Урок 29. Выражение одной из аркфункций через другие

ВИДЕО УРОК

Обратные тригонометрические функции называются аркфункциями.

На основании соотношений между тригонометрическими функциями одного и того же угла и определений аркфункций можно получить формулы, выражающие одну аркфункцию через другие.

Пусть

arcsin x = α

где   0 < α < ^π/₂  и  0 < x < 1, тогда

sin α = x.

На основании формулы

sin² α + cos² α = 1

находим:

(Перед радикалом взят знак  +, так как α – угол первой четверти.) Из равенства

имеем:

Разделив левую и правую части равенства

sin α = x

соответственно на левую и правую части равенства

получим:

откуда

Так как

Сравнивая равенства

arcsin x = α,

заключаем, что

ПРИМЕР:

или

ПРИМЕР:

Выразить  arcsin (–¹/₃)  через арктангенс.

РЕШЕНИЕ:

Если  arcsin (–¹/₃) = α, то

sin α = –¹/₃ (–^π/₂ < x < 0),

ОТВЕТ:

Найдём выражение функции  arctg x  через другие. Пусть

arctg x = α.

где  0 < α < ^π/₂  и  x ˃ 0.

Тогда имеем:

tg α = x  а  ctg α = ¹/_x.

Следовательно

α = arcctg ¹/_x.

Возведём в квадрат обе части равенства

tg α = x,

заменив предварительно  tg α  через

Получим:

После прибавления к обеим частям этого равенства по  1, оно примет вид:

откуда находим:

Так как  sin α = cos α tg α, то

Тогда

Сопоставляя равенства

arctg x = α,

получим:

Аналогично можно вывести следующие формулы:

ПРИМЕР:

Выразить  arccos (–²/₃)  через арксинус.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

arccos (–²/₃) = π – arccos ²/₃.

Пусть  arccos ²/₃ = α, тогда  cos α = ²/₃, а

(0 < α < ^π/₂)

Следовательно,

Рассмотрим функцию

у = sin(arccos х).

Положив  arccos х = α, получим  cos α = х.

Тогда имеем:

то есть

|х| ≤ 1.

Мы взяли перед корнем знак  <<+>>  потому, что

α = arccos х  

удовлетворяет неравенствам

0 ≤ α ≤ π.

ПРИМЕР:

Рассмотрим функцию

у = cos(arcsin х).

Положив  arcsin х = α, получим  sin α = х.

Тогда имеем:

cos(arcsin х) = cos α =

то есть

|х| ≤ 1.

Мы взяли перед корнем знак  <<+>>  потому, что

α = arcsin х  

удовлетворяет неравенствам

– ^π/₂ ≤ α ≤ ^π/₂.

ПРИМЕР:

Упростить выражение:

соs (arcsin х), где  –1 ≤ х ≤ 1.

РЕШЕНИЕ:

Положим  arcsin х = у. Тогда

sin у = х,  – ^π/₂ ≤ у ≤ ^π/₂.

Нужно найти  cоs у.

Известно, что

cоs² у = 1 – sin² у,

значит

cоs² у = 1 – х².

Но  – ^π/₂ ≤ у ≤ ^π/₂, а на отрезке [– ^π/₂; ^π/₂]  косинус принимает лишь неотрицательные значения. Поэтому

то есть

ПРИМЕР:

|х| ≤ 1.

На основании тождества

имеем:

x ≠ 0.

ПРИМЕР:

tg[arcctg(¹/₉)] = 9.

На основании формулы

получим следующую формулу:

|x| < 1.

ПРИМЕР:

На основании тождества

имеем:

x ≠ 0.

ПРИМЕР:

ctg[arctg(¹¹/₁₀)] = ¹⁰/₁₁.

Аналогично можно вывести следующие формулы:

Имеем:

sin(2arccos x) =

= 2 sin(arccos x) cos (arccos x) =

ПРИМЕР:

|x| ≤ 1.

ПРИМЕР:

ПРИМЕР:

Вычислить

РЕШЕНИЕ:

Обозначим

через  α, имеем:

0 ≤ α ≤ ^π/₂,

следовательно,  α = 60°. Тогда

ПРИМЕР:

Вычислить

РЕШЕНИЕ:

Обозначим

через  α, тогда имеем:

0 ≤ α ≤ π,

Требуется найти  sin 2α, но

sin 2α = 2 sin α соs α.

Находим  sin α:

Значение  sin α  взято положительным, так как

угол второй четверти. Итак:

ПРИМЕР:

Вычислить:

tg (¹/₂ arcсоs (–³/₅)).

РЕШЕНИЕ:

Положим

α = arcсоs (–³/₅).

Тогда

соs α = –³/₅,  ^π/₂ < α < π.

Нужно вычислить  tg ^α/₂.

Имеем:

значит

Так как, далее

откуда

то есть  tg ^α/₂ = 2  или  tg ^α/₂ = –2.

По условию  ^π/₂ < α < π,

значит  ^π/₄ < ^α/₂ < ^π/₂,

а в интервале  (^π/₄; ^π/₂)  имеем  tg ^α/₂ ˃ 0.

Итак  tg ^α/₂ ˃ 0, то есть

tg (¹/₂ arcсоs (–³/₅)) = 2.

ПРИМЕР:

Вычислить:

arctg(сtg ^6π/₅).

РЕШЕНИЕ:

Используя равенства

сtg ^6π/₅ = сtg ^π/₅ =

tg (^π/₂ – ^π/₅) = tg ^3π/₁₀ 

и учитывая, что

– ^π/₂ < ^3π/₁₀ < ^π/₂ 

arctg(сtg ^6π/₅) = arctg(tg ^3π/₁₀) = ^3π/₁₀.

ПРИМЕР:

Вычислить:

tg (¹/₂ arсcos (–⁴/₇)).

РЕШЕНИЕ:

Пусть

α = arсcos (–⁴/₇),

тогда

cos α = –⁴/₇ ,     ^π/₂ < α < π.

Используя формулу

получаем

откуда

так как  ^π/₄ < ^α/₂ < ^π/₂.

sin(arcsin x + arcsin y) =
= sin(arcsin x) cos(arcsin y) + cos(arcsin x) sin(arcsin y) =

где  |х| ≤ 1  и  |у| ≤ 1.

ПРИМЕР:

sin(arccos x + arccos y) =
= sin(arccos x) cos(arccos y) + cos(arccos x) sin(arccos y) =

где  |х| ≤ 1  и  |у| ≤ 1.

ПРИМЕР:

ПРИМЕР:

Вычислить

РЕШЕНИЕ:

Положим

откуда  α = 45°,

откуда  β = 30°.

Следовательно,

ПРИМЕР:

Вычислить:

sin(arсtg ⁸/₁₅ – arсcos ¹⁵/₁₇).

РЕШЕНИЕ:

Пусть

α = arсtg ⁸/₁₅,

β = arсcos ¹⁵/₁₇.

тогда

0 < α < ^π/₂  и  tg α = ⁸/₁₅,

0 < β < ^π/₂  и  cos β = ¹⁵/₁₇.

Воспользуемся формулой

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β.

Так как

sin α ˃ 0, cos α ˃ 0, sin β ˃ 0,  то

sin (α – β) = ⁸/₁₇ ∙ ¹⁵/₁₇ – ¹⁵/₁₇ ∙ ⁸/₁₇ = 0.

Задания к уроку 29

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

• Урок 1. Градусное измерение угловых величин
• Урок 2. Радианное измерение угловых величин
• Урок 3. Основные тригонометрические функции
• Урок 4. Натуральные тригонометрические таблицы
• Урок 5. Периодичность тригонометрических функций
• Урок 6. Область определения и область значения тригонометрических функций
• Урок 7. Знаки тригонометрических функций
• Урок 8. Чётность и нечётность тригонометрических функций
• Урок 9. Тригонометрические функции некоторых углов
• Урок 10. Построение угла по данному значению его тригонометрической функции
• Урок 11. Основные тригонометрические тождества
• Урок 12. Выражение всех тригонометрических функций через одну из них
• Урок 13. Решение прямоугольных и равнобедренных треугольников с помощью тригонометрических функций
• Урок 14. Теорема синусов
• Урок 15. Теорема косинусов
• Урок 16. Решение косоугольных треугольников
• Урок 17. Примеры решения задач по планиметрии с применением тригонометрии
• Урок 18. Решение практических задач с помощью тригонометрии
• Урок 19. Формулы приведения (1)
• Урок 20. Формулы приведения (2)
• Урок 21. Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций
• Урок 22. Формулы двойных и тройных углов (аргументов)
• Урок 23. Формулы половинного аргумента
• Урок 24. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение  
• Урок 25. Графики функций  y = sin x и y = cos x
• Урок 26. Графики функций y = tg x и y = ctg x
• Урок 27. Обратные тригонометрические функции
• Урок 28. Основные тождества обратных тригонометрических функций
• Урок 30. Графики обратных тригонометрических функций
• Урок 31. Построение графиков тригонометрических функций методом геометрических преобразований