Урок 12. Выражение всех тригонометрических функций через одну из них

ВИДЕО УРОК

Выражение всех тригонометрических функций через одну из них с помощью основных тригонометрических тождеств.

Основные тригонометрические тождества позволяют определить по значению одной из тригонометрических функций значения всех остальных.

ПРИМЕР:

Известно, что

sin x = –³/₅,

причём

π < х <  ^3π/₂.

Найти

cos x, tg x, ctg x.

РЕШЕНИЕ:

Из формулы

sin² α + cos² α = 1

получаем

cos² х  = 1 – sin² х.

подставив вместо  sin х  его значение, получим:

Итак,

cos² х = ¹⁶/₂₅

значит,

либо  cos х = ⁴/₅

либо  cos х = –⁴/₅.

По условию:

π < х <  ^3π/₂,

то есть аргумент  х  принадлежит  третьей четверти. Но в третьей четверти косинус отрицателен. Значит, из двух указанных выше возможностей выбираем одну:

cos х = –⁴/₅.

Зная  sin x  и  cos х, находим  tg x  и  ctg x:

ctg x = ⁴/₃.

ОТВЕТ:

cos х = –⁴/₅,

tg x = ³/₄,

ctg x = ⁴/₃.

ПРИМЕР:

Дано:

sin α = ²⁰/₂₉.

Вычислить значения остальных тригонометрических функций острого угла  α.

РЕШЕНИЕ:

Из формулы:

sin² α + соs² α = 1

имеем:

соs² α = 1 – sin² α

Подставляя вместо  sin² α  его численное значение  ²⁰/₂₉, получаем:

Следовательно:

соs α = ²¹/₂₉

Для нахождения  tg α  воспользуемся формулой

Получим:

tg α = ²⁰/₂₉ : ²¹/₂₉ = ²⁰/₂₁.

Отсюда, пользуясь формулой

tg α ∙ сtg α = 1,

Имеем:

ОТВЕТ:

соs α = ²¹/₂₉,

tg α = ²⁰/₂₁,

сtg α = ²¹/₂₀.

ПРИМЕР:

Определить значения тригонометрических функций угла  α, если

tg α = ³/₄

и  180° < α < 270°.

РЕШЕНИЕ:

По формуле

Находим

По формуле

Находим

Учитывая, что  sec α < 0  при 

180° < α < 270°

получим

–sec α = ⁵/₄

откуда

sec α = –⁵/₄

По формуле

Находим

сos α = – ⁴/₅.

Значения  sin α  найдём из формулы

|sin α| = ³/₅.

Учитывая, что  sin α < 0  при 

180° < α < 270°

находим

sin α = –³/₅.

ОТВЕТ:

sin α = –³/₅,

соs α = –⁴/₅,

сtg α = ⁴/₃.

ПРИМЕР:

Известно, что

ctg x = –⁵/₁₂,

причём

^π/₂ < х < π.

Найти

sin х, cos x, tg x.

РЕШЕНИЕ:

Из формулы

1 + ctg² α = cosec² α

находим

подставив вместо  ctg x  его значение, получим:

Итак,

sin² х = ¹⁴⁴/₁₆₉

значит,

либо  sin х = ¹²/₁₃

либо  sin х = –¹²/₁₃.

По условию:

^π/₂ < х < π,

то есть аргумент  х  принадлежит  второй четверти. Но во второй четверти синус положителен. Значит, из двух указанных выше возможностей выбираем одну:

sin х = ¹²/₁₃.

Для отыскания значения  cos x  воспользуемся формулой:

Из этой формулы находим

cos x = ctg x ∙ sin х =

= –⁵/₁₂ ∙ ¹²/₁₃ = –⁵/₁₃.

Осталось вычислить значение  tg x. Из равенства

находим

tg x = –¹²/₅.

ОТВЕТ:

sin х = ¹²/₁₃,

cos х = –⁵/₁₃,

tg x = –¹²/₅.

ПРИМЕР:

Дано:

сtg α = ⁴⁵/₂₈.

Вычислить остальные тригонометрические функции острого угла  α.

РЕШЕНИЕ:

Записываем значение  tg α  как величину, обратную  сtg α:

tg α = ²⁸/₄₅.

на основании формулы

имеем:

Возведя обе части этого равенства в квадрат, получим:

Прибавим к обеим частям этого равенства по единице:

Учитывая, что

sin² α + cos² α = 1,

находим:

откуда

sin α = ²⁸/₅₃.

Из формулы

Имеем, что

соs α = сtg α ∙ sin α.

В применению к данному случаю получим:

ОТВЕТ:

sin х = ²⁸/₅₃,

cos х = ⁴⁵/₅₃,

tg x = ²⁸/₄₅.

Вычисление значений тригонометрических функций острого угла по значению одной из них надо производить каждый раз, как было показано выше на примерах, пользуясь основными формулами:

которые надо твёрдо заучить.

Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента.

Если преобразовать основные тригонометрические тождества, не предавая определённого значения заданной функции, то можно вывести некоторые соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента. Можно получить выражения любой из тригонометрических функций через все остальные с помощью следующих формул:

 Формулы, приведённые в таблице, позволяют по значению одной из тригонометрических функций находить значения всех остальных.

Во всех формулах, в которых входят функции  tg α  или  sес α, исключается значение

α = (2k + 1) ^π/₂,

где  k – любое целое число, так как при этих и только при этих значениях  α  функции  tg α  или  sес α  не определены, то есть не существуют. Во всех формулах, в которые входят функции  ctg α  или  cosес α, исключаются значения 

α = kπ,

где  k – любое целое число, так как при этих и только при этих значениях  α  функции  ctg α  или  cosес α  не определены (не существуют).

В тех формулах, в которые входят радикалы, в общем случае перед радикалом следует становить двойной знак  ±. Выбор определенного знака может быть произведён, если дано дополнительное условие.

Пусть, например,

Если угол  α  находится в интервале от  0  до  π (или от  2kπ  до  2kπ + π, где  k – любое целое число), то

а если угол  α  находится в интервале от  π  до  2π (или от  π + 2kπ  до  2π + 2kπ, где  k – любое целое число), то

Таким образом, выбор знака перед радикалом зависит от того промежутка, в котором находится  α.

ПРИМЕР:

Дано:

соs α = ²/₇.

Вычислить значения остальных тригонометрических функций острого угла  α.

РЕШЕНИЕ:

Из формулы:

sin² α + соs² α = 1

имеем:

ОТВЕТ:

ПРИМЕР:

Выразить значения тригонометрических функций острого угла    через  cos α.

РЕШЕНИЕ:

Из формулы:

sin² α + cos² α = 1

находим:

Из формулы:

имеем:

и, следовательно

Подобного рода задачи можно решать в общем виде и составить формулы, выражающие любую из тригонометрических функций через все остальные.

ПРИМЕР:

Выразить  cos α  через все остальные тригонометрические функции угла  α.

РЕШЕНИЕ:

Из тождества:

sin² α + cos² α = 1

находим:

Далее из равенства

sec² α = 1 + tg² α

находим:

откуда

Заменив в полученном равенстве

находим:

Так как

то последнее равенство примет вид:

Итак

ПРИМЕР:

Вывести выражения тригонометрических функций острого угла    через  tg α.

РЕШЕНИЕ:

Из формулы:

имеем:

Прибавляя к обеим частям этих равенств по единице, получим:

или, так как

sin² α + cos² α = 1, то

откуда

и, следовательно,

Наконец,

ПРИМЕР:

Дано:   tg α = ⁷/₈.

Вычислить с точностью до  0,01  остальные тригонометрические функции угла  α, если

π < α < ^3π/₂.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

ctg α = ⁸/₇ ≈ 1,14

cos α ≈ –¹/_1,33 ≈ –0,75,

sin α ≈ –⁷/₈ ∙ (–0,75) ≈ –0,66,

cosec α ≈ –¹/_0,66 ≈ –1,52.

ПРИМЕР:

Дано:   ctg α = a.

Найти остальные тригонометрические функции угла  α.

РЕШЕНИЕ:

Будем считать, что  а ≠ 0, тогда

tg α = ¹/_а.

Так как

ctg² α + 1 = cosec² α, то

Из формулы

находим:

cos α = ctg α ∙ sin α,

Наконец

Задания к уроку 12

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

• Урок 1. Градусное измерение угловых величин
• Урок 2. Радианное измерение угловых величин
• Урок 3. Основные тригонометрические функции
• Урок 4. Натуральные тригонометрические таблицы
• Урок 5. Периодичность тригонометрических функций
• Урок 6. Область определения и область значения тригонометрических функций
• Урок 7. Знаки тригонометрических функций
• Урок 8. Чётность и нечётность тригонометрических функций
• Урок 9. Тригонометрические функции некоторых углов
• Урок 10. Построение угла по данному значению его тригонометрической функции
• Урок 11. Основные тригонометрические тождества
• Урок 13. Решение прямоугольных и равнобедренных треугольников с помощью тригонометрических функций
• Урок 14. Теорема синусов
• Урок 15. Теорема косинусов
• Урок 16. Решение косоугольных треугольников
• Урок 17. Примеры решения задач по планиметрии с применением тригонометрии
• Урок 18. Решение практических задач с помощью тригонометрии
• Урок 19. Формулы приведения (1)
• Урок 20. Формулы приведения (2)
• Урок 21. Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций
• Урок 22. Формулы двойных и тройных углов (аргументов)
• Урок 23. Формулы половинного аргумента
• Урок 24. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение  
• Урок 25. Графики функций  y = sin x и y = cos x
• Урок 26. Графики функций y = tg x и y = ctg x
• Урок 27. Обратные тригонометрические функции
• Урок 28. Основные тождества обратных тригонометрических функций
• Урок 29. Выражение одной из аркфункций через другие
• Урок 30. Графики обратных тригонометрических функций
• Урок 31. Построение графиков тригонометрических функций методом геометрических преобразований