Уроки математики и физики (RU + UA)

среда, 11 мая 2022 г.

Урок 29. Выражение одной из аркфункций через другие

ВИДЕО УРОК

Обратные тригонометрические функции называются аркфункциями.

На основании соотношений между тригонометрическими функциями одного и того же угла и определений аркфункций можно получить формулы, выражающие одну аркфункцию через другие.

Пусть

arcsin x = α

где   0 < α < π/2  и  0 < x < 1, тогда

sin α = x.

На основании формулы

sin2 α + cos2 α = 1

находим:
(Перед радикалом взят знак  +, так как α – угол первой четверти.) Из равенства
имеем:
Разделив левую и правую части равенства

sin α = x

соответственно на левую и правую части равенства
получим:
откуда
Так как
Сравнивая равенства

arcsin x = α,
заключаем, что
ПРИМЕР:
или
ПРИМЕР:

Выразить  arcsin (–1/3)  через арктангенс.

РЕШЕНИЕ:

Если  arcsin (–1/3) = α, то

sin α = –1/3 (–π/2 < x < 0),
ОТВЕТ:
Найдём выражение функции  arctg x  через другие. Пусть

arctg x = α.

где  0 < α < π/2  и  x ˃ 0.

Тогда имеем:

tg α = x  а  ctg α = 1/x.

Следовательно

α = arcctg 1/x.

Возведём в квадрат обе части равенства

tg α = x,

заменив предварительно  tg α  через
Получим:
После прибавления к обеим частям этого равенства по  1, оно примет вид:
откуда находим:
Так как  sin α = cos α tg α, то
Тогда

Сопоставляя равенства

arctg x = α,
получим:
Аналогично можно вывести следующие формулы:
ПРИМЕР:

Выразить  arccos (–2/3)  через арксинус.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

arccos (–2/3) = πarccos 2/3.

Пусть  arccos 2/3 = α, тогда  cos α = 2/3, а
(0 < α < π/2)

Следовательно,
Рассмотрим функцию

у = sin(arccos х).

Положив  arccos х = α, получим  cos α = х.

Тогда имеем:
то есть
|х| ≤ 1.

Мы взяли перед корнем знак  <<+>>  потому, что

α = arccos х  

удовлетворяет неравенствам

0 ≤ απ.

ПРИМЕР:
Рассмотрим функцию

у = cos(arcsin х).

Положив  arcsin х = α, получим  sin α = х.

Тогда имеем:

cos(arcsin х) = cos α =
то есть
|х| ≤ 1.

Мы взяли перед корнем знак  <<+>>  потому, что

α = arcsin х  

удовлетворяет неравенствам

π/2απ/2.

ПРИМЕР:

Упростить выражение:

соs (arcsin х), где  –1 ≤ х ≤ 1.

РЕШЕНИЕ:

Положим  arcsin х = у. Тогда

sin у = х π/2уπ/2.

Нужно найти  cоs у.

Известно, что

cоs2 у = 1 – sin2 у,

значит

cоs2 у = 1 – х2.

Но  π/2уπ/2, а на отрезке [ π/2; π/2]  косинус принимает лишь неотрицательные значения. Поэтому
то есть
ПРИМЕР:
|х| ≤ 1.

На основании тождества
имеем:
x 0.

ПРИМЕР:

tg[arcctg(1/9)] = 9.

На основании формулы
получим следующую формулу:
|x| < 1.

ПРИМЕР:
На основании тождества
имеем:
x 0.

ПРИМЕР:

ctg[arctg(11/10)] = 10/11.

Аналогично можно вывести следующие формулы:
Имеем:

sin(2arccos x) =

= 2 sin(arccos x) cos (arccos x) =
ПРИМЕР:
|x| 1.

ПРИМЕР:
ПРИМЕР:

Вычислить
РЕШЕНИЕ:

Обозначим
через  α, имеем:
0 ≤ απ/2,

следовательноα = 60°. Тогда
ПРИМЕР:

Вычислить
РЕШЕНИЕ:

Обозначим
через  α, тогда имеем:
0 ≤ απ,

Требуется найти  sin 2α, но

sin 2α = 2 sin α соs α.

Находим  sin α:
Значение  sin α  взято положительным, так как
угол второй четверти. Итак:
ПРИМЕР:

Вычислить:

tg (1/2 arcсоs (–3/5)).

РЕШЕНИЕ:

Положим

α = arcсоs (–3/5).

Тогда

соs α = –3/5,  π/2 < α < π.

Нужно вычислить  tg α/2.

Имеем:
значит
Так как, далее
откуда
то есть  tg α/2 = 2  или  tg α/2 = –2.

По условию  π/2 < α < π,

значит  π/4 < α/2 < π/2,

а в интервале  (π/4; π/2имеем  tg α/2 ˃ 0.

Итак  tg α/2 ˃ 0, то есть

tg (1/2 arcсоs (–3/5)) = 2.

ПРИМЕР:

Вычислить:

arctgtg 6π/5).

РЕШЕНИЕ:

Используя равенства

сtg 6π/5 = сtg π/5 =

tg (π/2 π/5) = tg 3π/10 

и учитывая, что

π/2 < 3π/10 < π/2 

arctgtg 6π/5) = arctg(tg 3π/10) = 3π/10.

ПРИМЕР:

Вычислить:

tg (1/2 arсcos (–4/7)).

РЕШЕНИЕ:

Пусть

α = arсcos (–4/7),

тогда

cos α = –4/7 ,     π/2 < α < π.

Используя формулу
получаем
откуда
так как  π/4 < α/2 < π/2.
sin(arcsin x + arcsin y) =
= sin(arcsin x) cos(arcsin y) + cos(arcsin x) sin(arcsin y) =
где  |х| ≤ 1  и  |у| ≤ 1.

ПРИМЕР:
sin(arccos x + arccos y) =
= sin(arccos x) cos(arccos y) + cos(arccos x) sin(arccos y) =
где  |х| ≤ 1  и  |у| ≤ 1.

ПРИМЕР:
ПРИМЕР:

Вычислить
РЕШЕНИЕ:

Положим
откуда  α = 45°,
откуда  β = 30°.

Следовательно,
ПРИМЕР:

Вычислить:

sin(arсtg 8/15arсcos 15/17).

РЕШЕНИЕ:

Пусть

α = arсtg 8/15,

β = arсcos 15/17.

тогда

0 < α < π/2  и  tg α = 8/15,

0 < β < π/2  и  cos β = 15/17.

Воспользуемся формулой

sin (α – β) = sin α cos βcos α sin β.

Так как

sin α ˃ 0, cos α ˃ 0, sin β ˃ 0,  то
sin (α – β) = 8/17 15/1715/17 8/17 = 0.

Задания к уроку 29

ДРУГИЕ УРОКИ

Комментариев нет:

Отправить комментарий