Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

среда, 15 декабря 2021 г.

Урок 18. Решение практических задач с помощью тригонометрии

ВИДЕО УРОК

Применение тригонометрии к измерениям на местности и решению практических задач.

С помощью тригонометрии решаются многие измерительные задачи на местности, как, например, вычисление расстояния между различными пунктами земной поверхности (если это расстояние нельзя измерить непосредственно), вычисление высоты данного предмета (горы, здания), составление планов и карт и так далее. Предполагаем, что измерения производятся на малом участке, так что можно считать его плоским и не учитывать кривизны земной поверхности.

Измерение небольших расстояний производится непосредственно, при помощи, например, стальных лент (рулеток).

Измерение углов на местности производится при помощи угломерных инструментов. Наиболее распространённым современным угломерным инструментом является теодолит.
Зрительная труба теодолита может вращаться как в горизонтальной, так и в вертикальной плоскости. Если ось зрительной трубы, находящейся в горизонтальном положении в пункте  С  земной поверхности, направить сначала в пункт  А, а затем в пункт  В, то угол её поворота есть угол  С  треугольника  АВС.
Под этим углом из пункта  С  видно расстояние  АВ. При помощи поворота зрительной трубы можно измерить углы и в вертикальной плоскости.
 Углы поворота зрительной трубы можно измерять с большой точностью при помощи делений на горизонтальном и вертикальном кругах и микрометрических винтов.
 При отсутствии теодолита пользуются (например, в учебных целях) более простыми приборами. Один из таких приборов – астролябия.

Основные части астролябии следующие: круг, разделённый на градусы (лимб), и линейка (алидада), которая может вращаться вокруг центра круга. Для наведения линейки на данный пункт служат прикреплённые к её концам вертикальные пластинки с узкими продольными прорезями.

Рассмотрим несколько простейших задач на вычисление расстояний и высот.

ЗАДАЧА:

Найти расстояние доступной точки  А  до недоступной точки  В  видимой из точки  А. Точки  А  и  В  лежат в одной и той же горизонтальной плоскости.
Точка  А  считается доступной, если в ней может находиться наблюдатель с измерительными инструментами. Точка  В считается недоступной, если расстояние  АВ  не может быть измерено непосредственно. Например, имеется препятствие: река, овраг и тому подобное.

РЕШЕНИЕ:

Выберем вблизи точки  А  доступную точку  С, из которой видна точка  В. Измерим непосредственно отрезок-базис  АС = b  и углы  А  и  С. Сторону  х = с  треугольника  АВС  найдём по теореме синусов:
откуда
ЗАДАЧА:
Вычислить расстояние между двумя недоступными точками  А  и  В, видимыми из доступной местности.
РЕШЕНИЕ:

Выберем в доступной местности отрезок-базис. Измерим базис и углы

α = ∠ AMN, β = ∠ BMN,

γ = ∠ ANM, δ = ∠ BNM

между базисом и направлениями из его концов  А  и  В. Вычислим расстояния  МА  и  МВ:
Зная две стороны треугольника  АМВ  и угол  α – β  между ними, можно вычислить третью сторону, например, по теореме косинусов:
ЗАДАЧА:
Вычислить высоту вертикального предмета, основание которого недоступно.
РЕШЕНИЕ:
Допустим, что можно выбрать горизонтальный базис  АВ = b, из концов которого видна вершина  S  измеряемой высоты. Пусть  h – высота угломерного инструмента. Измерив углы  α  и  β  треугольника  SA1B1  найдём (по теореме синусов):
откуда
и, наконец,
ЗАДАЧА:

Определить высоту Московского университета, наивысшего университетского строения в мире, если базис  b = 137 м  и угол зрения  A = 60°.

 РЕШЕНИЕ:

Из прямоугольного треугольника  АВС  за известным катетом  b  и углом  А  находим катет  а:
a = b tg A = b√͞͞͞͞͞3 ≈ 273 (м).

К полученному результату добавляем величину росту наблюдателя.

ОТВЕТ:  ≈ 273 (м)

ЗАДАЧА:

Трос  ВС,
укрепляющий мачту  АВ, наклонён к горизонту под углом  α = 74°20'  (∠ ВСА = α). Определить длину троса, если его нижний конец  С  удалён от основания мачты  А  на  7,5 м.

РЕШЕНИЕ:

Из прямоугольного треугольника  АВС  имеем:
или
ОТВЕТ:  ≈ 27,8 м

ЗАДАЧА:

На материальную частицу действуют две взаимно перпендикулярные силы

F1 = 48 кг,

F2 = 54,3 кг.

Вычислить равнодействующую этих сил и углы, образуемые каждой из них с равнодействующей.

РЕШЕНИЕ:

Искомая равнодействующая сила
или
Угол  α, составленный силой  F1  с равнодействующей F , находим из соотношения:
α ≈ 48°31'.

Угол  β, составленный силой  F2  с равнодействующей F , находим из соотношения:

β ≈ 90° – 48°31' ≈ 41°29'.

ОТВЕТ: 

α ≈ 48°31', β ≈ 41°29'.

ЗАДАЧА:

Высота  АВ  арки моста, имеющей форму дуги окружности,
равна  24 м, а пролёт его  СD  равен  82 м. Определить радиус дуги и число градусов и минут, содержащихся в этой дуге.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

BA ⊥ CD,

CA = AD.

Продолжение  ВА  проходит через центр  О  окружности.

ВЕ = 2r – диаметр окружности.

Отрезки хорды СD  и диаметра  ВЕ, пересекающихся в точке  А, связаны зависимостью:

DA ∙ AE = AC2,

или

24(2r – 24) = 412.

Отсюда находим  r:
Из треугольника  ОАD  находим угол  АОD = α:
Искомая дуга содержит:

2 ∙ 60°43' = 121°26'.

Вычисление длины передаточного ремня.

Прямая передача.
 Длина  L  ремня состоит из большой дуги  АВС  и малой  А1В1С1, по которым он облегает шкивы, и двух равных между собой касательных  АА1  и  СС1.

Длина дуги  АВС  равна  πR + 2Rα.

Длина дуги  А1В1С1  равна  πr – 2rα,

 где  α – радианная мера углов 

КОА, K1O1A1, NOC, N1O1С1  и  MO1O1,

равных между собой.

Из прямоугольного треугольника 

AO1M (O1M ∥ A1A; O1M ⊥ OA) 

имеем:

MO1 = OO1 cos α = a cos α,

где  a = OO1.

Следовательно, длина касательной 

AA1 = a cos α.

После этого имеем:

L = πR + 2Rα + πr – 2rα + 2a cos α,

или

L = π(R + r) + 2α(R – r) + 2a cos α.

Угол  α  вычисляется из равенства
Приближённая формула, по которой на практике вычисляется длина ремня, такова:
Покажем на примере, насколько близки результаты вычисления длины ремня по точной и приближённой  формулам.

ПРИМЕР:

Вычислить длину передаточного ремня, если:

R = 275 мм, r = 175 мм, a = 5 м.

РЕШЕНИЕ:

По точной формуле при этих данных имеем;

L = π(275 + 175) + 2α(275 – 175) + 2 ∙ 5000 ∙ cos α =

= 450π + 200α + 10000 cos α.

Пользуясь соотношением:
находим  sin α, а затем (по таблице)  и угол  α:
α = 1°9'.

Тогда

cos α = cos 1°9' ≈ 0,998.

Радианная мера угла  α  с точностью до  0,0001  ввиду малости угла выразится тем же числом, что и  sin α, то есть  α = 0,0200. Окончательно имеем:

L = 450 ∙ 3,14 + 200 ∙ 0,0200 + 10 000 ∙ 0,9998 = 11 415 мм.

По приближённой формуле длина ремня выразится так:
Получилось полное совпадение результатов.
Перекрёстная передача.
В данном случае длина  L  ремня состоит из большой дуги  АВС  и малой дуги  А1В1С1, по которым он облегает шкивы, и двух одинаковой длины касательных  АС1  и  А1С. Имеем:

L = АВС + А1В1С1 + 2АС1.

Длина дуги  АВС  равна

(π + 2α) R  (∠ ЕОА = ∠ Е1О1А1 = α).

Длина дуги  А1В1С1  равна

(π + 2α) r.

Для определения длины  АС1  проводим из  О1  прямую, параллельную  АС1, до пересечения с продолжением радиуса  ОА. Получим отрезок

О1D = АС1

∠ OО1D = ∠ AOE

как углы с взаимно перпендикулярными сторонами, следовательно,

∠ OО1D = α,

и тогда

АС1 = О1D = ОО1 cos ∠ OО1D = а cos α

и

L = (π + 2α) R + (π + 2α) r + 2а cos α.

Из прямоугольного треугольника  OО1D  имеем:
откуда находим  α.
 Приближённая формула для вычисления длины ремня в случае перекрестной передачи выражается так:
Винтовая линия.
На поверхность цилиндра с диаметром основания  d  навёртывается прямоугольный треугольник  АВС  так, что катет  АС  треугольника навёртывается на окружность основания цилиндра.
Гипотенуза при таком навёртывании треугольника на поверхность цилиндра обратится в кусок кривой линии и притом пространственной, так как точки её не лежат в одной плоскости, эта кривая называется винтовой линией (она может быть продолжена с помощью навёртывания на цилиндр новых треугольников, равных данному). Часть винтовой линии между двумя последовательными точками пересечения с одной и той же образующей цилиндра называется витком, а отрезок, который высекается на образующей цилиндра, двумя последовательными точками пересечения этой образующей с винтовой линией, называется высотой или шагом, винта. Угол  α  под которым винтовая линия пересекает образующие цилиндра, на котором она расположена, называется углом подъема винта.

Имеем: πd – длина окружности основания цилиндра, ВС = h – шаг винта, ∠ ВАС = α – угол подъёма винта.

Конусность.

При обточке детали на конус для надлежащей установки резца на станке надо знать конусность  К  этой детали, которая выражается так:
Нахождение радиуса поворота трамвая, при заданном расстоянии от конца тротуара до конечной точки радиуса.

Улица делает поворот на угол  β. Рельсовый путь трамвая на повороте представляет собой дугу окружности  АСВ, причём 

АС = СВ.
Расстояние от точки  А  рельса до края тротуара  АА' = d, точно так же  ВВ' = d. Если точка  С  рельса отстоит от вершины угла тротуара  С'  на   d', то радиус  r  окружности, проходящей через точки  А, С  и  В  выражается следующим образом:
Задания к уроку 18

ДРУГИЕ УРОКИ

на

Комментариев нет:

Отправить комментарий