видно, що  sin 60°  істотно більше, ніж  sin 1,05°.

Абсолютно аналогічно поступимо і з косинусами. На крузі намалюємо кути приблизно  4 градуси і  4 радіани (не забули, чому приблизно дорівнює 1 радіан?). Звичайно, cos 4  менше  cos 4°.

Завдання до уроку 3

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Градусний вимір кутових величин
• Урок 2. Радіанне вимірювання кутових величин
• Урок 4. Натуральні тригонометричні таблиці
• Урок 5. Періодичність тригонометричних функції
• Урок 6. Область визначення і область значення тригонометричних функцій
  
• Урок 7. Знаки тригонометричних функцій
• Урок 8. Парність і непарність тригонометричних функцій
• Урок 9. Тригонометричні функції деяких кутів
• Урок 10. Побудова кута за даним значенням його тригонометричної функції
• Урок 11. Основні тригонометричні тотожності
• Урок 12. Вирази всіх тригонометричних функцій через одну з них
• Урок 13. Розв'язання прямокутних і рівнобедрених трикутників за допомогою тригонометричних функцій
• Урок 14. Теорема синусів
• Урок 15. Теорема косинусів
• Урок 16. Рішення косокутних трикутників
• Урок 17. Приклади рішення завдань з планіметрії із застосуванням тригонометрії
• Урок 18. Рішення практичних завдань за допомогою тригонометрії
• Урок 19. Формули зведення (1)
• Урок 20. Формули зведення (2)
• Урок 21. Формули додавання і віднімання аргументів тригонометричних функцій
• Урок 22. Формули подвійних і потрійних кутів (аргументів)
• Урок 23. Формули половинного аргументу
• Урок 24. Формули перетворень суми тригонометричних функцій в добуток
• Урок 25. Графіки функції y = sin x і y = cos x
• Урок 26. Графіки функції y = tg x і ctg x
• Урок 27. Обернені тригонометричні функції
• Урок 28. Основні тотожності зворотних тригонометричних функцій
• Урок 29. Вираз одній з аркфункцій через інші
• Урок 30. Графіки зворотних тригонометричних функцій
• Урок 31. Побудова графіків тригонометричних функцій методом геометричних перетворень